LISTA I.F.V.V.

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UFERSA - Universidade 
Federal Rural do Semi-árido 
Campus de Pau dos Ferros 
Disciplina: Introdução a Funções de Várias Variáveis Semestre: 2017.2 
Professor: Fernando Henrique Fernandes 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS – UNIDADE II 
 
1) Calcule as integrais. 
a. ∫ ∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
4
0
2
1
 
b. ∫ ∫ (4 − 𝑦2)𝑑𝑦𝑑𝑥
2
0
3
0
 
c. ∫ ∫ 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑑𝑦𝑑𝑥
2
1
1
0
 
d. ∫ ∫
𝑦
1+𝑥𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑥
1
0
1
0
 
e. ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
√1−𝑥2
0
1
−1
 
f. ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦
√4−𝑦2
0
2
0
 
g. ∫ ∫ ∫ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
1
0
1
0
1
0
 
h. ∫ ∫ ∫
1
𝑥𝑦𝑧
𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑒3
1
𝑒2
1
𝑒
1
 
i. ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
3−3𝑥−𝑦
0
3−3𝑥
0
1
1
 
j. ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
√2−𝑟2
𝑟
1
0
2𝜋
0
 
k. ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
√2−𝑟2
𝑟
1
0
2𝜋
0
 
l. ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
3+24𝑟2
0
𝜃
2𝜋
0
2𝜋
0
 
m. ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
√18−𝑟2
𝑟2
3
3
0
2𝜋
0
2) Calcule as integrais nas regiões dadas. 
a. ∬ 𝑒𝑥−𝑦𝑑𝐴𝑅 , 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ ln 2 , 0 ≤ 𝑦 ≤ ln2 
b. ∬ 𝑦 sen(𝑥 + 𝑦) 𝑑𝐴𝑅 , 𝑅: −𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋
c. ∬ 𝑥𝑦 cos 𝑦 𝑑𝐴𝑅 , 𝑅: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝜋
3) Esboce as regiões de integração. 
a. 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝑥 
b. 𝑅:−1 ≤ 𝑥 ≤ 2, 𝑥 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥2 
c. 𝑅: 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑒𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑒 
d. 𝑅: 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ 2𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 
e. 𝑅: 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒2, 0 ≤ 𝑦 ≤ ln 𝑥 
4) Encontre o volume abaixo da função 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
 e delimitada pelas retas 
𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 = 1 e 𝑥 = 2. 
5) Encontre o volume abaixo da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2 e delimitada pelo 
triângulo de vértices (0,0), (1,0) e (0,1). 
6) Para cada integral esboce a região de integração e reescreva a integral 
com a ordem de integração invertida. 
a. ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
4−2𝑥
2
1
0
 
b. ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
√𝑦
𝑦
1
0
 
c. ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
4−𝑦2
0
2
0
 
d. ∫ ∫ 𝑑𝑦𝑑𝑥
1/2
sen⁡x
𝜋
6
0
 
e. ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑒𝑦
1
3
0
 
f. ∫ ∫ 𝑑𝑝𝑑𝑣
−𝑣
𝑣
0
−2
 
g. ∫ ∫ 𝑑𝑣𝑑𝑑𝑢
4−2𝑣
1
3
2
0
 
h. ∫ ∫ 𝑑𝑡𝑑𝑠
√1−𝑠2
0
1
0
 
7) Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo cilindro 
parabólico 𝑧 = 𝑥2, e inferiormente pela região delimitada pela parábola 𝑦 =
2 − 𝑥2 e pela reta 𝑦 = 𝑥 no plano 𝑥𝑦.
8) Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelos planos 
coordenados, pelo cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 4 e pelo plano 𝑧 + 𝑦 = 3. 
9) Encontre as áreas delimitadas pelas regiões: 
a. As retas: 𝑥 = 0, 𝑦 = 2𝑥 e 𝑦 = 4. 
b. A parábola: 𝑥 = −𝑦2,e a reta 𝑦 = 𝑥 + 2. 
c. A parábola: 𝑥 = 𝑦 − 𝑦2, e a reta 𝑦 = −𝑥. 
d. As retas: 𝑦 = 1 − 𝑥, 𝑦 = 2 e a curva 𝑦 = 𝑒𝑥. 
e. As retas: 𝑦 = 𝑥 − 2, 𝑦 = −𝑥 e a curva 𝑦 = √𝑥. 
10) Esboce a região de integração e converta as integrais polares em 
cartesianas. 
a. ∫ ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃
1
0
𝜋
2
0
 
b. ∫ ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃
0
𝜋
2
𝜋
6
 
c. ∫ ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃
2𝑠𝑒𝑐𝜃
0
𝜋
4
0
 
d. ∫ ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃
3 sec𝜃
0
tg−1(
4
3
)
0
+ ∫ ∫ 𝑑𝑟𝑑𝜃
4𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃⁡
0
𝜋
2
tg−1(
4
3
)
 
11) Seja a região de integração da integral abaixo a região mostrada escreva 
as integrais iteradas. 
∫ ∫∫ 𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
𝑦2⁡
0
1⁡
−1
1
0
 
 
a. 𝑑𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 
b. 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
c. 𝑑𝑥𝑑𝑧𝑑𝑦 
d. 𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 
12) Encontre o volume mostrado. As funções que delimitam o volume é o 
cilindro 𝑧 = 𝑦2, e os planos 𝑥𝑦, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1. 
 
13) Encontre o volume mostrado. As funções que delimitam o volume é o 
cilindro 𝑥 = 4 − 𝑦2, e os planos 𝑥𝑦, 𝑧𝑦, 𝑥𝑧 e 𝑦 + 𝑧 = 2. 
 
14) Encontre o volume mostrado. As funções que delimitam o volume é a 
superfície 𝑧 = 4 − −𝑥2 − 𝑦2, e os planos 𝑥𝑦, 𝑧𝑦, 𝑥𝑧. 
 
15) A região comum aos interiores dos cilindros 𝑥2 + 𝑦2 = 1 e 𝑥2 + 𝑧2 = 1. Da 
qual apenas 1/8⁡ é exibido na figura. 
 
16) Encontre os limites de integração para as integrais no formato 
∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑓2(𝑟,𝜃)⁡
𝑓1(𝑟,𝜃)
𝑔2(𝜃)
𝑔1(𝜃)
𝛽
𝛼
⁡ que representam o volume na região do espaço 
𝐷 mostrada. 
a. D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência 𝑟 = 2 sen𝜃 no plano 𝑥𝑦 e o topo 
é o plano 𝑧 = 4 − 𝑦. 
 
b. D é o cilindro circular reto cuja base é a região do plano 𝑥𝑦 que está dentro da função 
𝑟 = 1 + cos 𝜃 e fora da circunferência 𝑟 = 1, e o topo está no 𝑧 = 4. 
 
c. D é o prisma cuja base é o triângulo no plano 𝑥𝑦, delimitado pelo eixo 𝑦 e pelas retas 
𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 1, e cujo topo está no plano 𝑧 = 2 − 𝑥. 
 
17) Encontre os volumes dos sólidos mostrados. 
a. 
b. 
c. 
d. 
18) Encontre o centro de massa do sólido de densidade constante delimitado 
abaixo pelo plano 𝑧 = 0 e acima pelo cone 𝑧 = 𝑟, 𝑟 ≥ 0 e dos lado pelo 
cilindro 𝑟 = 1. 
19) Calcule o centroide do sólido mostrado. 
 
20) Calcule o centroide do sólido delimitado superiormente pela esfera 𝜌 = 𝑎 
e inferiormente pelo cone 𝜙 =
𝜋
4
. 
21) Encontre o momento de inércia de um cone circular reto com raio da base 
1 e altura 1 em relação aos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧 (𝛿 = 1). 
 
22) Encontre o momento de inércia de uma esfera sólida de raio 𝑎 em relação 
aos eixos 𝑥, 𝑦, 𝑧 e 𝐿 (𝛿 = 1). 
 
23) Os eixos passam pelo centroide da cunha sólida. Encontre 𝐼𝑥, 𝐼𝑦 e 𝐼𝑧 se 
𝑎 = 𝑏 = 6 e 𝑐 = 4. 
 
24) Qual o centro de massa do sólido delimitado pelos planos 𝑦 = 0, 𝑧 = 0 e 
pelas superfícies 𝑧 = 4 − 𝑥2 e 𝑥 = 𝑦2. Sendo sua densidade 𝛿 = 𝑘𝑥𝑦. 
 
25) Encontre o centro de massa de uma placa fina de densidade 𝛿 = 3 
delimitada pelas retas 𝑥 = 0, 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 2 − 𝑥2 no primeiro quadrante. 
26) Encontre os momentos de inércia 𝐼𝑥 e 𝐼𝑦 de uma placa retangular fina de 
densidade constante delimitada pelas retas 𝑥 = 3 e 𝑦 = 3 no primeiro 
quadrante. 
27) Encontre o centroide da região plana delimitada pelo eixo 𝑥 e o arco 𝑦 =
sen𝑥 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋. 
28) Encontre o momento de inercia 𝐼𝑦 e o centro de massa de uma placa no 
primeiro quadrante delimitada por 𝑥 = 𝑦2 e 𝑥 = 2𝑦 − 𝑦2 e a função 
densidade é 𝛿 = 𝑦 + 1