Nestor_Bendo_Geracao de abacos para dimensionamento de secoes de pilares solicitadas por flexao composta

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NESTOR ELEUTÉRIO PAIVA BENDÔ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GERAÇÃO DE ÁBACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES DE PILARES 
SOLICITADAS POR FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2011 
ii 
 
NESTOR ELEUTÉRIO PAIVA BENDÔ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GERAÇÃO DE ÁBACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES DE PILARES 
SOLICITADAS POR FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
 
 
 
 
Monografia submetida à Coordenação do 
Curso de Engenharia Civil, da Universidade 
Federal do Ceará, como requisito parcial para 
obtenção do grau de Engenheiro Civil. 
 
Orientadora: Professora Dra. Magnólia Maria 
Campêlo Mota 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORTALEZA 
2011 
iii 
 
NESTOR ELEUTÉRIO PAIVA BENDÔ 
 
 
 
 
 
 
 
GERAÇÃO DE ÁBACOS PARA DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES DE PILARES 
SOLICITADAS POR FLEXÃO COMPOSTA 
 
 
 
 
Monografia submetida à Coordenação do Curso de Engenharia Civil, da Universidade Federal 
Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. 
 
 
 
 
 
Aprovada em ___/___/___ 
 
 
 
 
 
BANCA EXAMINADORA 
 
 
 
______________________________________________________________ 
Professora Doutora Magnólia Maria Campêlo Mota (Orientadora) 
Universidade Federal do Ceará – UFC 
 
 
 
______________________________________________________________ 
Professor Doutor Joaquim Eduardo Mota 
Universidade Federal do Ceará – UFC 
 
 
 
______________________________________________________________ 
Professor Doutor Augusto Teixeira Albuquerque 
Universidade Federal do Ceará – UFC 
 
 
 
iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedicado inteiramente à minha família, 
que me proveu tudo o que um filho poderia precisar 
 
v 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Aos meus pais João Bendô e Jovane Paiva, que me deram a vida e a educação que 
hoje tenho. À minha grandíssima família, que me ensinou que mesmo irmãos são diferentes 
entre si. 
Às minhas irmãs, Antonia Alanne e Joane Alinne, por me encherem de alegria e 
orgulho. 
Aos meus grandes amigos, Adonias, André, Antonio Marcos, Carina, Décyo, 
Fábio, Filipe, Jennifer, Jennysson, Jorge, Juscelino Filho, Mateus, Paulo Henrique, Renata, 
Samanta, Sheldon, Wesley e Wilker, por tornarem a infância mais alegre e ensinarem o valor 
da amizade e do respeito mútuo. 
Às professoras (tias) do Ensino Fundamental, especialmente Francisca Tavares, 
Isabel Aragão, Maria das Graças e Socorro Martins, pela dedicação e proteção do eterno mais 
jovem da turma. 
Aos amigos que fiz no ensino médio em Sobral (a cidade que fica no centro do 
universo!), especialmente Domitila, Emerson, Helton, Jacimara, Lucas, Lucinara, Marcellus, 
Marly, Pedro Henrique, Rita Irene, Ridner, Saulo, Tamises e Vinícius, que me influenciaram 
na escolha da Engenharia Civil como carreira (E ainda bem que não fiz Computação, como 
queria!). 
Às minhas tias, Joana, Edina e Olga Paiva, por tornarem possível minha vinda de 
Santa Quitéria para Fortaleza em 2006. 
Aos amigos que aqui fiz, especialmente Adelino, Carlos David, Francisco Alan, 
Iuri Aragão, Iuri Barcelos, Jhonatas, José Graciano, Luiz Antonio, Pedro Ygor, Raul e Thiago 
Bomfim, que entraram na instituição comigo em 2006, por seu companheirismo em 
momentos adversos. Aos demais colegas (a maioria das duas turmas seguintes – 2007 e 
2008), que enfrentam os mesmos desafios que eu, e que não estão aqui listados, pois seu 
número é imenso (Por que será que “Cabo Vicentão! Cabo Vicentão!” sempre ecoa na minha 
cabeça?). 
Aos colegas do Centro Acadêmico e do PET, por sua amizade e momentos de 
descontração. Às amigas da Coordenação, Leonildes e Selimar, por sua simpatia e auxílio no 
momento da conclusão de curso. Ao Chiquinho, por me ajudar várias vezes quando fiquei 
preso no Campus. 
Às minhas tias Erotildes Bendô e Eridan Paiva, e às minhas madrinhas Benedita 
Bendô e Francisca Paiva por seu apoio moral e financeiro em tempos de dificuldade e também 
nos momentos de felicidade. 
vi 
 
Ao professor Silvrano Dantas, e aos colegas do Laboratório de Mecânica dos 
Solos e Pavimentação, pela amizade e pela oportunidade de trabalhar em sua pesquisa em 
2009. 
Aos professores Evandro Parente Junior, John Kennedy e Felipe Loureiro, por 
ensinar a ter respeito pelo que faço, e por ensinar o valor de uma boa conversa com um 
mestre. 
À professora Magnólia, por sua amizade, e por definir a área de atuação que 
pretendo seguir. 
Ao professor Joaquim e seu pai, Dr. Hugo Mota, que me permitiram estagiar em 
sua empresa e adquirir experiência em nosso campo de trabalho. 
Aos meus sogros, João e Inês, por seu carinho e amizade, e ao meu cunhado, João 
Vitor, por me levar de volta à minha infância sempre que o vejo. 
À minha esposa, Meiriciana, que esteve comigo e acreditou em mim quando eu 
mesmo pensava em desistir. Ao meu filho, Antonio Saulo, por ser um “pequeno tubarão no 
meio do cardume”, me mantendo focado ao resultado sem me perder. 
E a todos os que contribuíram, de uma forma ou de outra, para a realização deste 
trabalho. 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Pensar é o trabalho mais pesado que há, 
e talvez seja essa a razão para tão poucos 
se dedicarem a isso.” 
 
– Henry Ford 
viii 
 
RESUMO 
 
Pilar é um elemento estrutural geralmente vertical que recebe ações 
predominantemente de compressão, podendo estar submetido à flexão composta reta ou 
oblíqua. No dimensionamento de pilares de concreto armado à flexão composta é comum o 
emprego de diagramas adimensionais de esforços resistentes em função da taxa mecânica de 
armadura, dado que os mesmos abrangem grande faixa de valores de esforços resistentes e de 
seções transversais. O presente trabalho mostra como gerar ábacos adimensionais para seções 
retangulares simétricas predefinidas, variando o cobrimento, a quantidade e a disposição das 
armaduras. Foi confeccionada uma planilha em Microsoft Excel que obtém os ábacos para 
seções retangulares submetidas à flexão composta reta. A planilha foi validada com exemplos 
apresentados na literatura consultada, e mostrou ser uma ferramenta adequada para o uso por 
parte de estudantes engenharia e profissionais da área, adicionando mais possibilidades ao 
dimensionamento e à verificação de pilares de concreto armado. 
 
 
Palavras-Chave: dimensionamento, pilares, ábacos adimensionais. 
 
 
ix 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 2.1 – Flexão Reta e Flexão Oblíqua ............................................................................. 4 
Figura 2.2 – Flexão Simples e Flexão Composta .................................................................... 5 
Figura 2.3 – Comprimento de flambagem do pilar .................................................................. 7 
Figura 2.4 – Comprimentos de Flambagem para cada situação de vinculação ......................... 8 
Figura 2.5 – Classificação quanto à posição em planta ........................................................... 9 
Figura 2.6 – Situação de projeto da excentricidade inicial e da força normal em pilares 
(CARVALHO, 2009) ........................................................................................................... 13 
Figura 2.7 – Aproximação em apoios extremos (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) .....14 
Figura 2.8 – Imperfeições geométricas globais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ...... 15 
Figura 2.9 – Imperfeições geométricas locais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) ........ 16 
Figura 3.1 – Rotina para obtenção de diagramas de interação e ábacos adimensionais .......... 22 
Figura 3.2 – Seção genérica empregada na planilha .............................................................. 23 
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação parábola-retângulo do concreto .......................... 25 
Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação bilinear do aço ................................................... 25 
Figura 3.5 – Domínios e Regiões de Deformação (adaptada de SANTOS, 1994) .................. 27 
Figura 3.6 – Deformações na Região I ................................................................................. 28 
Figura 3.7 – Deformações na Região II ................................................................................ 29 
Figura 3.8 – Deformações na Região III ............................................................................... 29 
Figura 3.9 – Resultante ��� e sua posição (adaptada de SANTOS, 1994) ............................. 31 
Figura 3.10 – Casos para o cálculo de � e �′ (adaptada de SANTOS, 1994) ......................... 32 
Figura 3.11 – Esforços resistentes da seção transversal ......................................................... 34 
Figura 3.12 – Entradas da Planilha-Base .............................................................................. 37 
Figura 3.13 – Iteração da planilha para uma posição da Linha Neutra ................................... 38 
Figura 3.14 – Interface da Planilha-Resumo ......................................................................... 39 
Figura 3.15 – Ábaco gerado pela planilha............................................................................. 39 
Figura 4.1 – Seção do Exemplo 01 ....................................................................................... 40 
Figura 4.2 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Base ........................................................ 41 
Figura 4.3 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Resumo ................................................... 41 
Figura 4.4 – Ábaco do Exemplo 01 ...................................................................................... 42 
Figura 4.5 – Seção do Exemplo 02 ....................................................................................... 43 
Figura 4.6 – Entradas do caso para a Planilha-Base .............................................................. 44 
Figura 4.7 – Entradas do caso para a Planilha-Resumo ......................................................... 44 
x 
 
Figura 4.8 – Ábaco gerado para o caso ................................................................................. 44 
 
xi 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................. 1 
1.1 Objetivos ........................................................................................................... 2 
1.2 Metodologia ...................................................................................................... 2 
1.3 Estrutura do trabalho ......................................................................................... 3 
2 DIMENSIONAMENTO DE PILARES ........................................................................... 4 
2.1 Flexão Composta Normal e Oblíqua .................................................................. 4 
2.2 Elementos geométricos do dimensionamento de pilares ..................................... 5 
2.2.1 Dimensões mínimas .......................................................................... 5 
2.2.2 Cobrimento mínimo das armaduras ................................................... 6 
2.2.3 Armaduras longitudinais máximas e mínimas na seção ..................... 6 
2.2.4 Comprimento efetivo de flambagem ................................................. 6 
2.2.5 Índice de Esbeltez e Raio de Giração ................................................ 8 
2.3 Classificação dos pilares .................................................................................... 9 
2.4 Consideração dos efeitos de segunda ordem .................................................... 11 
2.5 Esforços nos pilares ......................................................................................... 12 
2.5.1 Excentricidades ............................................................................... 12 
2.6 Métodos de cálculo dos Efeitos de Segunda Ordem ......................................... 18 
2.6.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada ...................... 18 
2.6.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez � Aproximada ...................... 20 
2.6.3 Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M, N, 1/r ............... 20 
2.6.4 Método Geral – Processo Exato ...................................................... 20 
3 PLANILHA PARA GERAÇÃO DE ÁBACOS ............................................................. 22 
3.1 Geometria da seção proposta ........................................................................... 22 
3.2 Cálculo dos esforços nos materiais .................................................................. 24 
3.2.1 Relações constitutivas dos materiais ................................................ 24 
3.2.2 Domínios de Deformação e Regiões de Deformação ....................... 26 
3.2.3 Curvatura ........................................................................................ 30 
3.2.4 Esforço resistente de cálculo do concreto ........................................ 30 
xii 
 
3.2.5 Esforços resistentes nas armaduras .................................................. 33 
3.3 Equilíbrio da seção transversal......................................................................... 34 
3.4 Planilha-Base .................................................................................................. 36 
3.5 Planilha-Resumo ............................................................................................. 38 
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO .................................................................................... 40 
4.1 Exemplo 01 ..................................................................................................... 40 
4.2 Exemplo 02 ..................................................................................................... 42 
5 CONCLUSÃO .............................................................................................................. 45 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................. 46 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Pilares são elementos estruturais lineares cuja dimensão predominante se encontra 
na direção vertical, estando assim submetidos principalmente a esforços de compressão axial 
ou flexocompressão. A função dos pilares na estrutura é transmitir os esforços verticais das 
lajes e vigas para as fundações, bem como os esforços laterais causados pelo vento 
(CARVALHO, 2009). 
O dimensionamento de pilares é uma importante atividade do cálculo estrutural, 
dada a elevada suscetibilidade dos pilares (e, consequentemente, das estruturas como um todo) 
a possíveis erros de execução, sendo que alguns deles são considerados na fase de projeto 
como hipóteses de cálculo, caso das excentricidades acidentais, por exemplo. 
O dimensionamento adequado dos pilares é exigido principalmente pelo perigo de 
queda brusca de resistência perante a presença de momentos fletores, que podem levar à 
flambagem da peça. A flambagem é um fenômeno de instabilidade onde o estado de 
deformação da estruturainflui no cálculo dos esforços internos, caracterizando não-
linearidade geométrica e invalidando o princípio da superposição de efeitos. Este fenômeno é 
denominado efeito de segunda ordem (CARVALHO, 2009). 
O objetivo do dimensionamento de pilares é manipular sua geometria e 
características dos materiais de modo que sejam obtidas dimensões compatíveis com as 
exigências arquitetônicas e de projeto estrutural, ao mesmo tempo em que se limitam os 
valores dos Esforços Solicitantes de Cálculo, de modo que, preferencialmente, obtenham-se 
carregamentos limites em pelo menos um dos materiais, aproveitando ao máximo sua 
resistência. O objetivo da verificação de pilares é obter, para a seção em questão, os esforços 
resistentes de cálculo, que devem superar os esforços solicitantes de cálculo apresentados no 
problema. 
Tanto para o dimensionamento como para a verificação, ábacos que forneçam os 
diagramas de interação que contenham os esforços limites podem ser usados, facilitando os 
processos de cálculo por serem empregados normalmente diagramas adimensionais. 
Ábacos para dimensionamento de seções de pilares são equações de superfície que 
fornecem o valor do esforço normal adimensional (�), dos momentos fletores adimensionais 
(�� e �� ), e taxa mecânica de armadura (�), representadas em plano cartesiano por suas 
curvas de nível. Estas equações fornecem os limites de resistência de uma dada seção 
transversal em função de suas características físicas e geométricas, sendo que os valores são 
2 
 
transformados em adimensionais de modo a possibilitar o emprego de um mesmo ábaco para 
representar várias seções semelhantes (condição esta que é garantida pela própria geometria e 
pela disposição das barras da armadura longitudinal). 
Durante o período de graduação dos estudantes de engenharia, os professores das 
disciplinas referentes a Estruturas de Concreto ensinam o uso destes ábacos para 
dimensionamento de seções de concreto solicitadas por flexão composta, já que não há 
disponibilidade de programas de baixo custo para fazê-lo (CARVALHO, 2009). No entanto, 
os ábacos existentes são poucos e restritos, com apenas algumas distribuições de armadura e 
cobrimentos. 
 
1.1 Objetivos 
 
Como motivação para este trabalho, tem-se a geração de ábacos de flexão 
composta reta para pilares com seção retangular maciça com arranjo simétrico de armadura 
num meio computacional familiar aos estudantes e engenheiros, o MICROSOFT EXCEL. O 
que se pretende é obter uma planilha que contenha os ábacos e que possa ser empregada 
facilmente para obter resultados os mais fieis possíveis, aumentando significativamente a 
quantidade de ábacos disponíveis e contemplando arranjos de armadura que o próprio usuário 
proponha, permitindo uma análise mais econômica e qualitativa dos mesmos. 
Completado este objetivo ter-se-á em mãos um meio prático e didático para obter 
o diagrama de resistência para uma dada seção transversal, que deve ser testado por meio de 
exemplos com disposições de armadura tipicamente adotadas pelos calculistas. 
 
1.2 Metodologia 
 
Para obter a planilha de cálculo foram estudados desde maio de 2011 capítulos de 
livros contendo a formulação básica do equilíbrio de seções de pilares, caracterizando uma 
pesquisa bibliográfica exploratória. 
Foi gerada uma planilha que implementa novos ábacos a partir de uma seção 
predeterminada, e então validaram-se os ábacos resultantes, caracterizando-se também uma 
pesquisa analítica com estudo comparativo qualitativo. 
 
 
 
3 
 
1.3 Estrutura do trabalho 
 
Este trabalho está dividido em cinco capítulos, sendo o primeiro esta introdução, a 
qual contextualiza o problema, os objetivos, metodologia e a estrutura do trabalho. 
O segundo capítulo trata dos conceitos fundamentais do dimensionamento de 
pilares, definindo as características geométricas, os esforços que devem ser calculados para 
seu dimensionamento e os métodos de cálculo empregados para dimensionamento de pilares. 
Apresentados os métodos de dimensionamento, o terceiro capítulo traz a planilha 
para gerar ábacos a partir da geometria de uma seção transversal. Segue no quarto capítulo 
uma série de exemplos de aplicação da planilha citada e a discussão dos resultados. 
O quinto capítulo traz as conclusões e sugestões para trabalhos futuros. 
 
4 
 
2 DIMENSIONAMENTO DE PILARES 
 
2.1 Flexão Composta Normal e Oblíqua 
 
A flexão normal caracteriza-se quando o momento fletor atuante na seção 
transversal tem a direção de um dos eixos centrais principais de inércia. Caso contrário, tem-
se flexão oblíqua. Os eixos centrais são os que passam pelo centroide da seção, enquanto que 
as direções principais de inércia se caracterizam por conterem os extremos momentos de 
inércia da seção, sendo sempre ortogonais entre si. Também se encontra uma direção principal 
de inércia sempre que o produto de inércia (���) para esta direção é nulo (CARVALHO, 
2009). Assim sendo todo eixo de simetria é um eixo principal de inércia. Ocorre também 
flexão normal sempre que o momento solicitante é perpendicular a um eixo de simetria da 
seção. Nas demais situações, ocorre flexão oblíqua (Figura 2.1). 
Para o cálculo de concreto armado, a flexão normal é muito vantajosa, pois 
trabalha-se com menos equações de equilíbrio e a declividade da Linha Neutra (LN) na seção 
é conhecida, sendo sempre perpendicular ao eixo de simetria (CARVALHO, 2009). 
L
N
L
N
a) FLEXÃO RETA b) FLEXÃO OBLÍQUA 
Figura 2.1 – Flexão Reta e Flexão Oblíqua 
 
A flexão composta ocorre quando, além do momento fletor atuante na seção, há 
também uma força normal atuante, seja ela de tração ou de compressão. Quando ocorre o 
esforço normal aplicado ao CG da peça, sem presença de momento fletor, tem-se tração ou 
compressão centrada. A Figura 2.2 mostra as flexões simples e composta. 
5 
 
Md
CG
Md
CG
Nd
a) FLEXÃO SIMPLES b) FLEXÃO COMPOSTA
 
Figura 2.2 – Flexão Simples e Flexão Composta 
 
Para o caso do concreto armado, entretanto, não se pode aplicar os conceitos 
acima diretamente, pois ocorre fissuração em parte da seção e a presença da área de aço influi 
sobre o cálculo dos momentos de inércia (CARVALHO, 2009). 
 
2.2 Elementos geométricos do dimensionamento de pilares 
 
2.2.1 Dimensões mínimas 
 
O item 13.2.3 da NBR 6118 (ABNT, 2003) relaciona as dimensões limites que 
devem ser obedecidas para o dimensionamento de pilares, afirmando que, de maneira geral, 
não devem ser admitidos em projeto pilares maciços com dimensão mínima menor que 
19 ��, a não ser que suas cargas solicitantes sejam majoradas por um coeficiente adicional 
��, de acordo com a Tabela 2.1 abaixo. A norma é proibitiva quanto a pilares com área de 
seção transversal menor que 360 cm². 
Tabela 2.1 – Valores do coeficiente adicional �� (adaptada da Tabela 13.1 da NBR 6118 (ABNT, 2003)) 
b (cm) ≥19 18 17 16 15 14 13 12 
�� 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
Onde: 
�� = 1,95− 0,05�; 
� é a menor dimensão da seção transversal do pilar. 
 
6 
 
2.2.2 Cobrimento mínimo das armaduras 
 
Os itens 6 e 7 da NBR 6118 (ABNT, 2003) são dedicados a especificar as 
características necessárias à estrutura e ao concreto para garantir a proteção da armaduras e a 
durabilidade de elementos estruturais quando não são empregados aditivos e produtos 
protetores, como a relação água/cimento mais adequada e a resistência característica ideal 
para o cobrimento das armaduras em cada caso. 
O cobrimento das armaduras é uma variável relevante para o dimensionamento, 
pois é um dos limites de posicionamento das armaduras na seção. Os ábacos existentes na 
literaturasão, inclusive, limitados a certos valores de cobrimento. 
 
2.2.3 Armaduras longitudinais máximas e mínimas na seção 
 
A armadura mínima a ser considerada em seções de pilares e tirantes, de acordo 
com o item 17.3.5 da NBR 6118 (ABNT, 2003), deve ser: 
��,��� = 0,15∙
��
���
≥ 0,4% ∙ �� (2.1) 
Onde: 
�� é o valor da Força Normal Solicitante de Cálculo; 
��� é a resistência à tração de cálculo do aço; 
�� é a área da seção transversal do pilar. 
O valor máximo da armadura na seção transversal de pilares deve ser, já incluindo 
a sobreposição das armaduras na região de emenda por traspasse, segundo a norma: 
��,��� = 8% ∙ �� (2.2) 
A recomendação para a taxa mínima de armadura é feita sobre a consideração de 
um momento mínimo que provocaria fissuração no concreto simples, sendo obedecidas as 
condições para abertura de fissuras. A recomendação para a armadura máxima é feita sobre a 
condição de validade dos ensaios de aderência e funcionamento conjunto dos materiais, além 
da exequibilidade do elemento estrutural. 
 
2.2.4 Comprimento efetivo de flambagem 
 
Comprimento efetivo de flambagem é a distância entre os pontos de momento 
nulo (pontos de inflexão) do elemento estrutural em sua configuração deformada quando 
7 
 
submetido ao seu carregamento crítico. O comprimento de flambagem é dependente da 
condição de vinculação das extremidades do pilar. 
Para um pilar vinculado em ambas as extremidades, a NBR 6118 (ABNT, 2003) 
exige que o comprimento de flambagem seja o menor entre os seguintes valores (Figura 2.3): 
�� ≤ �
�� + ℎ
�
 (2.3) 
Onde: 
�� é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais que vinculam o 
pilar; 
ℎ é a altura da seção transversal do pilar medida na direção em questão; 
� é a distância entre os eixos dos elementos estruturais que vinculam o pilar. 
l0 l
h/2
h/2
h l0+h
 
Figura 2.3 – Comprimento de flambagem do pilar 
 
A vinculação do pilar pode ser feita por vigas ou por lajes, não mudando a 
analogia em função da situação. No entanto, para diferentes vinculações das extremidades, os 
valores obtidos devem ser multiplicados por um coeficiente, dado para cada situação 
apresentada na Figura 2.4: 
8 
 
L
le = 2L
le = 0,7L
le = 0,5L
 
Figura 2.4 – Comprimentos de Flambagem para cada situação de vinculação 
 
2.2.5 Índice de Esbeltez e Raio de Giração 
 
O índice de esbeltez de um pilar é uma grandeza adimensional que depende de 
suas dimensões e das condições de vinculação das suas extremidades, sendo definido como a 
razão entre o comprimento de flambagem (��) e o raio de giração da seção transversal (�), 
como mostra a equação (2.4): 
� =
��
�
 (2.4) 
Onde: 
�= �
�
�
 (2.5) 
Quanto maior o índice de esbeltez de um pilar em uma dada direção, mais 
provável é a ocorrência de flambagem nesta direção. Para seções simétricas, como as 
9 
 
retangulares, � é definido para as duas direções, como mostram as equações (2.6) a (2.9) 
abaixo: 
�� =
��,�
��
 (2.6) 
�� =
��,�
��
 (2.7) 
�� = �
��
�
 (2.8) 
�� = �
��
�
 (2.9) 
 
2.3 Classificação dos pilares 
 
Carvalho (2009), com o intuito de sistematizar o estudo e melhorar a abordagem 
do dimensionamento, classifica os pilares em relação a dois critérios, a saber: 
 Quanto à posição em planta: central, lateral e de canto (Figura 2.5); 
 Quanto à esbeltez: curto, medianamente esbelto, esbelto e muito esbelto. 
a) PILAR
INTERNO
b) PILAR DE
BORDA
c) PILAR DE
CANTO
 
Figura 2.5 – Classificação quanto à posição em planta 
 
 
 
 
10 
 
2.3.1.1 Classificação quanto à posição em planta 
 
A localização do pilar em planta determina como as excentricidades do 
carregamento vertical em relação à seção deverão ser consideradas, e a partir daí o tipo de 
solicitação presente no mesmo. Pilares centrais são solicitados por compressão centrada, 
pilares laterais são solicitados por flexão composta reta e pilares de canto por flexão composta 
oblíqua (CARVALHO, 2009). 
Esta classificação é embasada na continuidade das rotações entre vigas e pilares: 
nos vãos centrais as rotações são pequenas, significando transmissão de pouco ou nenhum 
momento fletor da viga para o pilar, enquanto que nas extremidades das vigas há rotações 
maiores, indicando transmissão de momentos fletores para os pilares de extremidade. 
A NBR 6118 (ABNT, 2003), em seu item 14.6.7.1, especifica que pode ser 
desprezada a transmissão de momento nos pilares centrais (considerando que as vigas são 
simplesmente apoiadas nestes) e que deve haver transmissão de uma parcela do momento 
fletor que seria considerado quando houvesse engastamento perfeito em pilares de 
extremidade. Esta parcela deve ser proporcional à rigidez de cada elemento considerado 
(CARVALHO, 2009). O cálculo deste momento proporcional será mais detalhado na seção 
2.5.1. 
 
2.3.1.2 Classificação quanto à esbeltez 
 
A consideração da flambagem e dos efeitos de segunda ordem em pilares é feita a 
partir do valor de seu índice de esbeltez (�), como já explicado na seção 2.2.5, e enunciado 
por Carvalho (2009). De acordo como o autor, a abordagem para consideração dos efeitos de 
segunda ordem tem maior ou menor simplificação para determinados valores deste índice. O 
autor ainda faz a classificação dos pilares em curtos (� ≤ �� ), medianamente esbeltos 
( �� < � ≤ 90 ), esbeltos ( 90 < � < 140 ) e muito esbeltos ( 140 < � ≤ 200), dando 
nomenclatura e didática à classificação da NBR 6118 (ABNT, 2003). A norma admite pilares 
com índice de esbeltez maior que 200 apenas no caso de postes solicitados por apenas 10% da 
resistência do concreto (���). 
As recomendações da norma para cada um destes intervalos de índice de esbeltez 
foram resumidas no Quadro 2.1. 
 
 
11 
 
2.4 Consideração dos efeitos de segunda ordem 
 
Conforme o item 15.8.2 da NBR 6118 (ABNT, 2003), a análise dos efeitos locais 
de segunda ordem é dispensável para pilares curtos, quando o índice de esbeltez for menor 
que o limite ��. Os efeitos de segunda ordem são responsáveis por reduzir a resistência do 
pilar frente ao crescimento dos esforços solicitantes. O valor de �� é dado por: 
�� =
25+ 12,5 ∙
��
ℎ
��
 (2.10) 
 
Quadro 2.1 – Recomendações da NBR 6118 (ABNT, 2003) (adaptado de CAMPOS FILHO, 2011) 
Índice de 
Esbeltez 
Consideração 
dos Efeitos 
de Segunda 
Ordem 
Processo de Cálculo 
Consideração 
da Fluência Exato 
Aproximado 
por 
Diagramas 
(M, N, 1/r) 
Simplificado 
≤ �� Dispensável – – – – 
≤ 90 
Obrigatória 
Dispensável Permitido 
Permitido Dispensável 
≤ 140 
Proibido Obrigatória 
≤ 200 Obrigatória Proibido 
 
Onde: 
35 ≤ �� ≤ 90; 
�� é a excentricidade de primeira ordem; 
ℎ é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo. 
O coeficiente �� é obtido como se mostra a seguir: 
a. Para pilares biapoiados sem cargas transversais: 
�� = 0,6 + 0,4 ∙
��
��
≥ 0,40 (2.11) 
Com �� e �� sendo os momentos de primeira ordem nos extremos do pilar. �� é 
o momento de maior valor absoluto ao longo do elemento e �� deve ter o mesmo sinal de �� 
se tracionar o mesmo lado que aquele e o sinal contrário caso não o faça. 
b. Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo 
da altura: 
12 
 
�� = 1,0 (2.12) 
c. Para pilares em balanço: 
�� = 0,80+ 0,20∙
��
��
≥ 0,85 (2.13) 
Sendo �� o momento de primeira ordem no engaste e �� o momento no meio do 
vão. 
d. Para pilares com momentos menores que o estabelecido no item 
11.3.3.4.3 da NBR 6118 (ABNT, 2003):�� = 1,0 (2.14) 
 
2.5 Esforços nos pilares 
 
2.5.1 Excentricidades 
 
Para o cálculo dos esforços solicitantes, devem ser consideradas no projeto 
excentricidades que representam a distância de aplicação do Esforço Normal Solicitante de 
Cálculo em relação ao centro geométrico do pilar, gerando os Momentos Fletores Solicitantes 
de Cálculo. Segundo Carvalho (2009) as excentricidades devem ser conhecidas por 
representarem os diversos fatores que influem no dimensionamento. As excentricidades assim 
definidas são classificadas em: 
a. Excentricidade inicial: resulta da presença da ligação monolítica entre 
as vigas e os pilares laterais e de canto. A ligação transmite momentos fletores ao pilar, 
gerando a excentricidade, que pode ser obtida a partir das expressões (2.15) e (2.16) abaixo: 
��� =
��
�
 (2.15) 
��� =
��
�
 (2.16) 
A excentricidade inicial ocorre em pilares independentemente da esbeltez e em 
ambas as direções, dependendo apenas da presença ou não de momento solicitante (Figura 
2.6). Esta de excentricidade deve ser associada às demais (CARVALHO, 2009). 
Considera-se para o cálculo que a estrutura seja de nós fixos (estrutura 
contraventada) e submetida apenas a ações verticais (CARVALHO, 2009). 
Na verificação dos máximos esforços em um pilar de edifício, devem ser 
consideradas duas situações, uma delas na extremidade do pilar (onde a excentricidade de 
primeira ordem é maior que a de segunda ordem – esta é nula se o pilar for biapoiado) e outra 
13 
 
numa seção intermediária (onde a excentricidade de segunda ordem é maior). De acordo com 
Carvalho (2009), deve ser escolhida a mais crítica destas duas situações. 
 
y y y y
x x x x
eix
eiy eiy
eix
ei
Nd Nd
Nd Nd
a) PILAR
INTERNO
b) PILAR DE
BORDA
c) PILAR DE
CANTO
 
Figura 2.6 – Situação de projeto da excentricidade inicial e da força normal em pilares (CARVALHO, 2009) 
 
Na situação de extremidade, a excentricidade inicial se apresenta como na 
equação (2.15) ou a equação (2.16), e deve ser somada à excentricidade acidental de 
desaprumo (exposta no subitem c), ou considerada a excentricidade mínima estabelecida pela 
norma (subitem d). Na seção intermediária há excentricidade de segunda ordem e a 
excentricidade inicial passa a ter um valor reduzido ponderado por �� (sendo este fator 
calculado como na equação (2.11) para pilares biapoiados), portanto, segundo a igualdade 
(2.17) abaixo: 
��
∗ = �� ∙ �� (2.17) 
O item 14.6.7 da NBR 6118 (ABNT, 2003) traz uma formulação aproximada de 
obter o momento proveniente da solidariedade com as vigas, advinda da teoria estudada na 
Disciplina de Análise de Estruturas, tomando o momento fletor como uma fração do momento 
de engastamento perfeito, supondo que os elementos estruturais envolvidos (viga e dois 
tramos de pilar) sejam construídos com o mesmo material, tendo assim o mesmo módulo de 
elasticidade. A formulação da norma é mostrada nas equações (2.18) a (2.20) abaixo: 
Momento na extremidade da viga: 
�����,���� =
���� + ����
���� + ���� + �����
∙ ���� (2.18) 
 
14 
 
Momento no tramo superior do pilar: 
��,� ��� =
����
���� + ���� + �����
∙ ���� (2.19) 
Momento no tramo inferior do pilar: 
��,� ��� =
����
���� + ���� + �����
∙ ���� (2.20) 
Onde: 
����, ���� e ����� é a rigidez de cada elemento no nó considerado; 
�� = ��/��, sendo �� o momento de inércia de cada elemento e �� o comprimento do 
elemento, conforme a Figura 2.7; 
���� é o momento de engastamento perfeito na ligação viga-pilar; 
��,� ��� é o momento na extremidade inferior do pilar superior; 
��,� ��� é o momento da extremidade superior do pilar inferior. 
linf/2
lsup/2
lviga
 
Figura 2.7 – Aproximação em apoios extremos (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) 
 
b. Excentricidade de forma: em virtude muitas vezes de exigência 
arquitetônica, é comum que os eixos de vigas e pilares venham a não coincidir, de modo que é 
gerada uma excentricidade puramente geométrica. 
De acordo com Carvalho (2009) é necessário cuidado adicional quando forem 
empregados programas de cálculo que incluam as excentricidades de forma automaticamente, 
evitando o aumento exagerado do momento fletor atuante nos pilares. 
c. Excentricidade acidental: A NBR 6118 (ABNT, 2003) parte do 
princípio que não há perfeição geométrica na execução de estruturas, incluindo no cálculo as 
imperfeições de posição e forma das peças, imperfeições estas chamadas excentricidades 
acidentais. 
15 
 
As excentricidades acidentais são agrupadas na NBR 6118 (ABNT, 2003) em dois 
grupos: imperfeições geométricas globais e imperfeições geométricas locais. As imperfeições 
globais são consideradas como sendo um desaprumo da estrutura como um todo, calculado 
como nas equações (2.21) e (2.22): 
qa
H
n 
Figura 2.8 – Imperfeições geométricas globais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) 
 
�� =
1
100√�
 (2.21) 
�� = �� ∙
� 1+
1
�
2
 
(2.22) 
Onde: 
�� é o desaprumo de um elemento vertical contínuo; 
��,���= 1/400 para estruturas de nós fixos; 
��,���= 1/300 para estruturas de nós móveis; 
��,���= 1/200; 
� é a altura total da edificação em metros; 
� é o número de prumadas de pilares. 
A NBR 6118 (ABNT, 2003) não recomenda que o desaprumo seja superposto ao 
carregamento de vento, devendo ser tomado entre eles o mais desfavorável, que gere maior 
momento na base da construção. 
As imperfeições locais são computadas em apenas um lance de pilar, sendo 
considerado o efeito do desaprumo ou da falta de retilineidade, como mostrado na Figura 2.9. 
 
16 
 
l
l
l
l
l
l
l/2
ea ea
q 1 q 1
a) FALTA DE
RETILINEIDADE
b) DESAPRUMO
 
Figura 2.9 – Imperfeições geométricas locais (adaptada da NBR 6118 (ABNT, 2003)) 
 
O cálculo de �� é feito a partir da expressão (2.23): 
�� =
1
100√�
≥ ��,��� (2.23) 
Para o caso da falta de retilineidade, temos: 
�� = �� ∙
�
2
 (2.24) 
E, para o desaprumo: 
�� = �� ∙ � (2.25) 
Sendo: 
�� o desaprumo de um elemento vertical contínuo; 
� a altura de um pavimento; 
��,���= 1/300 para imperfeições locais; 
��,���= 1/200. 
d. Excentricidade de primeira ordem mínima: segundo o item 11.3.3.4.3 
da NBR 6118 (ABNT, 2003), pode-se substituir a consideração das imperfeições geométricas 
em um lance de pilar pela consideração da excentricidade mínima de primeira ordem, dada 
pela equação (2.26), desde que a excentricidade mínima seja superior à imperfeição 
considerada. 
��,��� = 0,015+ 0,03ℎ (2.26) 
Onde ℎ é a altura da seção transversal na direção considerada, em metros. 
17 
 
Há autores que interpretam que esta excentricidade deve substituir não só a 
imperfeição geométrica considerada, mas a soma desta com a excentricidade inicial, de 
acordo com o especificado no item 15.8.3.3.2. Há referência na NBR 6118 (ABNT, 2003), no 
item 11.3.3.4.3, que o momento mínimo substitui o oriundo das imperfeições geométricas 
quando for maior que este. Neste trabalho, não há interesse em definir qual destas 
recomendações deve ser seguida, mas Carvalho (2009) afirma que o próprio projetista é o 
responsável por adotar a interpretação que achar mais desfavorável. 
e. Excentricidade de segunda ordem: é proveniente dos efeitos da 
flambagem, sendo considerada em pilares cujo índice de esbeltez supere o valor de �� dado 
pela equação (2.10). De acordo com Carvalho (2009), para reproduzir os efeitos da 
flambagem, admite-se que a compressão no pilar atue com uma excentricidade ��, existente 
mesmo em pilares centrais, o que faz com que eles sofram flexão composta em lugar de 
compressão centrada. O cálculo desta excentricidadeserá visto mais adiante. 
f. Excentricidade suplementar devido à fluência: é prevista para incluir no 
cálculo a fluência do concreto, conforme a recomendação prevista no item 15.8.4 da NBR 
6118 (ABNT, 2003). É obrigatório calcular esta excentricidade para pilares com índice de 
esbeltez maior que 90, e o procedimento exposto em Carvalho (2009) para obtenção da 
mesma é acrescentar à excentricidade de segunda ordem o valor mostrado na equação (2.27): 
�� = �
���
���
+ ��� ∙ ��
� ∙���
������ − 1� (2.27) 
Onde: 
�� = (10 ∙ �� ∙ ��)/��
� ; 
��� e ��� são os valores característicos dos esforços solicitantes devido às ações 
permanentes; 
�� é a excentricidade acidental (imperfeições geométricas); 
� é o coeficiente de fluência; 
�� é o módulo de elasticidade do concreto; 
�� é o momento de inércia da seção bruta de concreto segundo a direção analisada. 
O estudo apresentado sobre excentricidades é resumido pelo Quadro 2.2. 
 
 
 
 
18 
 
Quadro 2.2 – Resumo do emprego das excentricidades (adaptado de CARVALHO, 2009) 
Excentricidade Situações de uso Expressões de Cálculo 
Inicial 
Em Pilares Laterais 
ou de Canto 
Pilar Lateral: 
�� = ��/� 
Pilar de Canto: 
��� = ���/�, 
��� = ���/� 
Seções 
intermediárias: 
��
∗ = �� ∙ �� 
De Forma 
Imposição de 
projeto 
Obtida das plantas de forma 
Acidental (��) Todas 
Seção Extrema: 
��/� 
Seção 
Intermediária: 
�� ∙ �/2 
�� =
1
100√�
≤
1
200
 
Mínima 
Todas, se maior 
que as imperfeições 
geométricas ou de 
primeira ordem 
��,���= 0,015 + 0,03 ∙ ℎ (ℎ em metros) 
De Segunda 
Ordem 
Sempre que � > �� 
�� < � < 90 
�� =
��
�
��
∙
�,���
(���,�)∙�
 
90≤ � < 140 
�� =
��
�
��
∙
�
�
 
Gráficos M, N, 
1/r 
140≤ � < 200 
Processo geral 
Suplementar Sempre que � > 90 �� = �
���
���
+ ��� ∙ ��
�∙���
������ − 1�, �� =
��∙��∙��
��
� 
 
2.6 Métodos de cálculo dos Efeitos de Segunda Ordem 
 
De acordo com Carvalho (2009) existem alguns métodos para cálculo dos efeitos 
de segunda ordem, variando em precisão e grau de complexidade dos cálculos. Os métodos 
mais simplificados são de emprego limitado, mas os mais sofisticados exigem emprego de 
programação computacional. Os métodos de cálculo serão abordados neste trabalho apenas a 
título de apresentação. 
 
2.6.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada 
 
De acordo com Carvalho (2009), os métodos aproximados tentam identificar a 
seção mais solicitada e obter expressões que calculem o efeito de segunda ordem. Como 
19 
 
hipóteses de cálculo, tem-se: a flecha máxima é função da curvatura da peça; a não-
linearidade geométrica é considerada de forma aproximada por uma senoidal; a curvatura é 
dada pela segunda derivada da linha elástica da barra; a não-linearidade física é considerada a 
partir do cálculo aproximado da curvatura na seção crítica. 
O emprego do Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada é permitido 
apenas para pilares com � ≤ 90, conforme é explicitado no Quadro 2.1, sendo a forma de 
cálculo da excentricidade de segunda ordem dada pela equação (2.28): 
�� = �
1
�
�
���
∙ �
��
�
10
� (2.28) 
Onde �� é o comprimento de flambagem da peça e 1/� é a curvatura máxima na 
seção crítica, calculada de forma aproximada pela fórmula (2.29) obtida a partir das 
deformações no Estado Limite Último, apresentada na NBR 6118 (ABNT, 2003) e válida para 
aço CA-50: 
1
�
=
0,005
(� + 0,5)∙ ℎ
 (2.29) 
Com: 
(� + 0,5)≥ 1; 
ℎ é a altura da seção da direção considerada; 
� = ��/(�� ∙ ���) é o valor adimensional da força normal. 
A expressão final para o cálculo da excentricidade de segunda ordem será dado 
pela equação (2.30): 
�� =
0,005
(� + 0,5)∙ ℎ
∙ �
��
�
10
� (2.30) 
Como mostrado no Quadro 2.2. 
Assim o cálculo do momento total máximo, que inclui o momento de primeira 
ordem, para pilares curtos e medianamente esbeltos (� ≤ 90), será dado pela igualdade (2.31): 
��,���= �� ∙ ���,� + �� ∙
��
�
10
∙
0,005
(� + 0,5)∙ ℎ
≥ ���,� ≥ ���,��� (2.31) 
Onde: 
�� é dado pela equação (2.11); 
�� é o esforço normal de cálculo; 
���,� é o momento de primeira ordem para o caso; 
���,��� é o momento mínimo de primeira ordem para o caso. 
 
20 
 
2.6.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez � Aproximada 
 
É feito com base nas mesmas hipóteses que o método anterior, mas com a 
diferença que a não-linearidade física é considerada por uma expressão aproximada da 
rigidez. Este método é também empregado para cálculo de pilares com � ≤ 90, mas sempre 
com seção retangular constante com armadura simétrica e constante ao longo do eixo 
(CARVALHO, 2009). 
O momento total máximo no pilar é dado pela expressão (2.32): 
��,���=
�� ∙ ���,�
1−
��
120∙ �/�
≥ ���,� ≥ ���,��� (2.32) 
Com a rigidez calculada aproximadamente pela equação (2.33): 
� = 32 ∙ �1+ 5 ∙
��,���
ℎ ∙ ��
� ∙ � (2.33) 
As variáveis pertinentes já foram todas previamente definidas. 
Percebe-se que o problema é recursivo, exigindo cálculo iterativo, sem maiores 
dificuldades desde que a convergência esteja assegurada. 
 
2.6.3 Método do Pilar-Padrão Acoplado a Diagramas M, N, 1/r 
 
Para pilares esbeltos com � < 140 , Carvalho (2009) afirma que pode ser 
empregado o Método do Pilar-Padrão com curvatura real, valendo a mesma equação (2.28). 
No entanto, pelo efeito de segunda ordem se apresentar bastante elevado no caso, o cálculo da 
rigidez não é feito pelas deformações no ELU. A rigidez da peça não atingirá o valor máximo 
antes da instabilidade. 
O autor traz um ábaco condicionado a esta situação de instabilidade, que já 
considera o efeito de segunda ordem, e trazendo como saída o valor da taxa mecânica de 
armadura (�). Como este não é um ábaco de Estado Limite Último condicionado à ruptura 
por deformação excessiva, não entra no escopo deste trabalho. 
 
2.6.4 Método Geral – Processo Exato 
 
Para cálculo da carga crítica de flambagem, de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 
2003), item 15.8.3.2, deve ser efetuada discretização adequada do elemento para realizar uma 
21 
 
análise de segunda ordem não-linear, sob a consideração da relação momento-curvatura real 
em cada seção e a consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada. 
Este método deve ser empregado obrigatoriamente para pilares muito esbeltos 
(� > 140), sendo dispensável seu uso em caso de esbeltez menor. O método também é 
indicado para pilares de seção variável e submetidos a cargas laterais (CARVALHO, 2009). 
As equações diferenciais que relacionam o momento atuante e a curvatura podem 
ser resolvidas por processos aproximados, já que podem não ter solução direta, ou por 
carregamentos incrementais, acompanhando a variação de rigidez e o ponto onde a curva de 
carga × deslocamento atinge seu valor máximo para a direção considerada (CARVALHO, 
2009). 
 
22 
 
3 PLANILHA PARA GERAÇÃO DE ÁBACOS 
 
Neste capítulo será mostrada a teoria (etapas e hipóteses) que embasa a planilha 
para geração de ábacos adimensionais, e a planilha resultante propriamente dita. 
De acordo com Santos (1983), ao trabalhar com grandezas adimensionais, é fato 
que a variação das mesmas diminui. Tabelas dimensionais teriam de abranger uma faixa de 
valores imensa, na ordem de 10�, enquanto trabalhar com os valores reduzidos de zero a 2,0 
consegue traduzir a mesma variação, e às vezes até mais. Outra grande vantagem das 
grandezas adimensionais é que elas tornam o problema linear: a variação da área de aço 
necessária para resistir a um par de solicitações (��, ��) em relação ao ��� não é linear.Quando tratamos com as variáveis �, � e � (ou �), há linearidade, como será visto adiante. 
Para a geração de ábacos adimensionais e diagramas de interação há uma rotina de 
trabalho com passos simples, mostrada na Figura 3.1. 
 
Figura 3.1 – Rotina para obtenção de diagramas de interação e ábacos adimensionais 
 
3.1 Geometria da seção proposta 
 
Estudar a geometria da seção é o passo inicial para obtenção do seu diagrama de 
interação. O conhecimento da forma da seção e das posições e áreas das armaduras é 
fundamental para obter os esforços resistentes últimos da mesma. Este trabalho se fundamenta 
sobre as seções retangulares, com disposição simétrica de armaduras, submetida a apenas um 
momento fletor que resulte em flexão reta. 
A disposição de armaduras adotada é feita ao longo da profundidade da seção, 
sempre simétrica em relação à sua vertical. A área de aço em cada camada de armaduras é 
denominada ��� . A porção comprimida da seção está sempre no topo da mesma, ou seja, deve 
haver um pré-processamento por parte do usuário para posicionar a seção adequadamente à 
planilha para que seu uso seja considerado válido. O usuário pode modificar a posição e a 
Passo 1: 
Geometria da 
Seção Proposta
Passo 2: Posição 
da Linha Neutra
Passo 3: Cálculo 
das deformações 
na Seção
Passo 4: Cálculo 
das Tensões nos 
Materiais 
Passo 5: Cálculo 
de � e �′
Passo 6: Variação 
da Taxa Mecânica 
de Armadura
Passo 7: Obtenção 
dos valores de � e 
�
Passo 8: Variação 
da Posição da 
Linha Neutra e 
volta ao Passo 3
Passo 9: Obtenção 
da Planilha-
Resumo
Passo 10: Geração 
do Gráfico
23 
 
quantidade das armaduras para configurar uma disposição ao longo do perímetro. A seção 
genérica empregada é mostrada na Figura 3.2. 
d'
hy
hx
Md
Nd
d
di
Asi
d'
 
Figura 3.2 – Seção genérica empregada na planilha 
 
A profundidade relativa ao topo é a variável básica de posição de qualquer ponto 
da seção, sendo definida por: 
�� =
��
ℎ�
 (3.1) 
Onde: 
��: Profundidade do ponto � em relação ao topo da seção; 
ℎ�: Altura da seção. 
A profundidade relativa ao cobrimento das armaduras (�′) é dada por: 
� =
�′
ℎ�
 (3.2) 
 
A profundidade relativa da Linha Neutra é então: 
�� =
�
ℎ�
 (3.3) 
Devem ser inseridos como entradas o número de barras em cada camada, a bitola 
das barras inseridas nesta camada, sua profundidade em relação ao topo (��) e o cobrimento 
destas armaduras (�). O cobrimento é considerado o mesmo nas quatro faces da seção. O 
24 
 
estudo para garantir o espaçamento adequado entre as armaduras não é feito no 
processamento, sendo necessário que o usuário verifique as condições de detalhamento em 
pós-processamento. 
 
3.2 Cálculo dos esforços nos materiais 
 
O cálculo de uma seção transversal levado ao Estado Limite Último (E.L.U.) 
exige que os esforços resultantes sejam obtidos como a soma referente ao maior esforço 
possível obtido em cada um dos materiais empregados para aquela condição do E.L.U. 
(SANTOS,1994). 
Desta forma, devem ser dados do problema as resistências últimas de cada 
material, bem como seus respectivos diagramas tensão-deformação, para que assim possamos 
calcular a parcela da resistência (esforço normal e momento fletor últimos) correspondente a 
cada material. 
No entanto, para a geração de um ábaco genérico, apenas a característica do aço 
deve ser previamente um dado de entrada, já que a deformação última do aço interfere na 
resolução do problema, como será visto no subitem 3.2.1.2. 
A planilha gerada para este trabalho abrange o problema genérico e plota como 
saída também um caso específico à escolha do usuário. 
 
3.2.1 Relações constitutivas dos materiais 
 
3.2.1.1 Diagrama tensão-deformação do concreto 
 
De posse da resistência característica do concreto, deve se calcular tensão de 
cálculo ��� , levando em conta o coeficiente de minoração �� e o Efeito Rüsch, resultando na 
equação (3.4): 
��� = 0,85 ∙
���
��
 (3.4) 
O diagrama tensão-deformação do concreto assume a forma retangular-parabólica 
mostrada na Figura 3.3. 
25 
 
s cd
ececu‰
s c
 
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação parábola-retângulo do concreto 
Onde a equação (3.5) representa o trecho parabólico (SANTOS, 1994). 
�� = ��� ∙ �
��
4
∙ (4 − ��)� (3.5) 
 
O valor de ��� adotado neste trabalho é dado na equação (3.6) (SANTOS, 1994). 
��� = 3,5‰ (3.6) 
O limite de emprego desta igualdade, e, por conseguinte, deste trabalho como um 
todo, é de ��� ≤ 50 ���. 
 
3.2.1.2 Diagrama tensão-deformação do aço 
 
Será adotado o diagrama bilinear empregado por Santos (1994) e mostrado na 
Figura 3.4, que tem por equações constitutivas as igualdades (3.7), (3.8) e (3.9). 
fyd
esesueyd
s s
 
Figura 3.4 – Diagrama tensão-deformação bilinear do aço 
��� = �� ∙ ��� ���� 0 ≤ |���| ≤ ����� (3.7) 
26 
 
��� = ��� ���� |���| > ����� (3.8) 
�� = 210 ��� (3.9) 
Estas equações são válidas tanto para a tração como para a compressão, alterando-
se apenas o limite de ruptura, que é de 10‰ na tração e de 3,5‰ na compressão 
(respeitando o limite do concreto). 
 
3.2.2 Domínios de Deformação e Regiões de Deformação 
 
Caracteriza-se a ruína da seção transversal para qualquer solicitação quando as 
deformações específicas últimas de pelo menos um dos materiais são atingidas, sendo a 
deformação última do concreto de 2‰ na compressão centrada e de 2‰ a 3,5‰ na flexão, 
e a deformação última do aço de 10‰ tanto em tração como em compressão. Por 
conveniência, doravante, quando não especificado, as deformações estarão em ‰. 
Para estudar a ruptura da seção transversal, portanto, devemos variar a posição da 
Linha Neutra e verificar qual dos materiais rompe primeiro no caso em questão. Daí são 
definidos seis Domínios de Deformação, tipos particulares de ruptura dependentes da 
solicitação última em cada material. 
No Domínio 1, por exemplo, a ruptura é comandada pelo aço na camada inferior, 
que está a 10‰, e não há encurtamento da seção; no Domínio 2, também o aço está a 10‰, 
mas há encurtamentos na seção, e assim por diante. Ficam definidos três polos de ruína e três 
Regiões que englobam os seis Domínios, como mostrado na Figura 3.5 (SANTOS, 1994). 
Para obter as deformações em um ponto qualquer da seção são empregadas 
equações de compatibilidade, levando em conta que as deformações são constantes para uma 
mesma fibra paralela à Linha Neutra, bastando então calcular a variação das deformações em 
relação à LN (SANTOS, 1994). 
Para simplificar o trabalho, devemos calcular as deformações sempre em relação a 
um mesmo ponto, não importa em que Domínio esteja solicitada a seção. O ponto mais 
conveniente é a fibra mais comprimida, que neste trabalho será considerada sempre no topo 
da seção transversal. Como nossa análise engloba três casos, correspondentes aos polos de 
ruína, vamos estudá-los separadamente. 
27 
 
2‰ 3,5‰
2‰-10‰
1
2
2a
2b
3
4
4a
5
C
B
A
alongamentos (-) encurtamentos (+)
eyd
2‰ 3,5‰
2‰-10‰
Região III
Região I
C
B
A
alongamentos (-) encurtamentos (+)
Região II
DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO
REGIÕES DE DEFORMAÇÃO
hy
hy
3hy/7
3hy/7
 
Figura 3.5 – Domínios e Regiões de Deformação (adaptada de SANTOS, 1994) 
 
Na Região I, correspondente ao Domínio 5, o diagrama de deformações é 
semelhante ao apresentado na Figura 3.6, sendo �� o encurtamento na borda superior da seção 
e ��� o mínimo encurtamento da seção (que ocorre em sua base). Todas as retas que definem 
as deformações passam pelo ponto B (polo de ruína), ondea deformação é 2‰. 
Pela Hipótese de Navier-Bernoulli, as deformações variam linearmente, 
permitindo que empreguemos semelhança de triângulos para obter a deformação na fibra 
genérica (SANTOS, 1994): 
��
�
=
2
� −
3ℎ�
7
=
14
7� − 3ℎ�
∴ �� =
14��
7�� − 3
 (3.10) 
 
28 
 
2
B
ec
ec0
di
x
Linha Neutra externa à seção
esdi
hy
3hy/7
 
Figura 3.6 – Deformações na Região I 
 
Como as deformações de interesse normalmente atuam sobre o aço, usaremos a 
notação ���� para a deformação na fibra genérica. Ainda por semelhança de triângulos, tem-
se, para a fibra genérica: 
���� = ��
�� − ��
��
 (3.11) 
Substituindo-se o valor de �� da equação (3.10) na equação (3.11): 
���� =
14(�� − ��)
7�� − 3
 (3.12) 
Santos (1994) afirma que se deve ter cuidado ao empregar estas equações em 
rotinas, pois quando �� = 2 , �� tende ao infinito. A planilha gerada neste trabalho, entretanto, 
não se limita com este problema de implementação, pois se limita à posição da LN a �� =
10000. 
Na Região II, referente ao polo de ruína A e englobando os Domínios 3, 4 e 4a, 
temos um diagrama de deformações como o da Figura 3.7: 
Observando a Figura 3.7, percebe-se que a deformação na fibra genérica é dada 
por: 
���� = 3,5
�� − ��
��
 (3.13) 
 
29 
 
A
ec=3,5
esdi
di
x
Linha Neutra
hy
 
Figura 3.7 – Deformações na Região II 
 
Que é idêntica à equação (3.11) com �� = 3,5. Além do mais, para �� > ��, ���� 
resulta negativo automaticamente. 
Por fim, na Região III, a deformação no aço é constante e igual a 10‰, gerando 
um diagrama como o presente na Figura 3.8: 
C
ec
esdi di
x Linha Neutra
10‰
d'
hy-d'
 
Figura 3.8 – Deformações na Região III 
 
Da Figura 3.8, tem-se: 
����
� − ��
=
10
ℎ� − �� − �
∴ ���� =
10(� − ��)
ℎ� − �� − �
=
10(�� − ��)
1− � − ��
 (3.14) 
A equação que relaciona �� e �� é: 
��
�
=
10
ℎ� − �
� − �
∴ �� =
10�
ℎ� − �
� − �
=
10��
1− � − ��
 (3.15) 
 
 
 
30 
 
3.2.3 Curvatura 
 
A curvatura do eixo da peça numa dada seção transversal é uma grandeza 
dimensional dada pela equação (3.16) (SANTOS, 1994). 
1
�
=
���� − ����
�� − ��
 (3.16) 
Onde: 
1/�: curvatura, medida em (��)�� ou (�)��, por exemplo; 
���� − ����: diferença entre as deformações em duas fibras genéricas quaisquer da 
seção; 
�� − ��: distância entre as fibras medida perpendicularmente à Linha Neutra. 
Como é mais vantajoso trabalhar com adimensionais, Santos (1994) definiu a 
curvatura adimensional nos termos da equação (3.17): 
� = 1000ℎ� ∙
1
�
 (3.17) 
Tomadas como fibras relevantes o topo da seção e a linha neutra, e aplicando à 
equação (3.16): 
1
�
=
�� − 0
�
=
��
�
 (3.18) 
Substituindo (3.18) em (3.17): 
� = 1000ℎ� ∙
��
�
= 1000∙
��
��
 (3.19) 
com �� em número puro. Para �� em ‰, tem-se (SANTOS, 1994): 
� =
��
��
 (3.20) 
O autor preocupa-se com o caso em que �� = 0, pois �� = 0 e a equação (3.20) 
fica invalidada. A planilha não sofre com esta dificuldade, pois a variável �� começa o 
cálculo iterativo com o valor de 0,1. 
 
3.2.4 Esforço resistente de cálculo do concreto 
 
A parcela do esforço normal resistida pelo concreto e a parcela do momento fletor 
resistida pelo concreto ficam determinadas quando obtemos a resultante das tensões no 
concreto (���) e seu ponto de aplicação (�) em relação à fibra mais encurtada (SANTOS, 
1994). 
31 
 
Quando não é possível empregar diagramas de tensão-deformação simplificados, 
o cálculo destas duas incógnitas é parte muito trabalhosa, exigindo integrações numéricas ou 
processos lentos. Para contornar esta dificuldade, Santos (1994) definiu dois coeficientes 
adimensionais, a saber: 
� =
���
��� ∙ ��
 (3.21) 
e 
�� =
��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
 (3.22) 
Onde: 
�: Esforço normal resistido pelo concreto reduzido adimensional; 
��: Momento fletor resistido pelo concreto reduzido adimensional; 
���: Parcela do esforço normal resistido exclusivamente pelo concreto; 
�: Posição do esforço normal descrito acima em relação ao topo da seção. 
Os valores de � e �� são obtidos a partir de ��� e �, e usados para o cálculo do 
equilíbrio da seção, visto mais adiante. Ainda é necessário calcular ��� e �, o que é feito 
obtendo-se as tensões em cada fibra comprimida do concreto (lembrando mais uma vez que 
não se considera que o concreto trabalhe à tração) e integrando sobre a área comprimida da 
seção, conforme mostram as equações (3.23) e (3.24) e a Figura 3.9. 
��� = � ��
� ∙ ℎ� ∙ ��
�
�
 �� � ��
� ∙ ℎ� ∙ ��
��
�
 (3.23) 
��� ∙ � = � ��
� ∙ ℎ� ∙ � ∙ ��
�
�
 �� � ��
� ∙ ℎ� ∙ � ∙ ��
��
�
 (3.24) 
 
Linha Neutra
x
y
dy
a Rcc
s c
hx
hy
 
Figura 3.9 – Resultante ��� e sua posição (adaptada de SANTOS, 1994) 
 
32 
 
Dado o Domínio em que se encontra a seção na ruptura, o concreto pode estar 
parcial ou totalmente comprimido, fato já expresso no cálculo de ���. Além do mais, quando 
a deformação no concreto atinge o valor de 2‰ (escoamento), a função que define suas 
tensões de compressão muda de parábola para retângulo, assim definindo quatro casos de 
estudo para o cálculo de � e �′, detalhados na Figura 3.10. 
LN
s c<s cdec<2 ec<2 s c<s cd
LN
a) Linha Neutra
na seção - estado
elástico
b) Linha Neutra
fora da seção -
estado elástico
x
h h
x
LN
LN
s c=s cdec>2 s c=s cdec>2
c) Linha Neutra
na seção - estado
plástico
d) Linha Neutra
fora da seção -
estado plástico
x
h h
x
 
Figura 3.10 – Casos para o cálculo de � e �′ (adaptada de SANTOS, 1994) 
 
Santos (1994) afirma que se podem escrever as variáveis ��
�, �, �� e ℎ� (que para 
a seção retangular é constante) em função de ���� (o autor usa como variável substituta ��
� , que 
é essencialmente a mesma coisa), permitindo que as integrais definidas nas equações (3.23) e 
(3.24) sejam reescritas: 
33 
 
��� = � ��
� ∙ ℎ� ∙ �����
�
��
 �� � ��
� ∙ ℎ� ∙ �����
���
��
 (3.25) 
��� ∙ � = � ��
� ∙ ℎ� ∙ � ∙ �����
�
��
 �� � ��
� ∙ ℎ� ∙ � ∙ �����
���
��
 (3.26) 
��� é definido como o encurtamento mínimo da seção, ocorrendo na base da seção 
para o caso de � ≥ ℎ�, e na LN para � < ℎ�, sendo nulo neste caso. Assim, as integrais nas 
equações (3.25) e (3.26) podem ser reescritas simplesmente como: 
��� = � ��
� ∙ ℎ� ∙ �����
���
��
 (3.27) 
��� ∙ � = � ��
� ∙ ℎ� ∙ � ∙ �����
���
��
 (3.28) 
Os quatro casos definidos na Figura 3.10 ficam resumidos a dois: estado elástico e 
estado plástico, dependendo apenas do escoamento do concreto. Santos (1994) efetuou todas 
as integrações pertinentes para a seção retangular e aplicou os resultados às definições de � e 
�′, equações (3.21) e (3.22). Para o estado elástico, valem as equações (3.29) e (3.30): 
� =
��
�(6 − ��)− ���
� (6 − ���)
12�
 (3.29) 
�� =
��
�(8 − ��)− ���
� (24�� − 16��� − 4����� + 3���
� )
48��
 (3.30) 
Para o estado plástico, valem as equações (3.31) e (3.32): 
� =
12�� − 8 − ���
� (6 − ���)
12�
 (3.31) 
�� =
16− 32�� + 24��
� − ���
� (24�� − 16��� − 4����� + 3���
� )
48��
 (3.32) 
A nulidade de ��� não interfere no emprego de nenhuma destas fórmulas, 
conforme já foi mostrado por Santos (1994). É evidente que � deve ser não nulo, o que é 
sempre garantido na planilha. 
 
3.2.5 Esforços resistentes nas armaduras 
 
Os esforços resistentes nas armaduras são de cálculo muito mais simples do que 
no concreto, pois não são necessárias integrações. Basta calcular as deformaçõesem cada 
barra, a partir das quais se obtêm as tensões ��� nas mesmas empregando as equações (3.7) e 
(3.8). O cálculo destas deformações foi feito no subitem 3.2.2. A força nas armaduras de uma 
camada (chamada de �� neste trabalho) será dada pela equação (3.33): 
34 
 
�� = ��� ∙ ���� (3.33) 
O momento de cada uma destas forças em relação ao centroide da seção 
transversal (chamado de �� neste trabalho) será dado pela equação: 
�� = ��� ∙ ���� ∙ (0,5ℎ� − ��) (3.34) 
Onde �� = 0,5ℎ� é a distância do centroide da seção transversal à borda 
tracionada (ou menos encurtada), conforme Santos (1994). 
 
3.3 Equilíbrio da seção transversal 
 
De posse dos valores de ���, � (ou � e �
�), �� e �� (estes dois últimos para cada 
camada de armaduras), as equações de equilíbrio para a resistência última da seção podem ser 
finalmente escritas. A soma destes esforços é melhor compreendida com o auxílio da Figura 
3.11. 
hy
hx
c2=0,5hy
di
Asi
L N
Nd
Md
Rcc
As1·s sd1
Asi·s sdi
Asn·s sdn
 
Figura 3.11 – Esforços resistentes da seção transversal 
 
O equilíbrio da seção transversal é escrito nas equações (3.35) e (3.36): 
��� = ��� + ���� ∙ ����
��
���
 (3.35) 
��� = ��� ∙ �0,5ℎ� − �� + ���� ∙ ���� ∙ (0,5ℎ� − ��)
��
���
 (3.36) 
 
35 
 
Trabalhando com adimensionais, teremos (SANTOS, 1994): 
���
��� ∙ ��
=
���
��� ∙ ��
+ �
��� ∙ ����
��� ∙ ��
��
���
 (3.37) 
���
��� ∙ �� ∙ ℎ�
=
��� ∙ �0,5ℎ� − ��
��� ∙ �� ∙ ℎ�
+ �
��� ∙ ���� ∙ (0,5ℎ� − ��)
��� ∙ �� ∙ ℎ�
��
���
 (3.38) 
Com os adimensionais mostrados em Santos (1994): 
� =
���
��� ∙ ��
 (3.39) 
� =
���
��� ∙ �� ∙ ℎ�
 (3.40) 
� =
���
��� ∙ ��
 (3.41) 
�� =
��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
 (3.42) 
� =
�� ∙ ���
�� ∙ ���
 (3.43) 
�� =
��� ∙ ���
�� ∙ ���
 (3.44) 
Podemos escrever as equações (3.37) e (3.38) como mostrado nas equações (3.45) 
e (3.46): 
� = � +
1
���
��� ∙ ����
��
���
 (3.45) 
� = 0,5� − �′ +
1
���
��� ∙ ���� ∙ (0,5− ��)
��
���
 (3.46) 
Santos (1994) expressa a relação entre �� e �, mostrada na equação (3.47): 
�� = � ∙
���
��
 (3.47) 
Que permite reescrever as igualdades (3.45) e (3.46) como segue nas equações 
(3.48) e (3.49): 
� = � +
�
�� ∙ ���
���� ∙ ����
��
���
 (3.48) 
36 
 
� = 0,5� − �′ +
�
�� ∙ ���
���� ∙ ���� ∙ (0,5− ��)
��
���
 (3.49) 
Os valores de ����, � e �
� dependem da posição da linha neutra na seção, para uma 
dada posição desta última fica comprovada a linearidade entre �, � e � em uma mesma seção 
transversal. 
Duas variáveis auxiliares na planilha são definidas nas equações (3.50) e (3.51): 
���� 1 =
1
�� ∙ ���
���� ∙ ����
��
���
 (3.50) 
���� 2 =
1
�� ∙ ���
���� ∙ ���� ∙ (0,5− ��)
��
���
 (3.51) 
Ambas são constantes para uma mesma posição da linha neutra, justificando seu 
uso para reduzir as fórmulas empregadas na planilha. 
 
3.4 Planilha-Base 
 
Com a formulação acima mostrada foi possível gerar a planilha para uma seção 
retangular simétrica genérica de concreto armado, sendo estipulado um máximo de 30 
camadas de armadura, com o cobrimento de armaduras desejado pelo usuário. Os dados de 
entrada da Planilha-Base são mostrados na Figura 3.12. 
37 
 
 
Figura 3.12 – Entradas da Planilha-Base 
 
São feitas iterações com diferentes posições de linha neutra (LN), e para cada 
posição varia-se a taxa mecânica de armadura (�), obtendo assim os valores do esforço 
normal reduzido adimensional (�) e do momento fletor reduzido adimensional (�). A primeira 
posição da LN é �� = 0,1, variando desta a �� = 2 de 0,05 em 0,05; a partir daí, de 0,25 em 
0,25 até �� = 3 ; daí, de 0,5 em 0,5 até �� = 4 ; então, �� = 5 , �� = 10, �� = 100, �� =
1000 e �� = 10000 completam as cinquenta iterações feitas pela planilha. Como exemplo de 
trecho de planilha que abrange uma iteração, apresenta-se a Figura 3.13. 
GEOMETRIA DAS ARMADURAS:
Camada i: nº Barras: bi: Bitola (mm): f (mm) As,unit (cm²)
1 2 0,1000 25 10 0,785
2 12,5 1,227
3 16 2,011
4 20 3,142
5 25 4,909
6
7
8
9 bx (in) Domínio bx (fim)
10 Região III 0 2 0,233
11 Região II 0,233 3 0,565
12 Região II 0,565 4 0,9
13 Região II 0,9 4a 1
14 Região I 1 5 10000
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 Fi = Força nas Armaduras
26 Mi = Momento das forças nas Armaduras em relação ao centroide da seção
27
28
29
30 2 0,9000 25
Razão d'/h = d =
0,1
���� 1 =
1
��� ∙ ��
∙�(��� ∙ ����
��
)
��
�
���� 2 =
1
��� ∙ ��
∙�[��� ∙ ���� ∙ 0,5 −��
��
]
��
�
� =
���
��� ∙ ��
�′ =
��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
� =
��
��
�� =
��
��� ∙ ��
�� =
��
��� ∙ �� ∙ ℎ�
38 
 
 
Figura 3.13 – Iteração da planilha para uma posição da Linha Neutra 
 
Os quatro valores de taxa mecânica de armadura no canto inferior direito da 
Figura 3.13 correspondem às situações de projeto, a saber: taxas máxima e mínima 
regulamentadas pela NBR 6118 (ABNT, 2003), taxa de projeto para a seção da planilha-
resumo (item 3.5) e situação de Concreto Simples (teoricamente sem necessidade de 
armadura). 
 
3.5 Planilha-Resumo 
 
Plotados em um gráfico, os valores obtidos diretamente das iterações gerarão uma 
série de retas, uma para cada posição da LN variando a taxa de armadura. No entanto, os 
ábacos são comumente traçados levando em conta a resistência última para uma dada taxa de 
armadura, obrigando assim o tratamento dos dados e sua organização por este critério. 
Ao fim do tratamento, os gráficos gerados são curvas, como esperado das 
envoltórias de resistência de uma dada seção para cada taxa de armadura. 
A planilha-resumo faz a verificação de uma seção de projeto, com dimensões e 
solicitações dadas pelo usuário (sendo as armaduras as mesmas selecionadas na planilha 
base), plotando o ponto correspondente às solicitações na mesma série de curvas que 
representam a resistência da seção. Isso facilita a interpretação dos resultados, se levarmos em 
conta que uma das 24 curvas plotadas no ábaco gerado é a curva resistente de projeto da seção 
Iteração: 1 Camada i: nº Barras: bi: ei (‰) ssdi Bitola: Asi Fi Mi w = n = m =
1 4 0,25 -2,308 -434,8 20 12,566 -5463,639 -1365,910 0,05 0,0072 0,0265
Posição de Linha Neutra: 2 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,10 -0,0428 0,0265
3 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,15 -0,0928 0,0265
bx = 0,1 4 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,20 -0,1428 0,0265
5 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,25 -0,1928 0,0265
Domínio: 2 6 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,30 -0,2428 0,0265
7 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,35 -0,2928 0,0265
8 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,40 -0,3428 0,0265
Cálculo das Deformações: 9 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,45 -0,3928 0,0265
bi e (‰) 10 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,50 -0,4428 0,0265
Topo: 0,00 1,538 11 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,55 -0,4928 0,0265
Linha Neutra: 0,10 0,000 12 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,60 -0,5428 0,0265
Base: 1,00 -13,846 13 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,65 -0,5928 0,0265
14 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,70 -0,6428 0,0265
Curvatura adimensional majorada: 15 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,75 -0,6928 0,0265
16 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,80 -0,7428 0,0265
q = 15,385 17 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,85 -0,7928 0,0265
18 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,90 -0,8428 0,0265
Encurtamento Mínimo da Seção: 19 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 0,95 -0,8928 0,0265
20 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 1,00-0,9428 0,0265
ec0 = 0 ‰ 21 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
22 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Mínimo: 0,15 -0,0927 0,0265
Cálculo de h: Cálculo de h': 23 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Máximo: 0,95 -0,8976 0,0265
24 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 Projeto: 0,85 -0,7927 0,0265
h = 0,05720 h' = 0,00207 25 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
26 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000 C.S.: 0,00 0,0572 0,0265
As = 25,1327 27 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
Soma 1 = -1,0000 28 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
Soma 2 = 0,0000 29 0 0 1,538 323,1 0 0,000 0,000 0,000
30 4 0,75 -10,000 -434,8 20 12,566 -5463,639 1365,910
39 
 
e outras duas delas são a representação da resistência para as taxas de armadura mínima e 
máxima normatizadas. 
A Figura 3.14 mostra um trecho da interface da planilha-resumo, onde é possível 
alterar as dimensões da seção e as solicitações de cálculo. 
 
Figura 3.14 – Interface da Planilha-Resumo 
 
Após o cálculo de todos os valores pertinentes, a planilha gera um gráfico 
adimensional, como o mostrado na Figura 3.15. 
Figura 3.15 – Ábaco gerado pela planilha 
 
 
GEOMETRIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL:
GEOMETRIA DO CONCRETO:
hx = 20 cm Ac = 600 cm²
hy = 30 cm fck = 30 MPa
SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO:
Nd = 0,00 kN nd = 0,0000 wmín = 0,00
Md = 70,29 kNm md = 0,2144 wmáx = 0,95
wd = 0,125
=> =>
40 
 
4 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 
 
Os exemplos aqui mostrados são idênticos aos presentes no Capítulo 4 de 
Carvalho (2009), sendo seus resultados comparados com os advindos da verificação feita pela 
planilha como critério de validação. 
 
4.1 Exemplo 01 
 
Este exemplo se apresenta na página 286 de Carvalho (2009). 
Calcular a quantidade de armadura necessária �� (considerada simétrica) para 
uma seção transversal retangular (Figura 4.1), com �� = 3 ��, ��� = 30 ���, aço CA-50 e 
momento atuante �� = 70,29 �� ∙ �. 
30
20
3
Mk=70,29 kN.m
Nk=0
 
Figura 4.1 – Seção do Exemplo 01 
 
Carvalho (2009) encontrou � = 0 , � = 0,255, e, correspondendo a estas 
solicitações, � = 0,61 (�� = 18 ��
�, ou 4�25). 
Os valores de entrada da planilha são mostrados na Figura 4.2 e na Figura 4.3. 
41 
 
 
Figura 4.2 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Base 
 
 
Figura 4.3 – Entradas do Exemplo 01 na Planilha-Resumo 
 
Depois que a planilha gerou todos os resultados, o ábaco adimensional foi 
desenhado e é mostrado na Figura 4.4. 
GEOMETRIA DAS ARMADURAS:
Camada i: nº Barras: bi: Bitola (mm): f (mm) As,unit (cm²)
1 2 0,1000 25 10 0,785
2 12,5 1,227
3 16 2,011
4 20 3,142
5 25 4,909
6
7
8
9 bx (in) Domínio bx (fim)
10 Região III 0 2 0,233
11 Região II 0,233 3 0,565
12 Região II 0,565 4 0,9
13 Região II 0,9 4a 1
14 Região I 1 5 10000
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 Fi = Força nas Armaduras
26 Mi = Momento das forças nas Armaduras em relação ao centroide da seção
27
28
29
30 2 0,9000 25
Razão d'/h = d =
0,1
���� 1 =
1
��� ∙ ��
∙�(��� ∙ ����
��
)
��
�
���� 2 =
1
��� ∙ ��
∙�[��� ∙ ���� ∙ 0,5 −��
��
]
��
�
� =
���
��� ∙ ��
�′ =
��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
� =
��
��
�� =
��
��� ∙ ��
�� =
��
��� ∙ �� ∙ ℎ�
GEOMETRIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL:
GEOMETRIA DO CONCRETO:
hx = 20 cm Ac = 600 cm²
hy = 30 cm fck = 30 MPa
SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO:
Nd = 0,00 kN nd = 0,0000 wmín = 0,04
Md = 98,41 kNm md = 0,2551 wmáx = 0,95
wd = 0,664
=> =>
42 
 
 
Figura 4.4 – Ábaco do Exemplo 01 
 
A curva correspondente à taxa de armadura mínima está muito próxima da 
situação de concreto simples para esta seção, de acordo com a planilha. A taxa de armadura 
de projeto está mais próxima do máximo normatizado, enquanto que o ponto correspondente à 
solicitação se apresenta muito próximo da curva de projeto (� ≈ 0,63, sendo �� = 0,664). 
 
4.2 Exemplo 02 
 
Este exemplo se apresenta na página 290 de Carvalho (2009). 
Calcular as armaduras para a seção apresentada (Figura 4.5) para a seguinte 
solicitação: 
43 
 
30
20
3
Nk
Mk
 
Figura 4.5 – Seção do Exemplo 02 
 
Solicitação: �� = 918 �� e �� = 41 �� ∙ �. 
A geometria das armaduras é idêntica à do Exemplo 01 alterando-se apenas a 
bitola das barras para �20, situação ilustrada na Figura 4.7 (o autor encontrou �� =
12,4 ��²). A Planilha-Resumo mostra a solicitação no caso (Figura 4.7). O ábaco gerado para 
o caso é mostrado na Figura 4.8. 
 
GEOMETRIA DAS ARMADURAS:
Camada i: nº Barras: bi: Bitola (mm): f (mm) As,unit (cm²)
1 2 0,1000 20 10 0,785
2 12,5 1,227
3 16 2,011
4 20 3,142
5 25 4,909
6
7
8
9 bx (in) Domínio bx (fim)
10 Região III 0 2 0,233
11 Região II 0,233 3 0,565
12 Região II 0,565 4 0,9
13 Região II 0,9 4a 1
14 Região I 1 5 10000
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25 Fi = Força nas Armaduras
26 Mi = Momento das forças nas Armaduras em relação ao centroide da seção
27
28
29
30 2 0,9000 20
Razão d'/h = d =
0,1
���� 1 =
1
��� ∙ ��
∙�(��� ∙ ����
��
)
��
�
���� 2 =
1
��� ∙ ��
∙�[��� ∙ ���� ∙ 0,5 −��
��
]
��
�
� =
���
��� ∙ ��
�′ =
��� ∙ �
��� ∙ �� ∙ ℎ�
� =
��
��
�� =
��
��� ∙ ��
�� =
��
��� ∙ �� ∙ ℎ�
44 
 
Figura 4.6 – Entradas do caso para a Planilha-Base 
 
 
Figura 4.7 – Entradas do caso para a Planilha-Resumo 
 
 
Figura 4.8 – Ábaco gerado para o caso 
 
O ponto que representa as solicitações corresponde a uma taxa de armadura 
� ≈ 0,39, enquanto que �� = 0,425, indicando adequação dos resultados. 
 
GEOMETRIA DA SEÇÃO TRANSVERSAL:
GEOMETRIA DO CONCRETO:
hx = 20 cm Ac = 600 cm²
hy = 30 cm fck = 30 MPa
SOLICITAÇÕES DE CÁLCULO:
Nd = 1285,20 kN nd = 0,9996 wmín = 0,15
Md = 57,40 kNm md = 0,1488 wmáx = 0,95
wd = 0,425
=> =>
45 
 
5 CONCLUSÃO 
 
Foi obtida uma planilha capaz de realizar a verificação de seções transversais 
retangulares simétricas submetidas à flexão composta reta, permitindo que o 
dimensionamento de um pilar que tenha estas características seja feito com relativa facilidade. 
A planilha se adequa às condições de posição das armaduras e cobrimentos de 
acordo com a necessidade do usuário, aumentando significativamente a quantidade de ábacos 
adimensionais presentes na literatura e fornecendo meio para que estudantes e profissionais de 
engenharia ampliem a precisão de seus projetos e verificações. No entanto, é necessária a 
validação completa da planilha com maior quantidade de exemplos, que abranjam mais casos 
de solicitação em Domínios de Deformação diferentes, para verificar a atuação desta planilha 
nestas situações. 
Sugere-se para trabalhos futuros: a obtenção do diagrama de resistência exato 
correspondente a um par de esforços solicitantes e a confecção de uma planilha que obtenha 
os diagramas de resistência para a flexão composta oblíqua. 
 
 
 
46 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2003. Projeto de 
Estruturas de Concreto – Procedimento. 1ª Edição. Rio de Janeiro, 2004. 221 p. 
 
CARVALHO, R. C. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado, 
Volume 2. 1ª Edição. São Paulo: Ed. PINI, 2009. 589 p. 
 
CAMPOS FILHO, A. Projeto de pilares de concreto armado. Rio Grande do Sul, 2011 
 
SANTOS, L. M. Cálculo de concreto armado, segundo a nova NB-1 e o CEB. São Paulo: 
Ed. LMS Ltda, 1983. 
 
SANTOS, L. M. Sub-rotinas básicas do dimensionamento de concreto armado. São 
Paulo: Ed. Thot, 1994.