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DISCIPLINA: CÁLCULO A CONTEÚDO: SEQUÊNCIAS PROFESSORA: NEYVA ROMEIRO PERÍODO: 40 BIMESTRE SEQUÊNCIA Uma sequência é uma função f cujo domínio é o conjunto dos inteiros positivos e seu gráfico no plano xy é do tipo, ou ainda, sequência é um conjunto de pares ordenados do tipo ( ))(, nfn , como pode ser observado nas Figuras 1 e 2. Figura 1: Representação de uma sequência Figura 2: Representação de uma sequência Exemplo 1: a) { }KK ,,,,,,, 54321 naaaaaa descreve uma sequência infinita; b) { }naaaaaa ,,,,,, 54321 K descreve uma sequência finita. OBS: Sendo f uma sequência, os números do contradomínio são do tipo )(,),4(),3(),2(),1( nfffff K , ou ainda na kakf =)( , notação indicial, para cada inteiro positivo k . Exemplo 2: a) Se 1 )( + = n n nf , então 2 1)1( =f , 3 2)2( =f , 4 3)3( =f , 5 4)4( =f , K , então os termos da sequência finita pode ser representado por: + = + 1 ,, 7 6 , 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 1 n n n n K e consequentemente os termos da sequência infinita pode ser representado por: + = + KK , 1 ,, 7 6 , 6 5 , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 1 n n n n Exercício 1: Sendo 12 )( + = n n nf , encontre os termos da sequência infinita. Exercício 2: Sendo 23 47 2 + − = n n an , ache os quatro primeiros termos da sequência. Exercício 3: Ache os termos das sequências: a) n nf 1)( = b) + = par for se , 2 2 imparfor se ,1 )( n n n nf c) Observe os termos das sequências descritas em a) e b). d) Esboce os gráficos das sequências de a) e de b). Observando estes gráficos, o que você pode concluir sobre as sequências descritas em a) e b)? 2 Definição 1: Uma sequência { }na tem por limite L (ou converge para L) se para todo 0>ε existe um número positivo N tal que ε<− Lan sempre que Nn > ou Lan n = ∞→ lim Se tal número L não existe, a sequência não tem limite (ou diverge). Teorema 1: Se Lxf x = ∞→ )(lim e f estiver definida para todo inteiro positivo, então Lan n = ∞→ lim quando n for um inteiro positivo. Exemplo 3: a) A sequência n nf 1)( = é convergente, pois , 01lim)(lim == ∞→∞→ x xf xx para todo 0>x , em particular o então 01lim = ∞→ xx para todo x inteiro positivo, consequentemente 01lim)(lim == ∞→∞→ n nf nn . b) A sequência + = par for se , 2 2 imparfor se ,1 )( n n n nf é divergente pois não há um número definido para a função )(xf , isto é: 0 2 2lim = +∞→ nx e 11lim = ∞→x Assim, o )(lim xf x ∞→ não existe, portanto a série dada é divergente. Definição 2: Se uma sequência { }na tiver um limite, dizemos que ela é convergente, e na converge para o limite. Se a sequência não for convergente, ela será divergente. Propriedade 1: Se { }na e { }nb forem sequências convergentes e c for uma constante, então: i) n n n n acca ∞→∞→ = limlim ii) ( ) n n n n nn n baba ∞→∞→∞→ ±=± limlimlim iii) ( ) ( )( )n n n n nn n baba ∞→∞→∞→ = limlimlim iv) n n n n n n n b a b a ∞→ ∞→ ∞→ = lim lim lim se 0lim ≠ ∞→ n n b e todo .0≠nb Teorema 2 (Teorema do Confronto adaptado para sequências): Se nnn cba ≤≤ para onn ≥ e n n n n cLa ∞→∞→ == limlim então Lbn n = ∞→ lim . Teorema 3: Se 0lim = ∞→ n n a então 0lim = ∞→ n n a . A sequência { }nr é convergente se 11 ≤<− r e divergente para todos os outros valores de r. = << = ∞→ 1 se 1, 11- se ,0 lim r r r n n Exemplo 4: Use os resultados acima para determinar se a sequência − n 6 56 converge ou diverge. Se converge, determine seu limite. Solução: Usando o resultado acima, onde 0lim = ∞→ n n r , se 1<r , observa-se que r na sequência dada é 1833.0 6 5 <−≅−=r , portanto 0 6 56lim = − ∞→ n n e consequentemente a sequência é convergente e seu limite é zero. Tais resultados podem ser verificados graficamente (Figura 3) e por meio do cálculo do limite, como segue: Analisando o limite do modulo, pois se 0lim = ∞→ n n a então 0lim = ∞→ n n a ,assim, n n n n n n = −= − ∞→∞→∞→ 6 56lim 6 56lim 6 56lim e considerando n y = 6 5 ⇒ n y = 6 5lnln ⇒ = 6 5lnln ny ⇒ ny 182.0ln −= , sendo que .182.0 6 5ln −≅ Ou ainda, 3 ⇒ ny ee 182.0ln −= ⇒ ney 182.0−= ou ne y 182.0 1 = , e portanto .01limlim 182.0 == ∞→∞→ nnn e y Assim, 0 6 56lim = ∞→ n n e consequentemente .0 6 56lim = − ∞→ n n Figura 3: Gráfico da sequência n nf −= 6 56)( Exercício 4: Use os resultados acima para determinar se a sequência converge ou diverge. Se converge, determine seu limite. Use um recurso gráfico para esboçar o gráficos de cada sequência. a) − + 12 1 n n b) − + nn n 2 2 3 12 c) + n n 12 d) 2 ln n n e) −+ nn 1 1 2 f) n e n g) − n n)1( h) { }n−1 Definição 3: Uma sequência { }na é denominada crescente se 1+< nn aa para todo 1≥n , isto é L<<<< 4321 aaaa Uma sequência { }na é denominada decrescente se 1+> nn aa para todo 1≥n , isto é L>>>> 4321 aaaa Definição 4: Uma sequência é dita monotônica (ou é monótona) se for crescente ou decrescente. Definição 5: Uma sequência { }na é limitada superiormente se existir um número M tal que Man ≤ para todo 1≥n . E é limitada inferiormente se existir um número m tal que nam ≤ para todo 1≥n . OBS: Se ela for limitada superior e inferiormente então { }na é uma sequência limitada. Exemplo 5: A sequência nnf =)( é monótona (pois é crescente), porém não é limitada (uma vez que não possui limitante superior). Ainda mais, a sequência não é convergente, pois +∞= ∞→ n n lim . Tais resultados também podem ser observados na Figura 4. Figura 4: Gráfico da sequência nnf =)( Toda sequência limitada, monotônica, é convergente OBS: Nem toda sequência convergente é limitada e monotônica. 4 Exemplo 6: A sequência n nf n)1()( −= é convergente, porém não é monotônica, como pode ser observado na Figura 5. Figura 5: Gráfico da sequência n nf n)1()( −= Exemplo 7: Investigue a sequência { }na , onde n an 1 = . Solução: n an 1 = e 1 1 1 + =+ n an nn 1 1 1 < + pois 1+< nn para todo n inteiro positivo, logo a sequência { }na é decrescente, e portanto monotônica. Observa-se que 01lim = ∞→ nn e que os termos da sequência são: = KK , 1 ,, 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ,11 nn , portanto a sequência n 1 é limitada superiormente por 1 e inferiormente por zero, sendo a sequência limitada, Figura 6. Figura 6: Gráfico da sequência n nf 1)( = Exercício 5: Investigue a sequência { }na , onde a) 1+ = n n an . b) n a n n 1)1( +− = . Exercício 6: Verifique se a sequência é monotônica (decrescente ou decrescente) a) + − 54 12 n n b) ! 2 n n Exercício 7: Verifique se a sequência − 2 221 n n é convergente, se for calcule seu limite. SÉRIES INFINITAS Frequentemente escrevemos funções como polinômios infinitos LL ++++++= − nxxxx x 321 1 1 1 <x 5 Figura 1: Gráfico das funções 1, x+1 , 21 xx ++ , K , ∑ ∞ =1n nx para 1 <x . Assim, podemos avaliar o polinômio x−1 1 como uma soma infinita de constantes, a qual chamaremos de série infinita. SÉRIES E SOMAS PARCIAIS Uma soma finita de números reais sempre produz um real, mas uma soma infinita de números reais é algo completamente diferente. Essa é a razão pela qual precisamos de uma definição cuidadosa de séries infinitas. Definição 1: Dada uma sequência de números { }na , uma expressão da forma LL ++++ naaaa 321 é uma série infinita. O número na é o enésimo termo da série. As somas parciais da série formam uma sequência 11 aS = 212 aaS += 3213 aaaS ++= M nn aaaaS ++++= L321 de números reais, cada um definido como uma soma finita. Se a sequência de soma parciais tem um limite S quando ∞→n , dizemos que a série converge para a soma S e escrevemos Saaaaa i in ==+++++ ∑ ∞ =1 321 LL . Podemos interpretar tal resultado observando as Figuras 2 e 3 Figura 2: Gráfico Figura 3: Gráfico onde 11 =S 2 112 +=S 23 2 1 2 11 ++=S 324 2 1 2 1 2 11 +++=S M nn S 2 1 2 1 2 11 2 ++++= L M Pode-se observar que 2 2 1 2 1 2 11 2 =+++++ LL n , logo a sequência de soma parciais tem um limite 2=S quando ∞→n , dizemos, assim, que a série converge para a soma 2. Exemplo 1: Determine as quatro primeiras somas parciais da série ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn . Solução: 2 1 1 =S 6 3 2 6 1 2 1 32 1 2 1 2 =+= ⋅ +=S 4 3 12 1 6 1 2 1 43 1 32 1 2 1 3 =++= ⋅ + ⋅ +=S 5 4 20 1 12 1 6 1 2 1 54 1 43 1 32 1 2 1 4 =+++= ⋅ + ⋅ + ⋅ +=S OBS: A série ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn é chamada de série telescópica. Exemplo 2: Por meio dos resultados apresentados acima pode-se afirmar que a série telescópica ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn é convergente e sua soma converge para 1=S , isto é 1)1( 1 54 1 43 1 32 1 2 1 = + ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ += nn S n L . Figura 4: Figura 5: Exercício 1: a) Determine as quatro primeiras somas parciais da série ∑ ∞ = − 1 12 1 n n . b) Utilize o item a) para verificar se a série é convergente, em caso afirmativo determine o valor para o qual sua soma converge. Uma série ∑ ∞ =1n na é convergente (ou converge) se a sua sequência de somas parciais { }nS converge, isto é, se SS n n = ∞→ lim para algum número real S. Se SS n n = ∞→ lim não existir a série será divergente. OBS: n n i in aaaaaS ++++==∑ = L321 1 Logo, Saaaa n =++++ L321 ou Sa n i i =∑ =1 . Exemplo 3: Mostre que a série ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn é convergente e determine o valor para o qual sua soma converge. Solução: Do Exemplo 2 temos que )1( 1 54 1 43 1 32 1 2 1 + ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ += nn S n L assim, 2 1 1 =a , 32 1 2 ⋅ =a , 43 1 3 ⋅ =a , 54 1 4 ⋅ =a , K , )1( 1 + = nn an simplificando esta expressão usando uma decomposição por frações parciais, temos )1()1( 1 + += + n B n A nn )1( )1( )1( 1 + ++ = + nn BnnA nn ou BnnA ++= )1(1 AnBA ++= )(1 7 = =+ 1 0 A BA ⇒ 1−=B Logo )1( 11 )1( 1 + −= + nnnn e assim, ∑∑∑ === + −= + == n i n i n i in iiii aS 111 1 11 )1( 1 + −+ −+ −= + −=∑ = 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 11 1 n i ii + −++ −+ 1 11 5 1 4 1 nn L 1 111 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 11 + −+− − ++−+−+−= nnnn L 1 11 + −= n Portanto 1 1 11lim)1( 1limlim 1 = + −= + = ∞→ ∞ = ∞→∞→ ∑ nnnS n n n n n . Exercício 2: Dado a série ∑ ∞ = −1 2 14 1 n n , a) ache 1S , 2S , 3S e 4S ; b) ache nS ; c) verifique se a série converge ou diverge; d) se converge, determine o valor para o qual sua soma converge. Exercício 3: Dado a série ∑ ∞ = −+1 )23)(13( 1 n nn , determine se a série é convergente. SÉRIE GEOMÉTRICA Séries geométricas são séries da forma ∑ ∞ = −− =++++++ 1 1132 n nn ararararara LL onde a e r são números reais fixos e 0≠a . A razão r pode ser positiva ou negativa. Definição 2: A série geométrica são séries da forma LL ++++++= − ∞ = −∑ 132 1 1 n n n ararararaar ( )LL ++++++= −1321 nrrrra i) converge e tem soma r aS − = 1 , se 1 <r ii) diverge se 1 ≥r . Exemplo 4: Verifique se a série ∑ ∞ = − 1 1 3 25 n n converge ou diverge. Solução: 5=a , 3 2 =r ; 166.0 3 2 <==r portanto a série converge e sua soma converge para 15 3 21 5 = − =S , como pode ser observado na Figura 6. Figura 6: Convergência da série ∑ ∞ = − 1 1 3 25 n n para a soma 15=S . Exemplo 5: Mostre que a série harmônica LL ++++++++=∑ ∞ = nn n 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 111 1 é divergente. Solução: 8 n S S S S S S n 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 11 5 1 4 1 3 1 2 11 4 1 3 1 2 11 3 1 2 11 2 11 1 5 4 3 2 1 +++++++= ++++= +++= ++= += = L M porém 2 11 1 2 1 += = S S 2 2 21 4 1 4 1 2 11 4 1 3 1 2 114 =+= +++> +++=S 5.2 2 5 2 31 2 1 2 1 2 11 8 1 8 1 8 1 8 1 4 1 3 1 2 11 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 118 ==+=+++= ++++ +++> ++++ +++=S 3 2 41 2 1 2 1 2 1 2 11 16 1 16 1 8 1 8 1 4 1 3 1 2 11 16 1 9 1 8 1 5 1 4 1 3 1 2 1116 =+=++++= +++ +++ +++> +++ +++ +++= LL LLS Similarmente 5.3 2 7 2 5132 ==+>S , 2 6164 +>S e, em geral 2 1 2 nS n +> . Como ∞= + ∞→ 2 1lim n n , temos que a série harmônica é divergente Figura 6: Divergência da série harmônica. Teorema 1: Se a série ∑ ∞ =1n na for convergente, então 0lim = ∞→ n n a . Teste 1: Teste da divergência: Se o n n a ∞→ lim não existir ou se 0lim ≠ ∞→ n n a , então a série ∑ ∞ =1n na é divergente. OBS: Se 0lim = ∞→ n n a a série ∑ ∞ =1n na pode ser convergente ou divergente. Exemplo 6: Mostre que a série ∑ ∞ = +1 1n n n é divergente. Solução: Calculando o limite, temos 01 /11 1lim 1 lim ≠= + = + ∞→∞→ nn n nn logo a série é divergente, como afirma o Teste da divergência. 9 Teorema 2: Se ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb forem séries convergentes, então também os serão as séries ∑ ∞ =1n nca e ( )∑ ∞ = ± 1n nn ba , e i) ∑∑ ∞ = ∞ = = 11 n n n n acca ii) ( ) ∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ±=± 111 n n n n n nn baba Exemplo 7: Calcule a soma da série ∑ ∞ = + +1 2 1 )1( 3 n nnn A série ∑ ∞ =1 2 1 n n é a série geométrica com 2 1 =a e 2 1 =r , 1<r , logo convergente, assim 1 12 1 2 1 2 1 1 = − =∑ ∞ =n n . Vimos, no Exemplo 2 que a série ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn é convergente e sua soma converge para 1, assim 3)1( 13)1( 3 11 = + = + = ∑∑ ∞ = ∞ = nn nnnn S . Logo, pelo Teorema (acima) temos que ∑ ∞ = + +1 2 1 )1( 3 n nnn ∑∑ ∞ = ∞ = =+ + = 11 4 2 1 )1( 13 n n n nn . Teorema 3: Se ∑ ∞ =1n na e ∑ ∞ =1n nb são duas séries infinitas que diferem somente pelos seus m primeiros termos, isto é kk ba = se mk > , então ambas convergem ou ambas divergem. Exemplo 8: Determine se a série ∑ ∞ = +1 4 1 n n é divergente ou convergente. Solução: Como 0 /41 /1lim 4 1lim = + = + ∞→∞→ n n n nn , não podemos afirmar nada sobre sua convergência ou divergência. Porém, a série LL + + +++++= +∑ ∞ = 4 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 1 nnn mas, sabe-se que a série harmônica LL ++++++++++=∑ ∞ = nn n 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 111 1 é divergente e como a série dada difere da série harmônica somente pelos 4 primeiros termos, ou seja ∑∑ ∞ = ∞ = +−−−−= + 11 1 4 1 3 1 2 11 4 1 nn nn , temos que a série dada é divergente. Poderíamos ainda escrever ∑∑ ∞ = ∞ = = + 51 1 4 1 nn nn . Exercício 4: Já vimos e também mostramos que a série telescópica ∑ ∞ = +1 )1( 1 n nn é divergente (Exemplo 2), porém, usando o resultado acima, mostre a divergência da mesma. Exercício 5: Verifique se as séries convergem ou divergem a) ∑ ∞ = +1 2 2 1 3 n n n b) ∑ ∞ = − 1 13 2 n n c) ∑ ∞ = 1 1ln n n d) ∑ ∞ = − 1n ne e) ∑ ∞ =1n ne f) ( )∑ ∞ = − + 1n nn ee 10 h) ∑ ∞ = + + 1 )1( 1 8 1 n n nn SÉRIE HIPERHARMÔNICA Uma série-p ou hiperharmônica é da forma: LL +++++++=∑ ∞ = ppppp n p nn 1 5 1 4 1 3 1 2 111 1 p inteiro positivo. A série ∑ ∞ =1 1 n p n • converge se 1>p ; • diverge 1≤p SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS Teste 2: Teste da Comparação: Se ∑ na e ∑ nb são séries de termos não negativos: • Se ∑ nb converge e nn ba ≤ para todo n inteiro então ∑ na converge • ii) Se ∑ nb diverge e nn ba ≥ para todo n inteiro então ∑ na diverge Exemplo 9: Mostre que a série ∑ ∞ =1 1 n n é divergente. Sabe-se que a série ∑∑ = n bn 1 é divergente e que nn 11 ≤ ⇒ nn ≤ Logo, pelo teste da comparação a série ∑ ∞ =1 1 n n é divergente. Exemplo 10: Mostre que a série ∑ ∞ =1 2 2 n n nsen é convergente. Sendo nnnnn bnsen nsen a =≤== 2 1 2 1 2 2 2 ⇒ nn ba ≤ . Como ∑∑ = nnb 2 1 é a série geométrica convergente <= 1 2 1 r , logo, pelo teste da comparação a série ∑ ∞ =1 2 2 n n nsen é convergente. A seguinte afirmação foi dada em sala de aula: A série harmônica LL ++++++++=∑ ∞ = nn n 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 111 1 é divergente. Segue abaixo uma demonstração da afirmação: Observa-se qu e 01 → n quando ∞→n não implica que a série é convergente. Para isto faz-se necessário uma investigação melhor. Considerando apenas 16 termos, isto é: ++++ +++=∑ = 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 111 16 1n n ∑ = =++++> +++ 5 0 2 1 16 1 8 1 4 1 2 11 16 1 9 1 n n L Sendo ∑∑ = nnb 2 1 uma série geométrica convergente, comparando nn b 2 1 = e n an 1 = pode-se observar que nn 2 11 > não satisfaz a condição nn ba ≤ logo a série ∑ ∞ =1 1 n n é divergente. 11 Teste 3: Teste Limite da Comparação: Sejam ∑ na e ∑ nb séries de termos não negativos se 0lim >= ∞→ c b a n n n então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. Exemplo 11: Determine se a série ∑ ∞ = +1 3 2 14 n n n converge ou diverge comparando com a série ∑ ∞ =1 1 n n Solução: usando o teste limite da comparação temos: 141 14 3 33 2 + = + = n n n n n b a n n , logo, 0 4 1 14 limlim 3 3 >= + = ∞→∞→ n n b a n n n n Como a série ∑ ∞ =1 1 n n é divergente, tem-se pelo teste limite da comparação que a série ∑ ∞ = +1 3 2 14 n n n também é divergente. Tabela 1: Exemplos de como escolher nb na Termo de maior magnitude nb 14 3 2 +n n nn n n n 4 1 414 3 2 3 2 == + n 1 24 13 23 −+ + nn n 2323 4 3 4 3 24 13 nn n nn n == −+ + 2 1 n 2 2 2 ++ nn 16 4 2 3 2 −− + nn n Exercício 6: Determine se a série converge ou diverge: a) ∑ ∞ = −1 3 54 1 n n b) ∑ + + 5 ln1 2n nn OBS: nn n n nn 1lnln 2 >= , para 3≥n , como pode- se verificar na Figura 1. 0 10 20 30 40 500 0.2 0.4 0.6 0.8 1 f x( ) f1 x( ) x 1 x x ln x( )⋅ x 2 Figura 7: Gráfico das funções 21 ln)( n nn xf = e n xf 1)(2 = . 12 Teste 4: Teste da Razão: Seja ∑ na uma série de termos não negativos. Supondo que L a a n n n = + ∞→ 1lim • se ⇒< 1L a série é convergente • se 1>L ou ∞=+ ∞→ n n n a a 1lim ⇒ a série é divergente • se ⇒=1L o teste da razão nada pode afirmar. Deve-se aplicar outro teste. Teste 5: Teste da Raiz: Seja ∑ na uma série de termos não negativos. Supondo que Lan n n = ∞→ lim • se ⇒< 1L a série é convergente • se 1>L ou ∞= ∞→ n n n alim ⇒ a série é divergente • se ⇒= 1L o teste da raiz nada pode afirmar. Deve-se aplicar outro teste. Lista 1 de Exercícios: Use um dos testes: comparação, limite da comparação, da integral, da raiz ou o da razão, para determinar se a série converge ou diverge: 1- ∑ + n n 2 13 2- ∑ n n 1 3- ∑ +1 2 n n 4-∑ n n n! 5- ( )∑ −++ 12 34 nnn n 6- ∑ − 212n 7-∑ + 2)23( 1 n 8- ∑ n nln 9- ∑ nnln 1 10- ∑ +− 125 3 nn n 11- ∑ 2 )!( n n n n 12- ∑ n n n 7 13-∑ ≥ −− + 2 4 1 25 n nn n 14- ∑ 2 4 n n 15- ( )∑ nn n n ! 2 16-∑ nn n 7 8 17- ∑ − − 2 13 4n n 18- [ ]∑ + − 5 34 2 14 6 n nnn OBS: nnn n nn nn n + = + = + 11 1 1 1 )1( e 1 → quando ∞→n , como pode ser observado nas Figuras 8 e 9 0 20 40 60 80 100 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 f x( ) f1 x( ) x e 2.718= 1 1 x + x Figura 8: Gráfico das funções n x xf += 11)( e )1exp()(1 =xf . 0 20 40 60 80 100 0.3 0.34 0.38 0.42 0.46 0.5 f2 x( ) f3 x( ) x 1 1 1 x + x 1 e 0.368= Figura 9: Gráfico das funções n x xf + = 11 1)(2 e e xf 1)(3 = . 13 0 9.75 19.5 29.25 39 1.5 0.75 0 0.75 1.5 f x( ) x x! x x Figura 10: Gráfico das funções x x x xf !)( = e 0! lim = ∞→ xx x x (gráfico e limite referente ao exercício 4 da Lista 1 de Exercícios) 0 9.75 19.5 29.25 39 1.5 0.75 0 0.75 1.5 f x( ) x 1 ln x( )− x Figura 11: Gráfico das funções x linx xf −= 1)( (gráfico referente ao exercício 8 da Lista 1 de Exercícios) Lista 2 de Exercícios:: Use o seguinte resultado: "Se 0lim ≠ ∞→ n n a a série ∑ na é divergente" para mostrar que a série dada é divergente. 1- ∑ ≥ − + 2 1 1 n n n 2- ∑ −12n n 3- ∑ n n ln 4- ∑n 5- ∑ − +− 12 12 n nn 6- ∑ +− 2 1)1( n 7- ∑ − n)1( TESTE DA INTEGRAL Seja { }na uma sequência de termos positivos. Supondo )(xfan = onde f é uma função de x contínua, positiva e decrescente para todo Nx ≥ (N é intero positivo). Então tanto a série ∑ na quanto a integral ∫ ∞ N dxxf )( convergem ou tanto uma quanto a outra divergem. Exemplo 12: Aplique o teste da integral para verificar se a série ∑ ∞ =1 1 n nn é convergente ou divergente. Solução: Verifica-se primeiro se o teste da integral pode ser utilizado, isto é, verifica-se se a função de x é contínua, positiva e decrescente para todo Nx ≥ . • xx xf 1)( = ⇒ domínio de f é todos os Reais positivos exceto o zero ⇒ { }0−= +RD f . Portanto f é contínua para todo 0>x . • f é positiva para todo 0>x . • f é decrescente para todo 0>x , de fato: xx xf 1)( = ⇒ 2/3 2/32/1 11)( −=== x xxx xf ⇒ 0 2 3 2 3 2 3 2 3)( 5 2/5 2/512/3 <−= −=−=−=′ −−− x x xxxf e pelo teste da derivada primeira, se 0)( <′ xf para todo x em um intervalo, )(xf é decrescente neste intervalo. logo, a função xx xf 1)( = é decrescente. Sendo então f contínua, positiva e decrescente para todo 0>x , pode-se aplicar o teste da integral para verificar se a série dada é convergente ou divergente. 14 ∫ ∞ N dxxf )( ⇒ 1=N ∫∫∫ − ∞→ ∞ − ∞ == t t dxxdxxdx xx 1 2/3 1 2/3 1 lim1 ( ) 2 1 2lim2lim 1 22lim 2lim2lim 1 1 2/1 = + −= +−= −=−= ∞→∞→∞→ ∞→ − ∞→ ttt t t t t tt x x pois 02lim = − ∞→ tt . Como a integral ∫ ∞ 1 1 dx xx converge, logo a série ∑ ∞ =1 1 n nn também converge. SÉRIES ALTERNADAS L−+−+−=−∑ ∞ = 4321 1 )1( aaaaan n n L+−+−=−∑ ∞ = − 4321 1 1)1( aaaaan n n Teste 6: Teste da Série Alternada: A série alternada é convergente se: • 1+≥ nn aa para todo n ( na é decrescente) • 0lim = ∞→ n n a Exemplo 13: Mostre que a série alternada ∑ ∞ = − 1 1)1( n n n é convergente. Verificando: • na é decrescente, n an 1 = e 1 1 1 + =+ n an como nn 1 1 1 < + ou 1 11 + > nn tem-se que na é decrescente. Uma outra forma para verificar se na é decrescente é obtida utilizando o teste da derivada primeira, onde 0)( ≤′ naf ⇒ que na é decrescente, assim, 2 1)( n af n −≤′ que, para qualquer n sempre será negativa. • 0lim ≠ ∞→ n n a , 01limlim == ∞→∞→ n a n n n Portanto, pelo teste de séries alternadas, a série ∑ ∞ = − 1 1)1( n n n é convergente. Exemplo 14: Determine se a série alternada ∑ ∞ ≥ − − 2 1 ln)1( n n n n converge ou diverge. x x xf ln)( = ⇒ ( ) 0ln/1)( 2 < − =′ x xxx xf para que f seja decrescente, assim: ( ) 0ln10ln/1 <−⇒<− xxxx xln1 <⇒ ou 1ln >x . Como 1ln >x para 3>x (ver Tabela 1 e Figura 6), temos que x x xf ln)( = é decrecente para 3>x e consequentemente,a série alternada ∑ ∞ > − − 3 1 ln)1( n n n n será decrescente para 3>n . Resta verificar se 0lim = ∞→ n n a para garantir a convergência da série dada. Sendo n n an ln = , temos que 0lnlim = ∞→ n n n , como pode ser verificado usando a Regra de L’Hopital, ou seja: 01lim 1 /1limlnlim === ∞→∞→∞→ n n n n nnn 15 Tabela 1: Valores de xln x xln 1 0 2 0.693 3 1.098 4 1.386 1 10.5 20 29.5 39 0 0.1 0.2 0.3 0.4 f x( ) x ln x( ) x Figura 6: Gráfico da função x x xf ln)( = . Portanto, graficamente a função é decrescente para 3>x . Definição: Uma série ∑ na é absolutamente convergente se a série nn aaaaa ++++=∑ L321 for convergente. Exemplo 15: Verifique se a série alternada ∑ ∞ = − − 1 2 1 1)1( n n n é absolutamente convergente. Solução: ∑∑ ∞ = ∞ = − =− 1 2 1 2 1 11)1( nn n nn que é a série-p com 12 >=p e portanto convergente. Como a série dada converge em módulo, logo ela é absolutamente convergente. Definição: Uma série ∑ na é condicionalmente convergente se a série ∑ na for convergente, e se a série ∑ na for divergente . Teorema: Se a série ∑ na é absolutamente convergente ⇒ que a série ∑ na é convergente. OBS: a convergência da não implica na convergente absoluta da mesma. Exemplo 16: Vimos que a série alternada ∑ ∞ = − 1 1)1( n n n é convergente, mas ∑∑ ∞ = ∞ = =− 11 11)1( nn n nn é divergente (série Harmônica). Lista 3 de Exercícios:1) Determine se a série alternada converge ou diverge: a) ∑ ∞ ≥ − − − 2 1 14 3)1( n n n n b) ∑ ∞ ≥ − + − 2 3 2 1 1 )1( n n n n 2) Para quais valores de p cada série é convergente? a) ∑ ∞ = − − 1 1 1)1( n p n n b) ∑ ∞ = + − 1 1)1( n n pn 3) Mostre que a série ∑ ∞ = − − 1 1)1( n n n b , onde nb n /1= se n for ímpar e 2/1 nb n = se n for par, é divergente. Porque o teste de série alternada não se aplica? 4) Determine se a série L+++=∑ ∞ = 22 1 2 3 3cos 2 2cos 1 1coscos n n n é convergente ou divergente. 16 5) Teste a série para convergência absoluta ∑ ∞ = − − 1 3 1 3 )1( n n n n 6) Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: a)∑ ∞ = − − 1 1)1( n n nn b) ∑ ∞ = − 1 3 )3( n n n c)∑ ∞ = + − 1 5 )1( n n n d) ∑ ∞ = + − 1 5 1)1( n n n e)∑ ∞ =1 )!2( 1 n n f) ∑ ∞ = + 1 313 n n n n 7) Para quais inteiros positivos k a série ∑ ∞ =1 2 )!( )!( n kn n 17 SÉRIES DE POTÊNCIAS Vimos que a série geométrica ( )LL ++++++=∑∞ = − n n n rrrrara 32 1 1 1 converge para a r aS − = 1 , se 1 <r . Considerando 1=a e xr = , podemos observar que LL ++++++= − n xxxx x 321 1 1 para 1 <x , logo, escrevemos a função x xf − = 1 1)( como um polinômio infinito equivalente a LL ++++++ nxxxx 321 . ou simplesmente, temos )(xf representada por uma série de potências. Para achar um valor particular desta função, basta fazer cx = . Por exemplo, para 2 1 =x , tem-se: 2 2/11 1 2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 32 = − = + ++ + + += LL n f Definição: Uma série de potências de x, x uma variável, é da forma LL ++++++=∑ ∞ = n n n n n xaxaxaxaaxa 3 3 2 210 0 onde cada ka é um número real. OBS: toda série de potencias em x converge se 0=x pois: LL ++++++=∑ ∞ = n n n n n aaaaaa 00000 3 3 2 210 0 00 =a Para encontrar outros valores que produzem a convergencia utiliza-se o teste da razão para convergência absoluta. Exemplo 17: Ache todos os valores de x para os quais a série abaixo é absolutamente convergente. n n x n ∑ ∞ = +0 4 1 Solução: LL + + ++++= +∑ ∞ = nn n x n xxx n 4 1 6 1 5 1 4 1 4 1 2 0 Fazendo 4+ = n x a n n ⇒ 4)1( 1 1 ++ = + + n x a n n e usando o teste da razão para convergencia absoluta, tem-se: x n n x n n x n n x x n n x a a n n n n n n 5 4 5 4 4 4)1(4 4)1( 1 1 1 + + = + + = + ++ = + ++ = + + + Logo xx n n a a n n n n = + + = ∞→ + ∞→ 5 4limlim 1 Pelo teste da razão para convergencia absoluta, tem-se que a série é convergente se 1<L , como dada xL = , consequentemente 1<= xL para que a série dada seja convergente )1 ,1(−∈x . Os valores dos extremos 1−=x e 1=x , devem ser estudados separadamente. 1−=x ⇒ n n n )1( 4 1 0 − +∑ ∞ = é a série alternada. • 1+≥ nn aa para todo n ( na é decrescente) • 0lim = ∞→ n n a De fato: 1+≥ nn aa ⇒ 4)1( 1 4 1 ++ > + nn ⇒ 5 1 4 1 + > + nn 18 ⇒ 45 +>+ nn o que é verdade. Logo na é decrescente Ou poderia analisar usando o fato de que a primeria derivada é negativa. 1)4( 4 1)( −+= + = x x xf x x xxf ∀< + −=+−=′ − ,0 )4( 1)4()( 2 2 E portanto f é decrescente. Resta agora avaliar o n n a ∞→ lim 0 4 1limlim = + = ∞→∞→ n a n n n Portanto a série alternada é convergente. 1=x ⇒ ∑∑ ∞ = ∞ = + = + 00 4 1)1( 4 1 n n n nn 44444 344444 21 LL 4 para Harmônica série 0 4 1 7 1 6 1 5 1 4 1 4 1 ≥ ∞ = + + +++++= +∑ n n nn Como ∑∑ ∞ = ∞ ≥ = + 04 1 4 1 nn nn a série de potências para 1=x é divergente. Portanto a série de potências n n x n ∑ ∞ = +0 4 1 converge para todo )1 ,1[−∈x . Definição: Uma série de potências de ( )cx − é da forma +−++−+ −+−+=−∑ ∞ = n n n n n cxacxa cxacxaacxa )()( )()()( 3 3 2 210 0 L onde cada ka é um número real. Teorema: i) Se uma série de potências ∑ ∞ =0 n n n xa é convergente para um número 0≠c , então é absolutamente convergente sempre que cx < . ii) Se uma série de potências ∑ ∞ =0 n n n xa é divergente para um número 0≠d , então é divergente sempre que . dx > Teorema: Se ∑ ∞ =0 n n n xa é uma série de potências, então ou: i) a série converge somente se 0=x , ii) a série é absolutamente convergente para todo x. iii) existe um número 0>r tal que a série é absolutamente convergente se ( )rrx ,−∈ e diverge se rx −< ou rx > . OBS: r é o raio de convergência da série. Exemplo 18: Ache intervalo de convergência da série. n n x n ∑ ∞ = +0 2 1 1 Solução: Fazendo 12 + = n x a n n ⇒ 1)1( 2 1 1 ++ = + + n x a n n e usando o teste da razão para convergencia absoluta, tem-se: x nn n x n n x n n x n n x x n n x a a n n n n n n 22 1 1)1( 1 1)1( 1 1 1)1(1 1)1( 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 ++ + = ++ + = ++ + = + ++ = + ++ = + + + 19 Logo xx nn n a a n n n n = ++ + = ∞→ + ∞→ 22 1limlim 2 2 1 Pelo teste da razão para convergencia absoluta, tem-se que a série é convergente se 1<L , como dada xL = , consequentemente 1<= xL para que a série dada seja convergente )1 ,1(−∈x . Os valores dos extremos 1−=x e 1=x , devem ser estudados separadamente. 1−=x ⇒ n n n )1( 1 1 0 2 − + ∑ ∞ = é a série alternada. • 1+≥ nn aa para todo n ( na é decrescente) • 0lim = ∞→ n n a De fato: 1+≥ nn aa ⇒ 1)1( 1 1 1 22 ++ > + nn ⇒ 1)1( 1 1 1 22 ++ > + nn ⇒ 11)1( 22 +>++ nn o que é verdade. Logo na é decrescente Ou poderia analisar usando o fato de que a primeria derivada é negativa. 12 2 )1(11)( −+= + = x x xf x x x xxxf ∀< + −=+−=′ − ,0 )1( 2)1( 2)( 22 22 E portanto f é decrescente. Resta agora avaliar o n n a ∞→ lim 0 1 1limlim 2 = + = ∞→∞→ n a n n n Portanto a série alternada é convergente. 1=x ⇒ ∑∑ ∞ = ∞ = + = + 0 2 0 2 1 1)1( 1 1 n n n nn LL + + +++++= + ∑ ∞ = 1 1 10 1 5 1 2 11 1 1 2 0 2 nnn Usando o teste da comparação, observa-se que: ∑ ∞ =0 2 1 n n , que é a série-p, 2=p , logo série convergente, e verificando que 22 1 1 1 nn < + , tem-se que a série dada é convergente. Logo o intervalo de convergência da série n n x n ∑ ∞ = +0 2 1 1 é ]1 ,1[− e o raio de convergência é 1=r . Lista 1 de Exercícios (Séries de Potências): 1) Ache intervalo de convergência da série. a) ∑ ∞ =0 2 2n n n x n b) ∑ ∞ = − + 0 )4( 10 1 n n n x n c) ∑ ∞ =0 1 n n x n d) ∑ ∞ =0 ! 1 n n x n REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES POR SÉRIES DE POTÊNCIAS Uma série de potências ∑ ∞ =0 n n n xa define uma função f cujo domínio é o intervalo de convergência da série. Especificamente, para cada x nesse intervalo, tem-se LL ++++++= nnxaxaxaxaaxf 332210)( Se uma função f é assim definida, dizemos aque ∑ ∞ =0 n n n xa é uma representação de funções por séries de potências. 20 Teorema: Suponha que uma série de potências ∑ ∞ =0 n n n xa tenha raio de convergência 0>r , e f definida por: LL ++++++== ∑ ∞ = n n n n n xaxaxaxaaxaxf 332210 0 )( para todo x no intervalo de convergência. Se rxr <<− , então: i) LL +++++=′ −12321 32)( nnxnaxaxaaxf ∑ ∞ = − = 1 1 n n nxna ii) LL + + ++++= + ∫ 132)( 13 2 2 100 n x a x a x axadttf n n x ∑ ∞ = + + = 0 1 1 n n n n x a Similarmente: Teorema: Suponha que uma série de potências ( )∑ ∞ = − 0 n n n cxa tenha raio de convergência 0>r , e f definida por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LL +−++−+ −+−+=−=∑ ∞ = n n n n n cxacxa cxacxaacxaxf 3 3 2 210 0 )( para todo x no intervalo de convergência. Se rxr <<− , então: i) ( )∑ ∞ = − −=′ 1 1)( n n n cxnaxf ii) ( )∑∫ ∞ = + + − == 0 1 0 1 )( n n n x n cx adttf Exemplo 19: Use a reprensentação em série de potências de x xf − = 1 1)( para obter uma representação para a série ( )21 1)( x xg + = , se .1<x Solução: LL LL ++++++= ++++++= − n n xxxxx xxxx x 3210 32 1 1 1 Logo LL +−++−+−+−= −− n xxxx x )()()()()(1 1 210 ou LL +−++−+−= + nn xxxx x )1(1 1 1 32 , .1<x ( ) LL +−++−+−=+ − nn xxxxx )1(11 321 Derivando ambos os lados, tem-se: ( ) LL +−++−+−=+− −− 122 n )1(3211 nn xxxx ou ( ) LL +−++−+−=+− −12 2 n )1(3211 1 nn xxx x ou ainda ( ) LL +−++−+−=+ −132 2 n )1(43211 1 nn xxxx x Portanto a representação em série de ( )21 1)( x xg + = é ( ) ∑ ∞ = − −= + 1 1 2 n )1(1 1 n nn x x , 1 <x 21 Exemplo 20: Encontre a reprensentação em série de potências da função )1ln()( xxg −= . Solução: Sabe-se que dt t xxg x ∫ − −=−= 0 1 1)1ln()( , mas LL ++++++= − nxxxx x 321 1 1 Agora, integrando ambos os lados, obtemos ( )∫∫ ++++++= − t n x dtttttdt t 0 32 0 1 1 1 LL x nx n ttt tdt t 0 32 0 321 1 +++++= − ∫ LL +++++= − ∫ LL n xxx xdt t nx 321 1 32 0 ∑∑∫ ∞ = +∞ = + == − 0 1 1 0 11 1 n n n nx n x n xdt t logo ∑∫ ∞ = + + −= − −=−= 0 1 0 11 1)1ln()( n nx n xdt t xxg Tabela 2: funções e séries de potências LL +++++== − ∑ ∞ = n n n xxxx x 2 0 1 1 1 LL +++++==∑ ∞ = !!2!1 1 ! 2 0 n xxx n x e n n n x L+++−= + −=∑ ∞ = + !7!5!3)!12()1( 753 0 12 xxx x n x senx n n n L+++−=−=∑ ∞ = !6!4!2 1)!2()1(cos 642 0 2 xxx n x x n n n ∑ ∞ = + − +++−= + −= 0 75312 1 !7!5!312 )1(tan n n n xxx x n x x L APROXIMAÇÕES DA FUNÇÃO L+++−= + −=∑ ∞ = + !7!5!3)!12()1( 753 0 12 xxx x n x senx n n n Exemplo 1: Mostre que a representação em série de potências da função x1tan − é ∑ ∞ = + + − 3 12 12 )1( n n n n x Solução: Para mostrar, observa-se que: du uaa u tg a ∫ += − 22 1 11 , no exemplo 1=a e xxu =)( , logo: dx x xtg ∫ += − 2 1 1 1 como ∑ −=+−++−+−=+ nnnn xxxxx x )1()1(1 1 1 32 LL logo LL +−++−+−= + nn xxxx x )()1()()(1 1 1 232222 2 ∑ −=+−++−+−= nnnn xxxxx 22642 )1()1(1 LL 22 Portanto dx x xtg ∫ += − 2 1 1 1 ( )dxxxxx nn∫ +−++−+−= LL 2642 )1(1 x n n n xxxx x 0 12753 12 )1( 753 + + −++−+−= + LL ∑ +−= + 12 )1( 12 n x n n Assim, mostrou-se que =− x1tan ∑ ∞ = + + − 3 12 12 )1( n n n n x . Exemplo 2: Mostre que a representação em série de potências da função x1tan − é ∑ +−= + 12 )1( 2/)12( n x nn Solução: Para mostrar usa-se o fato de que ( ) dtttxxf x + == ∫ − 2 0 1 1 1 2 1 tan)( ou dt tt xxf x + == ∫ − 1 1 2 1 tan)( 0 1 mas LL +−++−+−= + nn tttt t )1(1 1 1 32 ( )LL +−++−+−= + nn tttt ttt )1(1 2 1 1 1 2 1 32 ( )LL +−++−+−= − nn ttttt )1(1 2 32 2/1 ( )LL +−++−+−= −− 2/)12(2/52/32/12/1 )1( 2 1 nn ttttt Logo, dx tt x ∫ +0 1 1 2 1 ( )dxttttx nn∫ +−+−+−= −−0 2/)12(2/32/12/1 )1(2 1 LL x nn t n tt 0 2/)12(2/32/1 12 2)1( 3 22 2 1 + + −++−= + LL ∑ +−= + 12 )1( 2/)12( n x nn Assim, dx tt x ∫ +0 1 1 2 1 ∑ +−= + 12 )1( 2/)12( n x nn Lista 2 de Exercícios (Séries de Potências, série de Maclaurin, série de Taylo): 1) Encontre o raio e o intervalo de convergência da série: a) ∑ ∞ =1n n n x b) ∑ ∞ =1 !n n n x c) ∑ ∞ = + − 1 )2()1( n n n n n x 2) Mostre que a representação em série de potências das funções são: a) ∑ ∞ = + − = + 0 12 )1( 2 1 nn n n x x b) n n n n x x x ∑ ∞ = − − − = + 3 2 13 2 )1( 2 c) ∑ ∞ = +− + − = 0 121 12 )1( tan n n n x n x 3) Encontre a série de Taylor para xexf =)( em 2=c . 4) Represente senxxf =)( como a soma de uma série de Taylor centrada em 3/pi . 5) Usando a Tabela 1, determine a representação das funções em séries de potências: a) 2xe − b) senxe x c) xx 2cos d) xpicos 6) Calcule e com um erro menor que 610 − . 7) Mostre que a série de Taylor gerada por xexf =)( em 0=c converge para )(xf para todo valor real de x. OBS: use o fato de que 0 ! lim = ∞→ n x n x
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