Aula5_Medidasdeposição

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Estatística
5ª Aula
Profa. Rossana Silva
rsilva5@area1.edu.br
Medidas de Posição
1
O que foi abordado até agora
Conceitos iniciais – Aula 2
Séries Estatísticas, Índices, Coeficientes, Taxas – Aula 3
Gráficos – Aula 3
Distribuição de Frequência, Histograma e polígono de frequências – Aula 4
Medidas de Posição
Análise Exploratória de Dados
Tipos de Dados
Dados associados a uma frequência!!!
As medidas de posição serão obtidas para cada tipo de dado.
Média Aritmética
 - Somatório
Média Aritmética - Dados não agrupados
Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, determinamos a média aritmética simples. 
Exemplo: sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para a produção média da semana:
14 litros faz parte dos dados originais. Se fosse diferente da série original, diríamos que a média não tem existência concreta.
Média aritmética
Desvio em relação à média
Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. 
Média aritmética
Propriedades da média
1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula. 
Média aritmética
Propriedades da média
2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) de c. 
Exemplo:
Y =112 = 16 Y = 14 +2 = 16 
 7 
Média aritmética
Propriedades da média
3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante:
 294/7 = 42 ou 14 x 3 = 42
Sem intervalos de classe
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino:
Média Aritmética - Dados agrupados sem intervalos de classe
Variável Discreta
Capa
da Obra
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada dada pela fórmula:
Média Aritmética 
 Dados agrupados sem intervalos de classe
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos xifi:
Então:
Logo:
meninos
Média Aritmética 
 Dados agrupados sem intervalos de classe
Exercício 1
Calcule a média do número de irmãos por família da Tabela abaixo.
Média Aritmética 
 Dados agrupados sem intervalos de classe
Númerode Irmãos
Famílias
1
2
2
4
3
6
4
8
5
3
Capa
da Obra
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
Média Aritmética 
 Dados agrupados com intervalos de classe
Capa
da Obra
Média Aritmética 
 Dados agrupados com intervalos de classe
Capa
da Obra
Como, neste caso:
Temos:
Média Aritmética 
 Dados agrupados com intervalos de classe
Exercício 2
Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição de frequência:
Custo (R$)
fi
450├550
8
550├650
10
650├750
11
750├850
16
850├950
13
950├1.050
5
1.050├1.150
1
Média Aritmética 
 Dados agrupados com intervalos de classe
Capa
da Obra
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores. 
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma indústria é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa indústria. 
Moda (Mo)
Capa
da Obra
Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete. 
A série de dados 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13 e 15, tem moda igual a 10. 
Séries que não apresentam moda são chamadas amodal; nos casos onde houver dois ou mais valores de concentração para a moda, a série é chamada bimodal. 
Moda (Mo)
Dados não-agrupados
Capa
da Obra
Sem intervalos de classe
Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de maior frequência. 
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Moda = 3
Capa
da Obra
Com intervalos de classe
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. 
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor denominação de moda bruta. 
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Temos então:
Onde 	l* é o limite inferior da classe modal;
		L* é o limite superior da classe modal. 
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Para a distribuição:
Temos que a classe modal é i=3, l*=158 e L*=162.
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Moda (Mo)
Expressões Gráficas da Moda
Capa
da Obra
A moda é utilizada:
	- quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição;
	- quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. 
Moda (Mo)
Emprego da Moda
Exercício 4
Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de frequência:
Custo (R$)
fi
450├550
8
550├650
10
650├750
11
750├850
16
850├950
13
950├1.050
5
1.050├1.150
1
Moda (Mo)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. 
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 
Mediana (Md)
Capa
da Obra
Dada uma série de valores, como por exemplo:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
de acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é ordenar os valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18.
Mediana (Md)
Dados não-agrupados
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. 
No nosso caso, Md=10. 
Se a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio. 
Capa
da Obra
Mediana (Md)
Dados não-agrupados
Capa
da Obra
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não-agrupados, implicando, porém, a determinação prévia das frequências acumuladas. 
Para o caso de uma distribuição, a ordem, a partir de qualquer um dos extremos, é dada por:
Mediana (Md)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Sem intervalos de classe
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada (Fi). 
Mediana (Md)
Dados Agrupados
N. de Meninos
fi
Fi
0
2
2
1
6
8
2
10
18
3
12
30
4
4
34
34
∑fi/2 = 34/2=17
A menor frequência acumulada que supera este valor é 18. Logo:
Md = 2 meninos
Se a frequência acumulada indicada for igual a tabela
Exemplo:
xi
fi
Fi
12
1
1
14
2
3
15
1
4
16
2
6
17
1
7
20
1
8
8
8/2 =4 = F3
Md = (15+16)/2 = 15,5
xi
fi
Fi
2
3
 
4
7
6
12
8
8
10
4
 
34
Exercício 5
Calcule a mediana da seguinte distribuição
Capa
da Obra
Com intervalos de classe
Neste caso, o problema consiste em determinar o ponto do intervalo em que está compreendida a mediana. 
Para tanto, temos que determinar a classe na qual se acha a mediana _ classe mediana. Tal classe será aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a
.
Mediana (Md)
Dados Agrupados
Capa
da Obra
Feito isto, um problema de interpolação resolver a questão, admitindo-se, agora, que os valores se distribuam uniformemente em todo o intervalo de classe. 
Mediana (Md)
Dados Agrupados
∑fi/2 = 20
Fi
4
13
24
32
37
40
Classe Mediana
Md = 158 + (20-13)*4 = 160,54 cm 
		11 
Incluir a Frequência Acumulada na Tabela
Exercício 6
Complete o esquema para o cálculo da mediana da distribuição de frequência:
Custo (R$)
fi
450├550
8
550├650
10
650├750
11
750├850
16
850├950
13
950├1.050
5
1.050├1.150
1
Capa
da Obra
Empregamos a mediana quando:
	- desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
	- há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média.
	
Mediana (Md)
Emprego da Mediana
Capa
da Obra
A mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central, mas também separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores. 
Assim, além das medidas de posição, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica. Essas medidas _ os quartis, os percentis e os decis _ são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nome genérico de separatrizes. 
As Separatrizes
Capa
da Obra
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. 
Há três quartis:
	- o primeiro quartil;
	- o segundo quartil (igual à mediana);
	- o terceiro quartil. 
Separatrizes
Quartis
Da mesma forma que a mediana, empregamos as seguintes formulas para dados agrupados em classes:
Capa
da Obra
Separatrizes
Quartis
Exercício 7
Complete o esquema para os cálculos do primeiro e terceiro quartil da distribuição de frequência:
Custo (R$)
fi
450├550
8
550├650
10
650├750
11
750├850
16
850├950
13
950├1.050
5
1.050├1.150
1
Capa
da Obra
Denominamos percentis os 99 valores que separam uma série em 100 partes iguais.
Indicamos 
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém a fórmula passa a ser:
Separatrizes
Percentis
Exercício 8
Complete o esquema para o cálculo de P20 distribuição de frequência:
Custo (R$)
fi
450├550
8
550├650
10
650├750
11
750├850
16
850├950
13
950├1.050
5
1.050├1.150
1
Exercícios Complementares
1.
2.
Análise Exploratória de Dados
Conjuntos de técnicas complementares que auxiliam a Análise de Dados;
Técnicas desenvolvidas em 1970;
Veremos 4 técnicas:
Resumo dos Cinco Números
Gráfico em Caixa ou “Box Plot”
Diagrama de folhas
Dot plot
Resumo dos Cinco Números
Distribuição Simétrica
Distribuição Assimétrica
Identificação de Números Discrepantes
Gráfico em Caixa ou Box Plot
Tipos de Distribuição representadas pelo Box Plot
Diagrama de folha e ramo
É uma ferramenta útil para descrever pequenos conjuntos de dados.
Exemplo: Considere as notas de 40 alunos de estatística
1º passo: separação de dados por casas
2º passo: mostre o primeiro dígito apenas uma vez para cada linha
3 passo: Ordene os valores dos ramos
Ramo
Rótulo do Ramo
Folhas
Diagrama Folha e Ramo
Dot Plot
É um gráfico simples. O número de pontos representa a quantidade de dados no eixo.