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Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 6 FORMULÁRIO Regime de Juros Simples 1n S C i n 1n S C n i 2.7 — Exercícios Propostos1 1) Qual o montante de uma aplicação de R$ 100.000,00 aplicados por um prazo de 12 meses, a uma taxa de 5% a.a? Solução 1(1 ) 100000 (1 0,05 1) $105.000,00nS C i n S R 2) Qual o capital inicial que deve ser aplicado a uma taxa de 0,5% a.m., para ao final de 1 ano e meio gerar R$ 100.000,00? Solução 100000 $ 91.743,12 1 1 0,005 18 nSC C R i n 3) Qual o prazo de uma aplicação à 5% a.m. que dobra seu capital inicial? Solução 2 1 1 1 20 0,05 nS C C C n n meses i i 4) Qual a taxa de juros anual, a que devemos aplicar um capital inicial para que ele dobre o seu valor num prazo de 10 anos? Solução 2 1 1 2 0,2 20% . . 10 10 nS C C C i a a n 5) Qual o total de juros acumulado, de uma aplicação de R$ 20.000,00, à taxa de juros de 5% a.a. por um período de 7 anos? Solução 20000 0,05 7 $ 7.000,00J C i n R 1 Na resolução de problemas propostos considerar anos comerciais de 360 dias e meses de 30 dias, salvo menção em contrário. Considerar neste capítulo o Regime de Juros Simples. 365 niC Juroexato 360 niC JuroComercial niCJ (1 )nS C i n JCS 1 nSC i n Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 7 6) Um investidor aplicou no mercado financeiro a quantia de R$ 750.000,00 e após 183 dias resgatou R$ 1.033.650,00 brutos. a) Qual foi a taxa diária de juros simples auferida pelo investidor? b) Qual a taxa efetiva diária se uma alíquota de 10% de imposto sobre operações financeiras for aplicada sobre os rendimentos auferidos, antecipadamente e postecipadamente? Solução a) 1033650 1 1 750000 0,002067 0,2067% . . 183 nS C i i a d n b) Antecipada 1033650 750000 283650 0,10 283650 28365 750000 28635 778365 1033650 1 1 778365 0,001792 0,1792% . . 183 n l S C J J S C T t J S C i a d n Desembolso inicial de Deve-se notar que, está sendo admitido que o rendimento é prefixado; sendo, pois,conhecido na data da aplicação. Postecipada 1033650 750000 283650 0,10 283650 28365 1033650 28635 1005285 1005285 1 1 750000 0,001860 0,1860% . . 183 n l S C J J S C T t J S C i a d n Resgate líquido de 7) Qual é o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00, com prazo de 5 meses, aplicado à taxa de juros simples de 22% a.a., se for paga uma alíquota de imposto de renda igual a 20% dos juros, no resgate da aplicação? Solução 5 5 5 (1 ) 5 8000 0,22 733,33 12 8000 733,33 8733,33 8733,33 0,2 733,33 $8.586,67 n n n n S C i n e J C i n S S T S t J J C i n S C J S S t J R Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 8 8) Ana colocou R$ 100.000,00 à taxa de juros simples de 12% a.a. pelo prazo de 50 meses. Entretanto, antes do término do prazo, conseguiu um aumento da taxa para 18% a.a. referente ao restante do prazo. Sabe-se que, no final do período, recebeu um montante de R$ 165.000,00. Quais foram os prazos em que o capital esteve aplicado à cada uma das taxas? Solução 1 1 2 2 50 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 0,12 100000 12 0,18 100000 12 100000 165000 50 165000 100000 100000 0,01 100000 0,015 65000 1000 1500 1000 1500 50 65000 1000 75000 1500 500 10000 10000 20 500 J n J n S J J n n n n n n n n n n n n m 2 30eses n meses 9) Uma pessoa realizou dois investimentos, com o mesmo capital inicial de R$ 3.000,00, em duas instituições financeiras, no mesmo dia, obtendo duas taxas de juros idênticas. Sabendo-se que o prazo total das duas aplicações foi 60 dias; que a diferença entre os prazos é de 10 dias; e que uma rendeu de juros R$ 300,00 a mais que a outra, quais foram os prazos das duas aplicações e a taxa de juros diária obtida? Solução 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 3000 3000 300 10 2 70 35 25 60 3000 3000 10 300 3000 10 300 300 0,01 1% . . 30000 J i n J i n J J n n n n dias n dias n n i n i n i n n i a d 10) Uma aplicação rende 15% a.s. e é taxada pelo Imposto de Operações Financeiras (IOF), no recebimento do rendimento, à uma alíquota fixa de 1,5% aplicada sobre o mesmo. Se você aplicou R$ 100.000,00 pelo prazo de um ano, qual a taxa líquida Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 9 semestral obtida, considerando que o rendimento líquido obtido, no fim do primeiro semestre, foi reaplicado à mesma taxa pelo restante do período? Solução O rendimento líquido em cada semestre, do investimento inicial, é dado por: 1 100000 0,15 1 1 0,015 15000 0,985 14775lJ C i n t O rendimento líquido no 2º semestre, do rendimento líquido reinvestido, é dado por: 1 14775 0,15 1 1 0,015 2183,01lJ C i n t O esquema abaixo representa o fluxo de caixa do investimento. Logo a taxa líquida é dada por: 131733,01 1 100000 0,1587 15,87% . . 2 li a s Note-se que a reaplicação do rendimento no primeiro semestre, acarretando juros sobre juros, fez com que a taxa líquida semestral, para a operação consolidada, ficasse maior de que a taxa bruta semestral. Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 10 11) Você foi comprar uma geladeira e a loja lhe ofereceu 4 opções. a) R$ 1.800,00 à vista. b) R$ 300,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 600,00. c) R$ 500,00 à vista mais 3 prestações mensais e sucessivas de R$ 500,00. d) 8 prestações mensais e sucessivas de R$ 275,00, com carência de 3 meses. Qual é a melhor opção para você, comprador, considerando uma taxa de juros simples de 4% a.m. e data focal na data da compra? Solução A melhor opção para o comprador é a que tem o menor valor presente, isto é na data da compra (data focal 0). Calculando os valores atuais das opções temos: a) Como o valor é a vista, $1.800,00aVP R b) 600 600 600 300 $1.968,19 1 0,04 1 0,04 2 1 0,04 3 bVP R c) 500 500 500 500 $1.890,16 1 0,04 1 0,04 2 1 0,04 3 cVP R d) 275 275 275 275 275 1 0,04 3 1 0,04 4 1 0,04 5 1 0,04 6 10,04 7 275 275 275 $1.755,36 1 0,04 8 1 0,04 9 1 0,04 10 dVP R Logo a melhor opção para o comprador é a d. 12) Pensando nas festas de fim de ano, Fabio pretende depositar R$ 2.000,00 em 05/06 e R$ 3.000,00 em 05/09. Se o banco usado pagará juros simples à taxa de 10% ao trimestre, qual será o valor que Fabio poderá retirar em 05/12? Solução 2000 1 0,10 2 3000 1 0,10 1 $ 5.700,00S R 13) Qual o juro simples exato resultante de uma aplicação de R$500,00, à taxa de 18%a.a., empreendida no período de 04 de janeiro de 2006 a 25 de março de 2008? Solução Existem 80 dias entre as datas. Logo: 500 0,18 80 $19,73 365 365 C i n J R Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 11 14) O fluxo de caixa da Indústria Zé Bolinha apresenta os pagamentos de R$ 120.000,00 e R$ 80.000,00, respectivamente, de hoje a 3 e 9 meses. Antevendo dificuldades, o gerente financeiro, Dr. Araújo, tenta negociar junto à instituição credora essa dívida, na forma de dois pagamentos iguais vencíveis de hoje a 12 e 15 meses. Supondo que essa renegociação se faça à taxa de 5% a.t. e data focal no dia de hoje, qual o valor dos novos pagamentos? Solução O valor atual dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual dos pagamentos propostos. 120000 80000 1 0,05 1 1 0,05 3 1 0,05 4 1 0,05 5 114285,71 69565,22 0,8333 0,80 183850,93 1,6333 183850,93 $112.564,09 1,6333 P P P P P P R 15) Uma pessoa deve R$ 50.000,00 daqui a 2 meses, R$100.000,00 daqui a 3 meses e R$20.000,00 daqui a 4 meses. Desejando liquidar esses débitos com um único pagamento daqui a um mês, qual deverá ser o valor do mesmo, considerando uma taxa de juros simples de 10% ao ano e data focal no dia de hoje? Solução A soma dos valores atuais dos pagamentos originais deve ser igual ao valor atual do pagamento proposto. 50000 100000 20000 2 3 4 1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 1 0,1 12 12 12 12 49180,33 97560,98 19354,84 0,9231 166096,15 0,9231 166096,15 $179.937,50 0,9231 P P P P R Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 12 16) Imagine-se o caso de um título de renda fixa, com valor de emissão E igual a R$12.000,00, com prazo de vencimento igual a um ano, taxa de rendimento bruta 10% . .bi a a , e tributo cobrado postecidamente à alíquota de 10% sobre o rendimento; com o título sendo negociado com deságio de 7%, com a taxa bruta bi incidindo sobre o valor cheio do título. Pede-se determinar a taxa líquida anual de rentabilidade se: a) O tributo não levar em conta o deságio. b) O tributo levar em conta o deságio. Solução a) Se o tributo não levar em conta o deságio. 12000 0,1 1200 0,1 1200 120 1 12000 1 0,1 120 13080 1 12000 0,93 11160 13080 11160 0,1720 17,20% . . 11160 1 1 0,10 0,1 0,07 0,1720 17,20% . . 1 1 0,07 b b l b l R E i T t R N E i T V E N V i ou a a n V ou t i i ou a a b) Se o tributo levar em conta o deságio. Regra geral, a alíquota t incide sobre o chamado lucro contábil, LC, que é igual à soma das receitas menos a soma das despesas. No caso em apreço, teremos: 1 1b bLC E i E E i Logo, teremos bT t E i . Consequentemente, o fluxo de caixa que caracteriza a operação é dado por: Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 13 Logo, sendo 1 1 bN E t i t e (1 )V E , teremos: 0,1 12000 0,17 204 1 12000 1,1 204 12996 1 0,93 12000 11160 12996 11160 0,1645 16,45% . . 11160 b b l T t LC t E i N E i T V E N V i ou a a n V 1 1 0,1 0,1 0,07 0,1645 16,45% . . 1 1 0,07 b l ou t i i ou a a 17) Seja uma instituição financeira que esteja emitindo títulos com prazo de 1 ano e taxas brutas de rentabilidade de 18% ao ano. a) Em sendo cobrado imposto de renda no resgate à uma alíquota de 15%, qual será a taxa anual de rentabilidade líquida para o investidor? b) Supondo que o investidor demande uma taxa líquida de rentabilidade de 30 % a.a., quanto deverá ser concedido de deságio se o deságio for ou não considerado para fins de imposto de renda? Solução a) 1 ; 0,18 0,15 0,18 0,027 1 1 0,18 0,027 1,153 1,153 0,153 15,3% . . 1 0,85 0,18 0,153 15,3% . . b b b l l b N E i T V E R E i E T t R E E N E i T E E E N V E E i a a n V E ou i t i a a b) Deságio não considerado para fins do imposto de renda Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 14 1 ; 1 0,18 0,15 0,18 0,027 1 1 0,18 0,027 1,153 1,153 1 1,153 1 1 1 1,153 1 0,147 0,3 0,3 0,3 0,153 0,1131 11,31% 1 1,30 b b b l N E i T V E R E i E T t R E E N E i T E E E E EN V i n V E ou Deságio considerado para fins imposto de renda 1 ; 1 1 1 0,15 0,18 0,027 0,15 1 1 0,18 0,027 0,15 1,153 0,15 1,153 0,15 1 1,153 0,15 1 1 1 0,153 0,85 1 b b b b b b l l N E i T V E LC E i E E i E E i T t E i E E N E i T E E E E EN V i n V E i 0,153 0,85 0,3 1 0,147 0,3 0,3 0,153 0,85 0,1278 12,78% 1,15 18) Certo indivíduo, que costuma efetuar empréstimos de curto prazo, cobrando juros simples, possui em sua Carteira de Investimentos as seguintes cinco notas promissórias: a) A primeira, com valor de face de R$ 2.000,00, termo de 6 meses a juros simples de 4% ao mês, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje. b) A segunda, com valor de face de R$ 1.000,00, termo de 8 meses a juros simples de 60% ao ano, sendo datada de 2 meses antes da data de hoje. c) A terceira com valor nominal de R$ 1.500,00, vencendo-se de hoje a 3 meses. d) A quarta com valor nominal de R$ 3.000,00, vencendo-se de hoje a 6 meses. e) A quinta com valor nominal de R$ 2.000,00, vencendo-se de hoje a 8 meses. Tendo o indivíduo recebido a proposta de vender as cinco notas promissórias em questão, por R$ 7.400,00, pagáveis à vista, deve ou não aceitar a proposta se, na data de hoje, consegue fazer empréstimos cobrando a taxa de juros simples de: i. 6% ao mês ii. 10% ao mês Solução Calculandoo valor nominal das notas promissórias Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 15 2000 1 0,04 6 2480 8 1000 1 0,6 1400 12 1500 3000 , quatro meses após a data de hoje (0) , seis meses após a data de hoje (0) , três meses após a data de hoje (0) , seis meses após a data a b c d N N N N 2000 de hoje (0) , oito meses após a data de hoje (0)eN I. Taxa de 6% ao mês, data focal hoje O valor atual da Carteira de notas promissória é: 2480 1400 1500 3000 2000 7857,83 1 0,06 4 1 0,06 6 1 0,06 3 1 0,06 6 1 0,06 8 VP Logo como R$ 7.857,83 é maior que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se recusar a oferta. II. Taxa de 10% ao mês, data focal hoje O valor atual da Carteira de notas promissórias é: 2480 1400 1500 3000 2000 6786,39 1 0,10 4 1 0,10 6 1 0,10 3 1 0,10 6 1 0,10 8 VP Logo como R$ 6.786,39 é menor que o valor oferecido, R$ 7.400,00, deve-se aceitar a oferta. 19) Determinada pessoa, ao comprar um carro novo cujo preço é R$ 20.000,00, teve seu carro usado aceito como entrada. O saldo do preço de venda será pago em cinco prestações mensais de R$ 2.600,00, a primeira vencendo um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros simples do financiamento é de 2% a.m., qual foi o valor da avaliação do carro usado? Solução Na data de hoje a equação de valor é: 2600 2600 2600 2600 2600 20000 1 0,02 1 1 0,02 2 1 0,02 3 1 0,02 4 1 0,02 5 20000 2549,02 2500 2452,83 2407,41 2363,64 12272,90 20000 12272,90 $ 7.727,10 usado usado usado V V V R 20) Uma aplicação no regime de juros simples durante o prazo de 5 meses, rende juros à taxa de 22% a.a. e paga imposto de renda igual a 20% dos juros. O imposto é pago no resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$8.000,00? Capitulo 2 – Resolução de Exercícios Introdução à Matemática Financeira – Faro & Lachtermacher – Versão Final Página 16 Solução 5 8000 0,22 733,33 12 0,2 733,33 146,67 8000 733,33 146,67 $ 8.586,66l J C i n T t J S C J T R
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