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EXERCICIOS DE CASA (LISTA 03) AULA 03 (Probabilidade) Noções de Estatística (MAE0116) 2° Semestre de 2014 para FEA-Administração (Grupo D) Nomes: Felipe Rodrigues N° USP Daniel Saraiva N° USP Exercício. 1. Jogam-se dois dados equilibrados, um em seguida do outro. Construa o modelo probabilístico desse experimento aleatório e, em seguida, use o modelo construído para calcular a probabilidade de ocorrer o evento “produto dos números mostrados nas faces superiores dos dados não e menor que 12 e não e maior que 15". Todas as Possibilidade são: 6𝑥6 = 36 Eventos favoráveis: Maior de 12 e menor de 15 2𝑥6 ; 3𝑥4; 3𝑥5; 4𝑥3; 5𝑥3 ; 6𝑥2 => Total de 6 possibilidades. Logo, 𝑃 = 6 36 = 1 6 Exercício. 2. Um açougue será inaugurado hoje e tem 50% de probabilidade de receber carne de um frigorífico contratado para seu abastecimento. A cada dia consecutivo, a probabilidade de haver carne no açougue depende somente do fato de ter havido carne ou não no dia anterior, obedecendo a seguinte regra: 60% de chances de encontrar carne no açougue se, no dia anterior, esse produto estava disponível, e 30% se, no dia anterior, ela estava em falta. Ao tomar conhecimento sobre a inauguração do açougue, uma dona de casa resolveu ir até ele daqui dois dias. Determine a probabilidade dessa senhora encontrar a carne no açougue. 𝑃(𝑇𝑒𝑟 𝐶𝑎𝑟𝑛𝑒) = 1 2 × 3 5 + 1 2 × 3 10 𝑃(𝑇𝑒𝑟 𝐶𝑎𝑟𝑛𝑒) = 3 10 + 3 20 = 9 20 = 0,45 = 45% Exercício. 3. Uma fábrica tem três maquinas, A, B e C, que respondem, respectivamente, por 40%, 35% e 25% da sua produção. 2% da produção da máquina A consistem em peças defeituosas; essa proporção e de 1% para a máquina B e de 3% para a máquina C. Toma-se uma peça ao acaso da produção da fábrica, e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de ter sido produzida pela máquina B? Máquina A: Máquina B: 40% da Produção 35% da Produção 2% Defeituosa = 0,8% do Total 1% Defeituosa = 0,35% do Total Máquina C: 25% da Produção 3% Defeituosa = 0,75% do Total Sendo a peça defeituosa e retirada ao acaso temos: 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) = 0,35 0,8 + 0,35 + 0,75 = 0,35 1,9 = 0,184 Exercício. 4. Verifique, no âmbito do Exercício 3, a validade da formula Tomando o evento “peça sorteada veio da máquina B" como B e o evento “peça sorteada e defeituosa" como D. Aqui, �̅� denota o complementar do evento B, cuja interpretação em termos do exercício é: “a peça sorteada não veio da máquina B". 𝑃[𝐵|𝐷] + 𝑃[�̅�|𝐷] = 1 𝑃(𝐵 ∩ 𝐷) 𝑃(𝐷) + 𝑃(�̅� ∩ 𝐷) 𝑃(𝐷) = 1 0,35 1,9 + 1,55 1,9 = 1 1,9 1,9 = 1 Portanto, no âmbito do exercício 3 a formula é válida. Exercício. 5. Verifique, no âmbito do Exercício 3, o fato de que Tomando B e D como os do Exercício. 4. Aqui, �̅� denota o complementar do evento D, cuja interpretação em termos do exercício é: “a peça sorteada não e defeituosa". 𝑃(�̅�) = 1 − 𝑃(𝐷) = 9810 10000 𝑃(�̅�|𝐵) = 1 − 𝑃(𝐷|𝐵) = 99 100 𝑃(𝐵|�̅�) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(�̅�|𝐵) 𝑃(𝐷) = 3455 9810 𝑃(𝐵|𝐷) + 𝑃(𝐵|�̅�) = 35 190 + 3455 9810 = 9998 18639 Exercício. 6. Três moedas honestas são lançadas em sequência. Considere dois eventos: A= “obter uma “cara" e uma “coroa" nos dois primeiros lançamentos, em qualquer ordem", e B=” obter duas “caras" nos dois últimos lançamentos". (a) Calcule P[A|B]. Compare o resultado com P[B]. (Não e preciso comentar; o resultado da comparação será usado na próxima aula teórica para a discussão do conceito de independência.) Possibilidades do Evento A: Cora | Coroa | Cara; Cora | Coroa | Coroa; Coroa | Cora | Cara; Coroa | Cora | Coroa; Possibilidades do Evento B Coroa | Cara | Cara; Cara | Cara | Cara; b) Calcule P[B|A]. Compare o resultado com P[B]. (Não e preciso comentar; o resultado da comparação será usado na próxima aula teórica para a discussão do conceito de independência.) Exercício. 7. (a) Numa escola ha 7 professores e 3 professoras. Será formada uma comissão de três pessoas. Qual a probabilidade que nesta comissão haja somente uma mulher (quer dizer, exatamente uma mulher)? Todas as possibilidades: ( 10 3 ) = 40 Eventos Favoráveis: ( 3 1 ) × ( 7 2 ) = 21 𝑃𝑎 = ( 3 1) × ( 7 2) ( 10 3 ) = 21 40 (b) Numa escola ha 7 professores e 3 professoras, sendo que um professor e uma professora são irmãos. Será formada uma comissão de três pessoas. Qual a probabilidade que nesta comissão haja somente uma mulher e que esta não seja a irmã de qualquer professor da comissão? 𝑃(𝐵) = 3 × 𝑃(𝐻𝐻𝑚) + 3 × 𝑃(𝐻𝐻𝑀) + 6 × 𝑃(ℎ𝐻𝑀) 𝑃(𝐵) = 3 × ( 6 10 × 5 9 × 1 8 ) + 3 × ( 6 10 × 5 9 × 2 8 ) + 6 × 1 10 × 6 9 × 2 8 = 342 720 = 19 40 (c) No âmbito do item (b), responda a seguinte questão: Sabendo que na comissão ha dois homens e uma mulher, qual a probabilidade que esta seja a irmã de um dos homens da comissão? 𝑃(𝐻ℎ𝑚) = 1 10 × 6 9 × 1 8 = 6 720 𝑃𝑐 = 6 × 𝑃(𝐻ℎ𝑚) 𝑃(𝐵) + 6 × 𝑃(𝐻ℎ𝑚) = 36 378 = 2 21
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