Algebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR ÁLGEBRA LINEAR ÁLGEBRA LINEAR ÁLGEBRA LINEAR 
Ementa
• Matrizes
• Determinantes
• Sistemas Lineares
• Espaços e Subespaços vetoriais
• Transformações Lineares 
Autovetores e Autovalores
BibliografiaBibliografiaBibliografiaBibliografia
• ANTON, H. ; RORRES, C. Álgebra linear com 
aplicações. 8.ed. Porto Alegre: Bookamn, 2001.
• LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra linear: teoria e 
problemas. 4.ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. 
• STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra 
linear. 2.ed. São Paulo: Prentice Hall do Brasil, 1987. 
MatrizesMatrizesMatrizesMatrizes
Definição (matriz)Definição (matriz)Definição (matriz)Definição (matriz)
Uma matriz Am×n (com m linhas e n colunas) é um arranjo
retangular de m×n elementos ��� : A = ��� ⋯ ���⋮ ⋱ ⋮��� ⋯ ���
Ex. 
A=
��� ��� ��
��� ��� ��
 B=
��� ��� ��
��� ��� ��
�
� �
� �
Matriz de ordem 2x3 Matriz de ordem 3x3
Exemplo de casos de matrizes:
1. Matriz retangular: ordem 3x2:21 −102 5
2. Matriz quadrada: ordem 2x2:
1 3−2 1/2
3. Matriz coluna: ordem 3x1:
212
4. Matriz linha: ordem 1x4: 1 0 1/4 −2
Exemplo. Exemplo. Exemplo. Exemplo. 
• Construir uma matriz de ordem 2x4, tal que os 
elementos da matriz cumprem a seguinte relação:
��� = ��� + �	, 	��	� = �� − 2�, 	��	� ≠ �
Solução
A matriz procurada é do tipo: 
A=
��� ��� ��
 ������ ��� ��
 ��� 					��� = ��� + �	, 	��	� = �� − 2�, 	��	� ≠ �
• ��� = 1
� + 1 = 2 ��� = 2 − 2 1 = 0
• ��� = 1 − 2 2 = −3 ��� = 2
� + 2 = 6
• ��
 = 1 − 2 3 = −5	 ��
 = 2 − 2 3 = −4
• ��� = 1 − 2 4 = −7 ��� = 2 − 2 4 = −6
• A=
2 −3 −5 −7
0 6 −4 −6
Exemplo
• Determinar �, ", #	e $	para que A=B
• A=
2� 3"
# + $ 6
• B=
4 −9
1 2#
Solução2� 3"
# + $ 6
=	
4 −9
1 2#
2� = 4
3" = −9
# + $ = 1
6 = 2#
Logo
� = 2
" = −3
# = 3
$ = −2
Diagonais de uma matriz quadradaDiagonais de uma matriz quadradaDiagonais de uma matriz quadradaDiagonais de uma matriz quadrada










−
214
311
221Diagonal principal (i = j)
Elementos da
diagonal 
principal:
1, 1 e 2
Elementos da
diagonal 
secundária:
2, 1 e 4
Matrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiais
• Triangular Superior, quando aij = 0 se i > j 
(possui todos os elementos abaixo da 
diagonal principal nulos).
• Ex. 1 5 0 −20 −2 2 10 0 1/2 40 0 0 3
Matrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiais
• Triangular Inferior, quando aij = 0 se i < j 
(possui todos os elementos acima da 
diagonal principal nulos
• Ex. 1 0 0 07 −2 0 01 8 1/2 03 0 5 3
Matrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiais
• Diagonal, quando aij = 0 se i ≠ j (possui 
todos os elementos fora da diagonal 
principal nulos). 
Uma matriz diagonal é, ao mesmo tempo, 
triangular superior e triangular inferior
• Ex.
1 0 0 00 −2 0 00 0 1/2 00 0 0 3
Matrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiais
• Escalar, quando ��� = �0	, ��	� ≠ �', ��	� = �
para ' ∈ ℝ
Isto é, uma matriz escalar é diagonal e possui 
todos os elementos da diagonal principal 
iguais a um certo escalar '.
• Ex.
−2 0 0 00 −2 0 00 0 −2 00 0 0 −2
Matrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiaisMatrizes quadradas especiais
• Identidade (I), quando ��� = �0	, ��	� ≠ �1, ��	� = �
Isto é, uma matriz escalar é diagonal e possui 
todos os elementos da diagonal principal 
iguais a um certo escalar '.
• Ex. I = 1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1
Matriz nulaMatriz nulaMatriz nulaMatriz nula
• A matriz nula em Mm×n é a matriz de ordem 
m × n que possui todos os elementos iguais a 
zero
• Ex.
A=
0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 B=
0 00 00 00 0
Exercícios 
1. Escreva a matriz quadrada de ordem 4 onde 
os elementos são definidos por:
��� = +2�, 			��	� < �� − �, ��	� = �
2�, 			��	� > �
2. Escreva a matriz A que é quadrada de 
terceira ordem e os elementos da matriz são 
definidos por ��� = 3� − � + 2.
3. Determine . e / de 
.� /
. /�
=
1 −1
−1 1
Matriz Transporta Matriz Transporta Matriz Transporta Matriz Transporta 
• Se A é uma matriz mxn qualquer, então a 
transposta de A, denotada por AT, é definida como 
a matriz nxm que resulta da permutação das linhas 
com as colunas de 
A=
1 0 −35 − 2 1/40 −1 −2 → AT=
1 5 00 − 2 −1−3 1/4 −2
Matriz Matriz Matriz Matriz SimétricaSimétricaSimétricaSimétrica
• Uma matriz A é simétrica se AT=A
Ex.
A=
3 −2 3−2 5 13 1 8 → AT=
3 −2 3−2 5 13 1 8
A=AT
Matriz Matriz Matriz Matriz AntiAntiAntiAnti----simétricasimétricasimétricasimétrica
• Uma matriz A é anti-simétrica se AT=-A
Ex.
A=
0 −11 0 → AT= 0 1−1 0
A=-AT
Operações Operações Operações Operações com com com com MatrizesMatrizesMatrizesMatrizes
Adição e Subtração de MatrizesAdição e Subtração de MatrizesAdição e Subtração de MatrizesAdição e Subtração de Matrizes
Se A=[aij] e B=[bij] são duas matrizes mxn, 
então a soma de A e B é a matriz C=[cij], de 
ordem mxn, definida por:
cij = aij + bij (1 ≤ i ≤m , 1 ≤ j ≤ n)
Ex. 






−
−
=
205
143
A 





−
=
230
354
B






−
=





+−−++
+−++
=+=
035
297
22)3(005
315443
BAC
Propriedades da soma de matrizesPropriedades da soma de matrizesPropriedades da soma de matrizesPropriedades da soma de matrizes
•Para realizarmos estas operações entre 
matrizes, precisamos ter matrizes de 
mesma ordem e realizar as respectivas 
operações com os elementos 
correspondentes
a) A + B = B + A
b) (A + B) + C = A+ (B + C)
c) A + 0 = 0 + A = A
Multiplicação de Matriz Por Um NúmeroMultiplicação de Matriz Por Um NúmeroMultiplicação de Matriz Por Um NúmeroMultiplicação de Matriz Por Um Número
Para realizarmos o produto de uma constante 
por uma matriz, basta multiplicarmos todos os 
elementos pela constante dada
Multiplicação de MatrizesMultiplicação de MatrizesMultiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes
Ex.
Multiplicação de MatrizesMultiplicação de MatrizesMultiplicação de MatrizesMultiplicação de Matrizes
• Se A=[aij] é uma matriz mxp e B=[bij] é uma 
matriz pxn, então o produto de A e B (AxB) é 
a matriz C=[cij], de ordem mxn, definida por: 
∑
=
=+++=
p
k
kjikpjipjijiij babababac
1
2211 K
( )njmi ≤≤≤≤ 1,1
Para realizarmos o produto AxB, o número de 
linhas de B tem que ser igual ao número de 
colunas de A.
Ex.
Propriedades do produto de matrizesPropriedades do produto de matrizesPropriedades do produto de matrizesPropriedades do produto de matrizes
a) A (B C) = (A B) C
b) A (B + C) = A B + A C
c) (A + B) C = A C + B C
Potências de matrizesPotências de matrizesPotências de matrizesPotências de matrizes
• Pode-se definir potências de matrizes quadradas.
Se A é uma matriz quadrada nxn, temos:
Ap = A.A...A
p vezes
onde: A0 = In
Também se pode provar as leis de exponenciação:
ApAq = Ap+q
(Ap)q = Ap.q
Propriedades das Matrizes TranspostasPropriedades das Matrizes TranspostasPropriedades das Matrizes TranspostasPropriedades das Matrizes Transpostas
• (12)2=1
• 1 + 4 2 = 12+ 42
• 1 × 4 2 = 12 × 42
Ex. Dadas:
A = 2 10 −1 e B = 4 0−2 6
Calcular 3 (212 2 − (��4)8]	
Solução
ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios
Respostas
Exercícios
• Sejam 1 = 2 43 −1 e 4 = 3 25 6
Calcular
a)A B
b)B A
Solução
Dada A = 5 −43 1
Calcular 1
Solução
Nota.
ExercíciosRespostas
20