A02 MatFinA

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Aula 02
Matemática Financeira
Juros: Simples e Compostos
Dinâmica da Disciplina
Cronograma/Conteúdo
 Aula 01
• Apresentações
• Dinâmica da Disciplina (Programa, Metodologia e 
Datas Importantes)
 Aula 02
• Introdução
• Matemática Financeira (a)
Juros: Simples e Composto
 Aula 03
• Matemática Financeira (b)
Fluxo de Caixa; Relações de equivalência (P e F; F e P; 
A e P; P e A)
04/08/2017 3
Cronograma/Conteúdo
 Aula 04
• Matemática Financeira (c)
Relações de equivalência (F e A; A e F; Gradiente; 
Séries perpétuas)
 Aula 05
• Análise de alternativas de investimento (a)
Pay-back; TMA
 Aula 06
• Análise de alternativas de investimento (b)
VPL; VA e TIR
04/08/2017 4
Cronograma/Conteúdo
 Aula 07
• 1ª AVALIAÇÃO
 Aula 08
• Fluxos de caixa especiais e Circunstâncias 
Específicas
Mais de uma inversão de sinal; Vidas diferentes ...
 Aula 09
• Depreciação do ativo imobilizado (a) 
Conceito e características
04/08/2017 5
Cronograma/Conteúdo
 Aula 10
• Depreciação do ativo imobilizado (b) 
Métodos de depreciação
 Aula 11
• Depreciação do ativo imobilizado (c) 
Métodos de depreciação
 Aula 12
• Financiamento
Sistemas de amortização
04/08/2017 6
Cronograma/Conteúdo
 Aula 13
• Análise de Sensibilidade
Risco e incerteza
 Aula 14
• Viabilidade econômica de projeto industrial
 Aula 15
• 2ª AVALIAÇÃO
 Aula 16 (em diante)
• Fechamento do conteúdo / SUBSTITUTIVA
04/08/2017 7
Bibliografia (Complementar)
04/08/2017 8
http://unifei.bvirtual.com.br/
Biblioteca Virtual UNIFEI Tour Virtual 
[pearsondobrasil]
http://youtu.be/9otTOx_NfCw
http://youtu.be/liyjn1uTrRc
Estratégias de Avaliação
 2 avaliações;
 1 prova substitutiva;
 75% de frequência;
04/08/2017 9
 Composição das notas (N1 e N2):
• Prova escrita: 70% da nota; 
• Exercícios em sala (participação): 10%;
• Lista de exercícios: 20%.
04/08/2017 10
Apresentação do Docente
Professor Molina
Prof. Dr. Carlos Eduardo Corrêa Molina
Contato Profissional: IEM / NEaD
(35)3629-1025 / 1955
molinaead@unifei.edu.br
molinaead@gmail.com
Outras Disciplinas & Cursos
Desenho Técnico
Matemática Financeira
Pesquisa Operacional
Organização Industrial
Introdução a EaD
Design Instrucional
Natural de
SJRioPreto
Aula 01
Introdução a Engenharia Econômica
Engenharia Econômica
 Os estudos se iniciaram...
→ Autor: Arthur Wellington
→ País: Estados Unidos
→ Ano: 1887
04/08/2017 12
 Primeira publicação:
→ Livro: The Economic Theory of
Railway Location
→ Assunto: análise de viabilidade 
econômica para ferrovias
Engenharia Econômica
04/08/2017 13
 Princípios:
• deve haver alternativas de investimentos;
• as alternativas devem estar expressas em valor 
monetário (dinheiro);
• só as diferenças entre as alternativas são relevantes;
• sempre será considerado juros sobre o capital 
empregado;
• nos estudos econômicos o passado geralmente não 
é considerado, apenas o presente e o futuro.
Tomada de Decisão
04/08/2017 14
 Quem toma a decisão?
• a Matemática Financeira?
• os computadores?
• as técnicas e os modelos?
• os números?
• o processo de simulação?
 Quem é capaz disso?
• As PESSOAS!
Tomada de Decisão
04/08/2017 15
 Tipos de decisão:
• irracional: decisão que é tomada à revelia, ou seja, sem 
o reconhecimento da existência de oportunidade...
exemplo: você está em uma corrida de cavalos e está 
indeciso sobre qual dos cincos cavalos apostar. Então você 
fecha os olhos e escolhe aleatoriamente no papel qual será 
sua aposta.
• racional: decisão que é tomada sob um processo 
complexo que envolve vários elementos essenciais.
exemplo: no mesmo caso dos cavalos, para que você tome 
uma decisão racional, você deveria no mínimo verificar qual a 
condição de cada animal e do jokey, analisar quais os riscos, 
o prêmio em cada um etc...
Aula 02
Matemática Financeira
Juros: Simples e Compostos
Sumário
1. Objetivos da Aula 02
2. Matemática Financeira
3. Juros Simples
4. Juros Compostos
04/08/2017 17
1. Objetivos da Aula 02
04/08/2017 18
 Apresentar o propósito da 
Matemática Financeira;
 Diferenciar Juros Simples de 
Juros Compostos.
2. Matemática Financeira
04/08/2017 19
 Do que se trata?
• Em essência, trata do estudo do valor do dinheiro no tempo.
 Qual o objetivo?
• O objetivo básico é efetuar análises e comparações dos 
vários fluxos de entrada e saída de dinheiro em diferentes 
momentos.
 Por que estudar?
• Porque receber uma quantia de dinheiro hoje ou no futuro
não é a mesma coisa.
2. Matemática Financeira
04/08/2017 20
 PRINCÍPIOS NORTEADORES
Dinheiro tem um custo 
associado ao tempo 
Nunca some valores
em datas diferentes
2. Matemática Financeira
04/08/2017 21
 Qual é o fundamento desses princípios?
• postergar uma entrada de caixa (receita, recebimento) 
por certo tempo envolve um sacrifício, o qual deve ser 
pago mediante uma recompensa, definida pelos juros.
Dinheiro tem um 
custo associado 
ao tempo 
Nunca some valores
em datas diferentes
2. Matemática Financeira
04/08/2017 22
 O que os juros representam? 2012
• TV 64" 3D Plasma Smart TV, Smart Interaction 64E8000 - Samsung
Controle por voz, Controle por movimento, Reconhecimento Facial
Smart Evolution (Atualização de recursos tecnologicos)
Smart Content (acesso a canais Kids, Fitness e Family Store), Web 
Browser, Full HD, 600Hz, All Share (Conexão sem fio), Wi-Fi Integrado, 
Processador Dual Core, 3D Sound, 3 HDMI e 3 USB + 4 óculos 3D
2. Matemática Financeira
04/08/2017 23
 O que os juros representam? 2013
• Smart TV Plasma 60” LG Pentouch 60PM6900 - Full HD HDMI USB DTV 
DLNA Wi-fi Integrado Magic Remote 600Hz
2. Matemática Financeira
04/08/2017 24
 O que os juros representam? 2014
• Smart TV 3D 55" LG OLED Curva 55EA9800 Full HD 4 HDMI 3 USB 
240Hz + 4 óculos 3D + Controle Smart Magic
2. Matemática Financeira
04/08/2017 25
 O que os juros representam? 2012
*taxa de juros 
de apenas 
6,8% a.a ou 
0,55% a.m.
2. Matemática Financeira
04/08/2017 26
 O que os juros representam? *taxa de juros 
de apenas 
3,46% a.a ou 
0,28% a.m.
2014
2. Matemática Financeira
04/08/2017 27
Fatores de Produção
2. Matemática Financeira
04/08/2017 28
ECONOMIA
SALÁRIO
ROYALTY
IMPOSTOS
ICMS
IPI ISS
IR
ALUGUEL
DIVIDENDO
JUROS
SIGNIFICADO DOS JUROS
2. Matemática Financeira
04/08/2017 29
 Os juros no dia-a-dia:
• compras a crédito;
• cheque especial;
• prestação da casa própria;
• desconto de duplicata;
• vendas a prazo;
• empréstimos;
• cartão de crédito.
2. Matemática Financeira
04/08/2017 30
 Qual a relação JUROS x CONSUMO?
• Os juros efetivamente induzem o adiamento do consumo, 
permitindo a formação de poupanças e de novos 
investimentos na economia.
 O que as taxas de juros remuneram:
• o risco envolvido na operação (incerteza);
• perda do poder de compra do capital;
• capital emprestado/aplicado;
 Ou seja, os juros devem gerar lucro (ou ganho) ao 
proprietário do capital como forma de compensar a 
sua privação por determinado período de tempo.
2. Matemática Financeira
04/08/2017 31
 O que é a Taxa de juros?
• é o coeficiente que determina o valor dos juros;
• é a remuneração do fator capital utilizado durante certo 
período de tempo.
 Como as taxas de juro são representadas?
• de forma percentual
 refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros 
para cada centésima parte do capital (20%).
• de forma unitária
 centra-se na unidade decapital, ou seja, o rendimento de 
cada unidade de capital em certo período (0,20).
2. Matemática Financeira
04/08/2017 32
 Quais os critérios para capitalização dos juros:
• regime de capitalização simples;
 JUROS SIMPLES
• regime de capitalização composta
 JUROS COMPOSTOS
3. Juros Simples
04/08/2017 33
 Características:
• comporta-se como se fosse uma progressão
aritmética (PA), ou seja, os juros crescem de forma 
linear ao longo do tempo;
• incidem apenas sobre o capital inicial da 
operação (aplicação ou empréstimo);
• não há registro de juros sobre o saldo dos juros
acumulados;
• a apuração do custo total da dívida é processada 
simplesmente pela multiplicação do número de 
anos pela taxa anual.
3. Juros Simples
04/08/2017 34
 Regime de Juros Simples:
• os juros de cada período são calculados sempre sobre o 
mesmo principal.
J = P x i x n
onde:
J = juros
P = principal
i = taxa
n = período
F = P (1 + i x n)
onde:
F = valor futuro
P = principal
i = taxa
n = período
3. Juros Simples
04/08/2017 35
 Exemplo:
• Se for aplicado um capital de $100 à taxa simples de 
15% a.a. durante três anos, qual deverá ser o valor 
ganho de juros a cada ano?
ano 1 => J = 100 x 0,15 = $ 15
ano 2 => J = 100 x 0,15 = $ 15
ano 3 => J = 100 x 0,15 = $ 15
TOTAL DO PERÍODO = $ 45
J = P x i x n
J = 100 x 0,15 x 3 = $ 45
3. Juros Simples
04/08/2017 36
 Exemplo:
• Qual o valor que deve ser resgatado daqui a 16 meses 
se for aplicado o valor de $ 500 a uma taxa simples de 
4% a.m.?
F = P (1 + i x n)
assim:
F = 500 (1 + 0,04 x 16)
F = 500 x 1,064
F = $ 820
4. Juros Compostos
04/08/2017 37
 Características:
• possui comportamento semelhante a uma progressão 
geométrica (PG), no qual os juros incidem sempre 
sobre o saldo apurado no início do período 
correspondente (e não apenas sobre o capital inicial);
ou seja, evolui de forma exponencial.
• incorpora ao capital não somente os juros referentes a 
cada período, mas também os juros sobre os juros não 
pagos até o período anterior;
quanto maior o período de incidência dos juros, maior será 
a diferença em relação à capitalização simples.
4. Juros Compostos
04/08/2017 38
 Regime de juros compostos:
• no final de cada período o juro é incorporado ao 
principal, e ambos rendem juros (juro capitalizado).
F1 = P (1+ i )
F2 = F1 (1+ i )
F2 = P (1+ i )
2
F3 = P (1+ i )
3
...
F = P (1+ i)n
onde:
F = valor futuro
P = principal
i = taxa
n = período
4. Juros Compostos
04/08/2017 39
 Exemplo:
• Se for aplicado um capital de $100 à taxa de 15% a.a. 
durante três anos, qual deverá ser o valor ganho de 
juros a cada ano?
ano 1  J = 100,00 x 0,15 = $ 15,00
ano 2  J = 115,00 x 0,15 = $ 17,25
ano 3  J = 132,25 x 0,15 = $ 19,83
TOTAL DO PERÍODO = $ 52,08
F3 = P (1+ i )
3  F3 = 100 (1+ 0,15 )
3  F3 = 152,08 
J = F – P  J = 152,08 – 100,00 = $ 52,08
4. Juros Compostos
04/08/2017 40
 Exemplo:
• Qual o valor que deve ser resgatado daqui a 16 meses 
se for aplicado o valor de $ 500 a uma taxa de 4% a.m.?
ano 1  J = 100,00 x 0,15 = $ 15,00
ano 2  J = 115,00 x 0,15 = $ 17,25
ano 3  J = 132,25 x 0,15 = $ 19,83
TOTAL DO PERÍODO = $ 52,08
F3 = P (1+ i )
3  F3 = 100 (1+ 0,15 )
3  F3 = 152,08 
J = F – P  J = 152,08 – 100,00 = $ 52,08
4. Juros Compostos
04/08/2017 41
Juros Simples Juros Compostos
J: Juros
i: Taxa de Juros
n: Nº de Períodos
P: Valor Presente
F: Valor Futuro
J = P.i.n
F = P + J
F = P + P.i.n
F = P (1 + i.n)
F1 = P (1+i)
F2 = F1 (1+i) 
= P (1+i)2
F3 = P (1+i)3
2
3
F = P (1 + i)
n
P F1 F2 F3
4. Juros Compostos
04/08/2017 42
 Exemplo II.1 (Apostila de Engenharia Econômica):
• Para um capital de R$ 100.000,00 colocado a 20% a.a. 
durante 3 anos, qual o valor futuro para os casos de 
considerarmos juros simples e juros compostos?
Ano Juros Simples Juros Compostos
0
1
2
3
R$ 100.000,00 R$ 100.000,00
R$ 120.000,00 R$ 120.000,00
R$ 140.000,00 R$ 144.000,00
R$ 160.000,00 R$ 172.800,00
Juros 
de 
60,0%
Juros 
de 
72,8%
4. Juros Compostos
04/08/2017 43
Quanto se pagou por aquela ilha?
1626: A ilha de Manhattan é comprada por $ 24 de mercadorias 
e quinquilharias dos índios por Peter Minuit.
Quanto valeria hoje a uma taxa de 10% a.a.?
À Juros Simples:
F = P x (1 + i.n) =
F = 24 x (1 + 0,10 x 390) = 
F = $ 960
4. Juros Compostos
04/08/2017 44
Quanto se pagou por aquela ilha?
1626: A ilha de Manhattan é comprada por $ 24 de mercadorias 
e quinquilharias dos índios por Peter Minuit.
A uma taxa de 10% ao ano?
F = 24 x (1 + 0,1) 390 =
F = $ 334 quatrilhões (334 x 10^15)
Dá pra comprar de volta a ilha e, com o troco, 
os Estados Unidos, o Canadá, o México e o 
resto do mundo, pra falar a verdade.
4. Juros Compostos
04/08/2017 45
$ 24,00
Valor Presente
n = 390 anos10 2
$ 2,40 $ 2,40 $ 2,40
$ 960
Valor Futuro
$ 936
Juros
$ 24,00
Valor Presente
Incidência de Juros
...
...
 Manhattan a Juros Simples:
4. Juros Compostos
04/08/2017 46
 Manhattan a Juros Compostos:
$ 24,00
Valor Presente
10 2
$ 2,40 $ 2,64 $30 quatrilhões
$ 334 quatrilhões
Valor Futuro
quase
$ 334 quatrilhões
Juros
$ 24,00
Valor Presente
Incidência de Juros
...
...
n = 390 anos
4. Juros Compostos
04/08/2017 47
Onde:
J: Juros
i: Taxa de Juros
n: Nº de Períodos
P: Valor Presente
F: Valor Futuro
F = P (1 + i)
n
Quando quero “P”
Quando quero “i”
i = F - 1
P
n
Quando quero “n”
P = F / (1 + i)
n
n = log
log (1 + i)
(F / P)
4. Juros Compostos
04/08/2017 48
 Exemplo II.2 (Apostila de Engenharia Econômica):
• Vamos fazer uma aplicação em CDB de R$30.000,00 a 
uma taxa de 1,7% para um período de 35 dias. Qual o 
valor da rentabilidade líquida e dos juros? Em relação 
à poupança, esta aplicação é interessante?
Exercícios em Sala
04/08/2017 49
 QUESTÃO 01 Uma pessoa concordou em emprestar a um 
amigo $ 2.000 pelo prazo de 3 anos, à taxa de juros simples de 
10% ao ano. Qual o valor dos juros que ela vai receber? Quanto 
o amigo lhe pagará no final do 3º ano?
 QUESTÃO 02 Um empréstimo de $ 5.000 deve ser pago à taxa 
de juros de 8% ao período. Ao fim do prazo, foi pago um total de 
$ 5.800. Sabendo-se que o método utilizado foi o de juros 
simples, qual foi o prazo do empréstimo?
 QUESTÃO 03 Um aposentado foi ao banco e tomou emprestado 
a quantia de $ 750, concordando em pagá-la ao final de três 
meses, acrescido dos juros totais. Se a taxa de juros for de 6% 
ao período (juros compostos), quanto o aposentado estará 
devendo ao banco ao final daquele prazo?
Exercícios em Sala
04/08/2017 50
Exercícios em Sala
04/08/2017 51
Exercícios em Sala
04/08/2017 52
Aula 02
Matemática Financeira
Juros: Simples e Compostos