Aula 02

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ALGEBRA LINEAR
AULA 2- INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ
Tema da Apresentação
INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2
ÁLGEBRA LINEAR
Conteúdo Programático desta aula
. Matriz Inversa: 
 Definição. Exemplos.
. Matriz Adjunta de uma matriz quadrada A
. Propriedades da Matriz Inversa
. Operações Elementares com as linhas de uma Matriz
. Matrizes Linhas Equivalentes
. Formas Escalonadas de uma Matriz
. Posto de uma Matriz 
. Exercícios
Tema da Apresentação
INVERSA E CÁLCULO DE POSTO DE UMA MATRIZ– AULA 2
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MATRIZ INVERSA
DEFINIÇÃO
 Considere uma matriz quadrada A de ordem n. A matriz B, da mesma ordem que A, denominamos inversa de A se o produto delas for a matriz identidade.
Assim:
 AB = BA = In 
 A matriz B que é a inversa de A é indicada por A-1.
Logo: 
 A.A-1 = A-1 . A = In
Obs.:
 1. A matriz inversa A-1 será também de ordem n.
 2. Se não existir a inversa, dizemos que a matriz A não é inversivel ou uma matriz singular.
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EXEMPLO.
 Determine a inversa da matriz A = 2 5
 1 3
SOLUÇÃO:
 Fazendo A-1 = a b , temos:
 c d 
A.A-1=I2 => 2 5 . a b = 1 0 => 
 1 3 c d 0 1 
 2a+5c 2b+5d = 1 0 => 
 a+3c b+3d 0 1
 
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Logo: A-1= 3 -5
 -1 2
 
 Então temos que: A. A-1 = A-1 . A = I2
 Observe ainda que considerando A = a b e sua 
 c d 
inversa como B = x y obtemos:
 z w 
A.B = I2 =>A.A-1 = I2 => ax+bz ay+bw = 1 0
 cx+dz cy+dw 0 1
 
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Daí obtemos:
 e
 e
Note que: det A = ad – bc.
 
 Desse modo podemos escrever:
 d -b
 -c a 
 
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 Assim podemos calcular a matriz inversa da matriz
 A = 2 5
 1 3 será: d -b
 -c a .
Logo: det A = 2.3 – 1.5 = 6 – 5 = 1 
 
DaÍ: A-1 = 1/1 3 -5 => A-1 = 3 -5
 -1 2 -1 2
Note que desse modo faz-se menos cálculos.
 De modo geral uma matriz quadrada de ordem n é inversivel se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero.
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MATRIZ ADJUNTA DE UMA MATRIZ QUADRADA A 
A MATRIZ ADJUNTA DE A indicada por A=Adj(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A, isto é:
 Adj(A)= (A)t 
 
EXEMPLO:
 Calcular a matriz inversa da matriz A = 2 5
 1 3
SOLUÇÃO:
Os cofatores da matriz A são:
 A11=(-1)1+1.3=3
 A12=(-1)1+2.1=-1
 A21=(-1)2+1.5=-5
 A22=(-1)2+2.2=2
 
 
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A matriz dos cofatores de A é:
 A’ = 3 -1
 -5 2
 A matriz adjunta de A é a transposta da matriz dos cofatores de A:
 A = 3 -5
 -1 2 
Logo, a matriz inversa de A é:
 A-1= . A = . 3 -5 => A-1 = 3 -5
 -1 2 -1 2
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PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA
 Sejam A e B matrizes quadradas inversiveis de ordem n.
A matriz inversa da matriz identidade é a matriz identidade.
(A-1) -1 = A
(k.A) -1 = . A-1
(At) -1 = (A-1)t
(A.B) -1 = B—1 . A-1
6. (det A-1) = 
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OPERAÇÕES ELEMENTARES COM AS LINHAS DE UMA MATRIZ. 
 As possíveis operações elementares com as linhas de uma matriz são:
Troca de Linhas.
Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo.
Substituição de uma linha por ela própria adicionada a uma outra linha multiplicada por um escalar.
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MATRIZES LINHAS EQUIVALENTES
 A matriz B é linha equivalente a uma matriz A se B for obtida de A por um número finito de operações elementares.
EXEMPLO:
 
 
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FORMA ESCALONADA DE UMA MATRIZ
 Uma matriz retangular está escalonada se satisfaz as três seguintes propriedades:
Todas as linhas não nulas estão acima de qualquer linha só de zeros.
Cada coluna que apresentar o primeiro elemento não nulo de uma linha deve ter todos os outros elementos iguais a zero.
O número de zeros que precede o primeiro elemento nãonulo de cada linha deve crescer linha após linha.
Toda linha nula deve vir abaixo de todas as linhas nãonulas.
 
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EXEMPLOS:
 
 
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POSTO DE UMA MATRIZ
 Considere uma matriz B que represente a matriz escalonada de uma matriz A. Denomina-se posto de A , denotado por pos(A), ao número de linhas não nulas da matriz B. 
EXEMPLOS: 
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Na aula de hoje estudamos:
. Matriz Inversa: Definição.
. Matriz Adjunta de uma matriz quadrada A
. Propriedades da Matriz Inversa
. Operações Elementares com as linhas de uma Matriz
. Matrizes Linhas Equivalentes
. Formas Escalonadas de uma Matriz
. Posto de uma Matriz 
. Exercícios
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