18 Cap VI CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS

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CINÉTICA PLANA DOS 
CORPOS RÍGIDOS 
Capítulo 6 – Aula 18 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
A equação de força é dada por: 
 
 
Ela estabelece que a resultante das forças externas, atuantes no 
corpo, é igual à massa m do corpo multiplicada pela aceleração 
de seu centro de massa G. 
 
A equação de momentos em relação ao centro de massa mostra 
que o momento resultante, em relação ao centro de massa, das 
forças externas atuantes sobre o corpo é igual à taxa de 
variação com o tempo da quantidade de movimento angular do 
corpo em relação ao centro de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Da estática sabemos que um sistema genérico de forças pode ser 
substituído por uma força resultante aplicada a um ponto 
qualquer previamente escolhido e um binário equivalente 
A parte c da figura é um diagrama cinético, que representa os 
efeitos dinâmicos resultantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações do Movimento Plano 
 
A figura abaixo representa um corpo rígido movendo-se com 
movimento plano em x-y. O centro de massa G tem uma 
aceleração 𝒂 , e o corpo tem uma velocidade angular 𝝎 = 𝜔𝒌, e 
uma aceleração angular 𝜶 = 𝛼𝒌. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações do Movimento 
 
Uma vez que as direções de 𝝎 e 𝜶 permanecem perpendiculares 
ao plano do movimento, pode-se utilizar a notação escalar 𝜔 e 
α = 𝜔 . 
 
A quantidade de movimento angular em relação ao centro de 
massa para um sistema genérico, é expressa por , 
onde: 
𝜌𝑖 é o vetor posição da partícula de massa 𝑚𝑖 em relação a G. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações do Movimento 
 
Para o corpo rígido a velocidade da massa 𝑚𝑖 em relação a G é 
dada por: 
𝝆𝑖 = 𝝎 𝑥 𝝆𝑖 
 
Que é um vetor de módulo 𝝆𝑖 . 𝝎 que se apoia no plano do 
movimento perpendicular a 𝜌𝑖. 
 
O produto 𝝆𝑖 𝑥 𝝆𝑖 é, portanto, um vetor perpendicular ao plano x-y 
no sentido de 𝝎 e seu módulo é 𝜌𝑖
2. 𝜔. 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações do Movimento 
 
Desta forma, escrevemos que o módulo de 𝑯𝑮, vale: 
𝐻𝐺 = 𝜌𝑖
2. 𝑚𝑖 . 𝜔 = 𝜔 𝜌𝑖
2. 𝑚𝑖 = 𝜔 𝜌
2 𝑑𝑚 
 
onde 𝜌2 𝑑𝑚 é o é definido como o momento de inércia de massa 
𝐼 do corpo em relação ao eixo z que passa por G. 
 
OBS: Estudar o Apêndice B. 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações do Movimento 
Desta forma, escrevemos que : 
 
𝐻𝐺 = 𝐼 𝜔 
 
onde 𝐼 é uma propriedade constante do corpo, e é uma medida de 
inércia de rotação, que representa a resistência do corpo a uma 
variação de sua velocidade de rotação em decorrência da 
distribuição radial da massa em torno do eixo z que passa por G. 
 
 𝑀𝐺 = 𝐻𝐺 = 𝐼 𝜔 = 𝐼 𝛼 
 
onde 𝛼 é a aceleração angular do corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações do Movimento 
 
Generalizando as equações de Newton, escrevemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações Alternativas de Momentos 
 
Utilizando a equação geral para os momentos em relação ao ponto 
P arbitrário, podemos expressar para o corpo bidimensional: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações Alternativas de Momentos 
 
 
 
 
 
 
Utilizando ainda uma equação alternativa para o momento em 
relação a P, e se P é escolhido como um ponto fixo ao corpo, 
podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Equações Alternativas de Momentos 
 
 
Onde 𝒂𝑝 é a aceleração de P e o vetor posição com origem em P e 
extremidade em G é 𝝆 . 
 
Quando 𝝆 = 0, o ponto P é o centro de massa G e então a equação 
fica: 
 
Quando o ponto P coincide com um ponto O fixo a um sistema de 
referência inercial e solidário ao corpo, então 𝒂𝑝 = 0 e, podemos 
escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Movimento com e sem Restrições 
 
O movimento pode ocorrer com ou sem restrição. Na figura da 
esquerda as acelerações podem ser calculadas de forma 
independente uma da outra. Já na figura da direita uma é 
dependente da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Sistemas com Corpos Interligados 
 
A figura mostra dois corpos interligados por um pino em A e sujeitos 
às forças externas mostradas. 
As forças no pino A são internas ao sistema e não estão indicadas. 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/2 
EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENTO 
Sistemas com Corpos Interligados 
 
A resultante de todas as forças externas deve ser igual à soma 
vetorial das duas resultantes, e a soma dos momentos em 
relação a um ponto qualquer ser igual ao momento das 
resultantes. 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/3 
TRANSLAÇÃO 
Na translação retilínea todos os pontos se movem segundo linhas 
retas, enquanto na translação curvilínea todos os pontos se 
movem segundo trajetórias curvas congruentes. 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/3 
TRANSLAÇÃO 
Não há movimento angular em ambos os casos, logo 𝜔 𝑒 𝛼 são 
nulos. 
Portanto podemos escrever que: 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: EXEMPLO 
6/2 
A barra vertical AB possui uma massa de 150 kg e seu centro de 
massa G está no ponto médio entre suas extremidades. A barra é 
elevada do repouso em 𝜃 = 0 por meio de um mecanismo de 
hastes paralelas, cujas massas são desprezíveis, com um 
momento constante M=5 kN.m aplicado à haste inferior no 
mancal C. Determine a aceleração angular 𝛼 das barras em 
função de 𝜃 e obtenha a força B na haste DB no instante em que 
𝜃 = 30𝑜 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: SOLUÇÃO 
EXEMPLO 6/2 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/4 
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Rotação de um corpo rígido em torno do eixo fixo O. 
 
Todos os pontos descrevem trajetórias circulares em torno do eixo e 
todas as linhas traçadas sobre o corpo têm a mesma velocidade 
angular w e a mesma aceleração angular α 
 
As componentes podem ser expressas em coordenadas n-t 
 
 
 
 
 
. 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/4 
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Para este tipo de problema, geralmente é interessante aplicar uma 
equação de momento diretamente em relação ao eixo de rotação 
O. 
 
 
 
Para o caso comum de rotação em torno do eixo que passa pelo 
seu centro de massa:Pode-se combinar a componente da força 
resultante e o momento resultante , 
movendo-se para uma posição paralela que 
 passa pelo ponto Q sobre a linha OG. . 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/4 
ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo teorema dos eixos paralelos: 
 
 
Ponto Q é o centro de percussão: 
• todas as forças aplicadas ao corpo deve passar através dele; 
• soma de momentos de todas as forças é sempre nula 
. 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: EXEMPLO 
6/3 
 
 
 
 
 
 
. 
 
O bloco de concreto de 300kg é elevado pelo mecanismo de 
içamento mostrado na figura, onde os cabos são enrolados sem 
folga em torno dos respectivos tambores. Os tambores, que são 
unidos e giram como um conjunto único em torno do seu centro 
de massa em O, possuem uma massa combinada de 150lg e um 
raio de giração de 450mm em relação a O. Se uma força de 
tração constante P de 1,8kN é mantida pela unidade de potência 
em A, determine a aceleração vertical do bloco e a força 
resultante sobre o mancal em O. 
 
 
 
. 
 
P=1,8kN 
M=150kg 
K0=450mm 
300kg 
600mm 300mm 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/5 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Combina movimento de translação e rotação. 
 
 
 
 
Expressa a equivalência entre forças externas aplicadas (diagrama 
de corpo livre) e resultantes de força e momento (diagrama 
cinético). 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/5 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
Em resumo, como resolver o problema: 
• Escolha o sistema de coordenadas – o que mais facilmente 
descreve a aceleração do centro de massa (retangulares, 
normais, tangenciais ou polares). 
 
• Escolha da equação de momentos – 
 
 
• Movimentos com restrições e sem restrições 
 
• Número de incógnitas – não deve ser superior ao de 
equações independentes 
• . 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: 6/5 
MOVIMENTO PLANO GERAL 
Em resumo, como resolver o problema: 
• Identificação do Corpo ou Sistema – isolamento do corpo 
através de um diagrama de corpo livre 
 
• Cinemática – entender a cinemática envolvida 
 
• Consistência das hipóteses – consistência com o princípio 
da ação e reação e com as condições de restrição 
• . 
 
 
 
 
 
 
 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: EXEMPLO 
6/5 
Um aro metálico com raio r=150mm é liberado do repouso sobre a 
ladeira com 20º de inclinação. Se os coeficientes de atrito 
estático e dinâmico são µe=0,15 e µd=0,12, determine a 
aceleração angular α do aro e o tempo t para que ele se mova 
de uma distância de 3m ladeira abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
150mm 
CINÉTICA PLANA DE CORPOS RÍGIDOS: EXEMPLO 
6/7 
A barra esbelta AB de 30kg se move no plano vertical, com suas 
extremidades obrigadas a seguir as guias lisas horizontal e 
vertical. Se a força de 150N é aplicada em A com a barra 
inicialmente em repouso na posição para a qual o ângulo Θ = 
30º, calcule a aceleração angular resultante da barra e as forças 
sobre os pequenos roletes das extremidades A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
150N 
0,6m