LOGARITMO

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LOGARITMO
Para calcularmos o logaritmo, utilizamos a seguinte formulação: loga b = x ↔ bx = a.
Formulação do logaritmo
O logaritmo nos dias de hoje possui a sua formulação bem definida e estruturada, que é dada por:
Sejam a e b dois números reais positivos (a ≠ 1, b > 0 e a > 0), denomina-se logaritmo de a na base b o expoente x (loga b = x ), sendo bx = a:
logb a = x ↔ bx = a
a = logaritmando
b = base do logarítmo
x = logaritmo
Exemplos de cálculos com logaritmos
Para entender melhor essa definição, vamos utilizá-la nos exemplos a seguir:
1) Encontre o valor dos logaritmos:
a) log3 9 = x
loga b=x→log3 9=x
a=3=base
b=9=logaritmando
x = logaritmo
Como loga b = x ↔ bx = a, então:
log3 9 = x ↔ 3x = 9.
3x = 9 → Fatore o logaritmando 9. A fatoração é: 9 = 3 . 3 = 32
3X = 32 → Como a base é o número 3 e temos uma igualdade, podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.
x = 2.
Substituindo x por 2 no log, temos:
log3 9=x→log3 9=2
b) log5 125 = x
loga b=x→log5 125=x
a=5=base
b=125=logaritmando
x = logaritmo
Como loga b = x ↔ bx = a, então:
log5 125 = x ↔ 5x = 125.
5x = 125 → Fatore o logaritmando.
5X = 53 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.
x = 3.
Substituindo x por 3 no log, temos:
log5 125 = x → log5 125 = 3
c) log25 (0,2) = x
loga b=x0→log25 0,2=x
a=25=base
b=0,2= 2:= 1 =logaritmando
 10:2  5
x = logaritmo
Como loga b = x ↔ bx = a, então:
log25 0,2 = x ↔ 25 x = 0,2
log25 0,2=x↔25 x = 1 .
        5
25 x = 1 → fatore o 25 e revele o expoente de 1.
          5                                                                    5
(52) x = 5-1 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos igualar os expoentes para encontrar o valor de x.
2x = - 1
x= -1
       2
Substituindo x por -1 no log, temos:
                                   2
log25 0,2 = x ↔ log25 0,2 = -1
                                               2
Logaritmo Por Thomas Carvalho
Considerando a e b dois números reais e positivos, sempre com a diferente de 0 , define-se logaritmo de b (logaritmando) na base a, qual número deve-se incluir no expoente de a afim de termos b como resultado.
Assim: ax = b , então temos que 
Com as condições de .
I) , sendo que 3 é o logaritmo, 2 é a base e 8 é o logaritmando.
pois temos que 23 = 8.
II) , sendo que –3 é o logaritmo, 3 é a base e 1/27 é o logaritmando.
pois temos que 3-3 = 1/27 .
→ Antilogarítimo é definido como sendo: 
Exemplo:
I) 
Propriedades zero ( que são conseqüência direta da definição)
1º Propriedade (propriedade do produto).
2º Propriedade (propriedade do quociente).
3º Propriedade (propriedade da potência).
Conseqüência da 3º propriedade :
4º Propriedade (propriedade da mudança de base).
→ Colog, definição:
Pela nomenclatura dos logaritmos nesta sentença temos:
2 é o logaritmo de 9 na base 3;
3 é a base do logaritmo;
9 é o logaritmando.
Genericamente de forma simbólica temos a seguinte definição de logaritmo:
Para os números reais positivos a e b, com b ≠ 1, denomina-se logaritmo de a na base b o expoente real x, tal que bx = a
Vejamos a sentença abaixo:
O expoente desta potência, no caso 3, é o logaritmo de 1000 que podemos representar assim:
Como você já sabe, na representação de alguns símbolos matemáticos, alguma parte muito utilizada em geral é omitida. Como exemplo temos que  pode, de forma simplificada, ser expresso como , com a omissão do expoente 1.
Um outro exemplo pode ser uma raiz quadrada qualquer, que em vez de a expressarmos como , utilizamos apenas .
Ao trabalharmos com logaritmos na base 10 normalmente a omitimos, então em vez de , utilizamos , que como você pode notar, teve a base 10 omitida. Estas simplificações têm por objetivo simplificar tanto a escrita, quanto a leitura de tais símbolos, facilitando assim a compreensão de tais expressões.
Assim sendo a expressão  em geral é escrita como 
Propriedades dos Logaritmos
Considerando a, b, c, M e N números reais positivos, com b ≠ 1 e c ≠ 1, temos as seguintes propriedades dos logaritmos:
Para qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a base, o logaritmo será igual a 1.
Isto fica claro no exemplo abaixo, já que todo número real elevado a 1 é igual a ele próprio:
Qualquer logaritmo cujo logaritmando seja igual a 1, o logaritmo será igual a 0.
Veja abaixo um exemplo onde arbitramos 6 para um dos possíveis valores de b:
O logaritmo na base b do produto de M por N é igual à soma do logaritmo na base b de M com o logaritmo na base b de N.
Vamos tomar como exemplo o .
Pela propriedade do logaritmo de um produto temos:
Como vimos acima o , pois a base 3 elevada ao expoente 2 é igual a 9:
Claramente o , já que devemos elevar a base 3 ao expoente 3 para obtermos 27:
Realizando a substituição destes logaritmos na expressão original temos:
Então chegamos a:
O logaritmo de 243 na base 3 é igual a 5, pois este é o expoente ao qual 3 precisa ser elevado para obtermos 243.
O logaritmo na base b do quociente de M por N é igual à diferença entre o logaritmo na base b de M e o logaritmo na base b de N.
Agora vamos utilizar o  neste outro exemplo.
Segundo a propriedade do quociente de um logaritmo temos:
Já que como visto o  e  temos que:
O logaritmo de 3 na base 3 é igual a 1, já que este é o expoente ao qual a base 3 é elevada para 3 ser obtido.
Para qualquer valor real M, o logaritmo na base b da potência NM é igual ao produto do expoente M pelo logaritmo na base b de N, a base da potência.
Calculemos o logaritmo de .
Ao decompormos 15625 em fatores primos iremos obter 56:
De acordo com a propriedade do logaritmo de uma potência temos:
O log5 5 é igual a 1, pois 51 = 5, portanto:
O logaritmo de 15625 na base 5 é igual a 6, visto que este é o expoente ao qual 5 deve ser elevado para obtermos 15625.
Para qualquer valor natural M, não nulo, o logaritmo na base b da raiz  é igual ao produto do inverso do índice M pelo logaritmo na base b de N, o radicando da raiz.
Vamos calcular o logaritmo da raiz cúbica de 343 na base 7.
Pela propriedade do logaritmo de uma raiz, temos que:
O log7 343 é igual a 3, pois 73 = 343, logo:
O  é igual a 1, como já era de se esperar, já que 73 = 343, obviamente , então , pois 71 = 7.
Esta é uma propriedade muito importante, pois através dela podemos realizar a mudança da base de um logaritmo.
Como exemplo vamos mudar o logaritmo de log4 256 para a base 16:
Segundo a propriedade da mudança de base temos:
Vamos realizar a conferência deste resultado, verificando se a igualdade é verdadeira. Para isto nós sabemos que:
Portanto, substituindo tais logaritmos confirmamos a igualdade: