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MA211 - Lista 01 Curvas Diferencia´veis 3 de agosto de 2015 1. F Calcule os limites. a) lim t→0 ( et − 1 t , √ 1 + t− 1 t , 3 t+ 1 ) b) lim t→∞ ( arctg t, e−2t, ln t t ) 2. Esboce o gra´fico da curva cuja equac¸a˜o vetorial e´ dada. Indique com setas a direc¸a˜o na qual o paraˆmetro cresce. a) r(t) = (t, cos 2t, sen 2t) b) r(t) = (1 + t, 3t,−t) 3. Mostre que a curva com equac¸o˜es parame´tricas x = t cos t, y = t sen t, z = t esta´ no cone z2 = x2 + y2 e use esse fato para esboc¸ar a curva. 4. Mostre que a curva com equac¸o˜es parame´tricas x = sen t, y = cos t, z = sen2 t e´ a curva de intersecc¸a˜o das superf´ıcies z = x2 e x2 + y2 = 1. Use esse fato para esboc¸ar a curva. 5. Trace a curva com equac¸o˜es parame´tricas x = √ 1− 0, 25 cos2 10t cos t y = √ 1− 0, 25 cos2 10t sen t z = 0, 5 cos 10t. Explique a apareˆncia da curva, mostrando que ela esta´ em uma esfera. 6. Mostre que a curva com equac¸o˜es parame´tricas x = t2, y = 1− 3t, z = 1+ t3 passa pelos pontos (1, 4, 0) e (9,−8, 28), mas na˜o passa pelo ponto (4, 7,−6). 7. � Determine a func¸a˜o vetorial que representa a curva obtida pela intersecc¸a˜o do cone z = √ x2 + y2 com o plano z = 1 + y. 8. Determine o domı´nio da curva de equac¸a˜o vetorial r(t) = (√ t− 2 t+ 1 , ln (5− t2), e−t ) . 9. Mostre que a func¸a˜o vetorial r(t) = (2i+ 2j+ k) + (cos t) ( 1√ 2 i− 1√ 2 j ) + (sen t) ( 1√ 3 i+ 1√ 3 j+ 1√ 3 k ) descreve o movimento de uma part´ıcula no c´ırculo de raio 1 centrado no ponto (2, 2, 1) e contido no plano x+ y − 2z = 2. 1 10. Uma part´ıcula se move no plano xy de tal maneira que sua posic¸a˜o no instante t e´ r(t) = (t− sen t)i+ (1− cos t)j. Trace o gra´fico de r(t). A curva resultante e´ chamada de ciclo´ide. 11. a) Fac¸a um esboc¸o grande da curva descrita pela func¸a˜o vetorial r(t) = (t2, t), 0 ≤ t ≤ 2, e desenhe os vetores r(1), r(1, 1) e r(1, 1)−r(1). b) Desenhe o vetor r(1) comec¸ando em (1, 1) e compare com o vetor r(1, 1)− r(1) 0, 1 . 12. Nos itens abaixo: (i) Esboce o gra´fico da curva plana com a equac¸a˜o vetorial dada; (ii) Determine r′(t); (iii) Esboce o vetor posic¸a˜o r(t) e o vetor tangente r′(t) para o valor dado de t. a) r(t) = (t− 2, t2 + 1) e t = −1. b) r(t) = sen(t)i+ 2 cos(t)j e t = pi/4. c) � r(t) = (1 + cos t)i+ (2 + sen t)j e t = pi/6. 13. F Determine a derivada da func¸a˜o vetorial. a) r(t) = (tg t, sec t, 1/t2) b) r(t) = sen−1(t)i+ √ 1− t2j+ k 14. F Determine o vetor tangente unita´rioT(t) no ponto com valor de paraˆmetro t dado, sendo r(t) = cos(t)i+ 3tj+ 2 sen(2t)k e t = 0. 15. Determine as equac¸o˜es parame´tricas para a reta tangente a` curva dada pelas equac¸o˜es parame´tricas x = e−t cos t, y = e−t sen t, z = e−t no ponto (1, 0, 1). 16. As curvas r1(t) = (t, t 2, t3) e r2(t) = (sen t, sen 2t, t) se interceptam na ori- gem. Determine o aˆngulo de intersecc¸a˜o destas com precisa˜o de um grau. 17. Calcule a integral ∫ pi/2 0 (3 sen2(t) cos(t)i+3 sen(t) cos2(t)j+2 sen(t) cos(t)k)dt. 18. �Encontre r(t) se r′(t) = 2t i+ 3t2 j+ √ t k e r(1) = i+ j. 19. Se u(t) = (sen t, cos t, t) e v(t) = (t, t cos t, sen t), use a Fo´rmula 5 do Teorema 3 da Sec¸a˜o 13.2 do Stewart para encontrar d dt [u(t) · v(t)]. 2 20. F Se r(t) 6= 0, mostre que d dt |r(t)| = 1|r(t)|r(t) · r ′(t). (Sugesta˜o: |r(t)|2 = r(t) · r(t)). 21. Calcule dr dt e d2r dt2 . a) r(t) = (3t2, e−t, ln(t2 + 1)) b) r(t) = 3 √ t2i+ cos(t2)j+ 3tk c) r(t) = sen(5t)i+ cos(4t)j− e−2tk 22. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` trajeto´ria da func¸a˜o dada, no ponto dado. a) r(t) = (cos t, sen t, t) e r(pi/3). b) r(t) = (t2, t) e r(1). c) � r(t) = ( 1 t , 1 t , t2 ) e r(2). 23. Determine r(t) sabendo que a) r′(t) = ti+ 2k e r(0) = i+ j. b) r′(t) = sen(t)i+ cos(2t)j+ 1 t+ 1 k, t ≥ 0 e r(0) = i− j+ 2k. c) r′(t) = 1 1 + 4t2 i+ e−tj+ k e r(0) = k. 24. Calcule. a) F ∫ 1 0 (ti+ etj)dt b) ∫ 1 −1 ( sen(3t)i+ 1 1 + t2 j+ k ) dt c) ∫ 2 1 (3i+ 2j+ k)dt 25. Sejam u(t) = ti+ j+ etk e v(t) = i+ j+ k. Calcule a) ∫ 1 0 (u(t)× v(t))dt b) ∫ 1 0 (u(t) · v(t))dt 3 26. Seja F(t) uma forc¸a dependendo do tempo t, que atua sobre uma part´ıcula entre os instantes t1 e t2. Supondo F integra´vel em [t1, t2], o vetor I = ∫ t2 t1 F(t)dt denomina-se impulso de F no intervalo de tempo [t1, t2]. Calcule o impulso de F no intervalo de tempo dado. a) F(t) = ti+ j+ t2k, t1 = 0 e t2 = 2. b) F(t) = 1 t+ 1 i+ t2j+ k, t1 = 0 e t2 = 1. Refereˆncias [1] J. Stewart. Ca´lculo, Volume 2, 6a edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Pioneira/ Thomson Le- arning. [2] H. L. Guidorizzi. Um Curso de Ca´lculo, Volume 2, 5a Edic¸a˜o, 2002, Rio de Janeiro. [3] G. B. Thomas. Ca´lculo, Volume 2, 10a edic¸a˜o, Sa˜o Paulo, Addison- Wesley/Pearson,2002. 4
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