Aula 1 Pesquisa Operacional

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EAD 350EAD 350
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
Aula 01Aula 01
Prof. Hiroo Takaoka
takaoka@usp.br
FEA/USP
Modelagem Quantitativa em Modelagem Quantitativa em 
AdministraçãoAdministração
Modelagem Quantitativa em Modelagem Quantitativa em 
AdministraçãoAdministração
• Na administração, a matemática e a estatística
contribuem para a criação de modelos para auxílio na 
tomada de decisão.
• Na atualidade, com a evolução da capacidade de 
processamento e armazenamento de dados e da 
consequente disponibilidade de novos e mais sofisticados 
softwares e recursos acessíveis pela Web, as modelagens 
matemáticas e estatísticas têm se expandido cada vez 
mais a situações e problemas práticos.
• Termos contemporâneos para a aplicação de modelos 
matemáticos e estatísticos baseados em software aos 
negócios são: “Business Intelligence”, “Data Mining”, 
“Business Analytics” e “Big Data”.
CompetingCompeting OnOn AnalyticsAnalytics
(Thomas Davenport, HBR, Jan 2006)(Thomas Davenport, HBR, Jan 2006)
CompetingCompeting OnOn AnalyticsAnalytics
(Thomas Davenport, HBR, Jan 2006)(Thomas Davenport, HBR, Jan 2006)
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
((OperationsOperations Research ou Management Research ou Management 
ScienceScience))
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
((OperationsOperations Research ou Management Research ou Management 
ScienceScience))
• É o uso de métodos científicos para prover os departamentos 
executivos de elementos quantitativos que dêem subsídios à 
tomada de decisões a respeito de operações sob seu controle
• Exemplos de Aplicação
– “Mix” ideal de produtos
– Alocação de recursos entre centros produtivos e 
sequenciamento de produção 
– Planejamento agregado da produção 
– Sequenciamento de entregas (logística)
– Análise de redes e gestão de projetos
– “Mix” ideal de investimentos de capital
– Entre outras....
Métodos da Pesquisa OperacionalMétodos da Pesquisa OperacionalMétodos da Pesquisa OperacionalMétodos da Pesquisa Operacional
• Principais Métodos
– Programação Linear
– Programação Linear Inteira
– Programação Linear Binária
– Programação Não Linear
– Programação Dinâmica
– Redes
– Cadeias de Markov
– Análise de Decisão
– Simulação
– Teoria de Jogos
– etc.
Métodos da Pesquisa OperacionalMétodos da Pesquisa OperacionalMétodos da Pesquisa OperacionalMétodos da Pesquisa Operacional
• Principais Métodos
– Programação Linear (EAD350)
– Programação Linear Inteira (EAD350)
– Programação Linear Binária (EAD350)
– Programação Não Linear
– Programação Dinâmica
– Redes (EAD350)
– Cadeias de Markov (EAD350)
– Análise da Decisão (EAD659)
– Simulação (EAD652)
– Teoria de Jogos
– etc.
Disciplinas da área de Métodos Disciplinas da área de Métodos 
Quantitativos e Informática (EAD/FEA)Quantitativos e Informática (EAD/FEA)
Disciplinas da área de Métodos Disciplinas da área de Métodos 
Quantitativos e Informática (EAD/FEA)Quantitativos e Informática (EAD/FEA)
• Básicas
– MAT 103 – Complementos de Matemática
– MAE 116 – Noções de Estatística
– MAC 113 – Introdução à Computação
• Métodos Quantitativos Aplicados
– EAD 350 – Pesquisa Operacional
– EAD 659 – Análise da Decisão
– EAD 652 – Simulação
– EAD 655 – Métodos Estatísticos de Projeção
– EAD 351 – Técnicas Estatísticas de Agrupamento
– EAD0752 - Técnicas Estatísticas de Discriminação
• Tecnologia da Informação
– EAD 657 – Tecnologia de Informação
– EAD 658 – Desenvolvimento de Sistemas de Informação
– EAD 753 - Sistemas de Informações Empresariais e Negócios Digitais
– EAD 750 – Tópicos Especiais de MQI
Disciplinas da área de Métodos Disciplinas da área de Métodos 
Quantitativos e Informática (EAD/FEA)Quantitativos e Informática (EAD/FEA)
Disciplinas da área de Métodos Disciplinas da área de Métodos 
Quantitativos e Informática (EAD/FEA)Quantitativos e Informática (EAD/FEA)
• Básicas
– MAT 103 – Complementos de Matemática
– MAE 116 – Noções de Estatística
– MAC 113 – Introdução à Computação
• Métodos Quantitativos Aplicados
– EAD 350 – Pesquisa Operacional
– EAD 659 – Análise de Decisão
– EAD 652 – Simulação
– EAD 655 – Métodos Estatísticos de Projeção
– EAD 351 – Técnicas Estatísticas de Agrupamento
– EAD0752 - Técnicas Estatísticas de Discriminação
• Tecnologia da Informação
– EAD 657 – Tecnologia de Informação
– EAD 658 – Desenvolvimento de Sistemas de Informação
– EAD 753 - Sistemas de Informações Empresariais e Negócios Digitais
– EAD 750 – Tópicos Especiais de MQI
Programa Programa –– EAD350EAD350Programa Programa –– EAD350EAD350
• Prof. Hiroo Takaoka
– Introdução à Pesquisa Operacional
– Programação Linear
– Programação Inteira / Binária
• Prof. Nicolau Reinhard
– Programação em Redes
– Redes Sociais
– Cadeias de Markov
– Redes de Petri
AvaliaçãoAvaliaçãoAvaliaçãoAvaliação
• Aplicação de provas:
– Provas P1 (Prof. Hiroo) e Prova Unificada (Prof. 
Nicolau)
• Atividades em Sala e Exercícios
• Parte 1 (Prof. Hiroo) – 50% da nota final
• Parte 2 (Prof. Nicolau) – 50% da nota final
• Parte 1 (Prof. Hiroo) – Prova 70%, Exercícios 30%
• Prova Unificada: matéria referente ao segundo 
bimestre 
• Prova Reaval: matéria referente a todo o semestre
• Não haverá prova substitutiva
BibliografiaBibliografiaBibliografiaBibliografia
• Hillier e Liberman, Introdução à Pesquisa Operacional 8ª. Ed, 
Bookman, 2010
• Taha, A. H, Pesquisa Operacional, Pearson, 8ª ed, Pearson, 2008
• Lachtermacher, Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões 4ª. 
Ed. Campus, 2009
• Vidal, Apostila de Modelos de Redes
• Hannemann, Social Networks (site)
• Waner, Finite Mathematics (site)
• Slides de aula e artigos disponibilizados no Erudito
• Moore, Jeffrey H. & Weatherford, Larry R., Tomada de Decisão 
em Administração com Planilhas Eletrônicas, Bookman, 2005
12
HirooHiroo TakaokaTakaokaHirooHiroo TakaokaTakaoka
• Doutor e Mestre em Administração de Empresas 
(FEA/USP)
• Engenheiro (POLI/USP)
• Administrador de Empresas (FEA/USP)
• Professor da FEA/USP (área Métodos Quantitativos e 
Informática)
– Graduação
– Pós-Graduação
• Professor visitante na Universidade de Kobe - Japão
• Experiência profissional como consultor da área de TI 
em órgãos públicos e empresas
• E-mail: takaoka@usp.br
Modelos em AdministraçãoModelos em AdministraçãoModelos em AdministraçãoModelos em Administração
• Um modelo é uma representação simplificada da 
realidade, com a finalidade de estudá-la, melhor 
compreendê-la e auxiliar a tomada de decisão. 
• Princípio de Occam: um modelo deve ser o mais 
simples possível dentro de seus objetivos e parâmetros 
de aceitabilidade, mas, não mais simples do que isso.
• Modelos Quantitativos
relacionam os diversos 
componentes/elementos do 
modelo a variáveis e 
quantidades numéricas.
Tipos de ModelosTipos de ModelosTipos de ModelosTipos de Modelos
Modelo Características Exemplos
Modelo
Físico
Modelo
Analógico
Modelo
Simbólico
Tangível
Compreensão: Fácil
Duplicação: Difícil
Modificação e Manipulação: Difícil
Abrangência de Uso: Pequena
Intangível
Compreensão: Difícil
Duplicação: Fácil
Modificação e Manipulação: Fácil
Abrangência de Uso: Grande
Intangível
Compreensão: Muito difícil
Duplicação: Muito fácil
Modificação e Manipulação: Muito fácil
Abrangência de Uso: Muito grande
Automóvel
Avião
Casa
Mapa
Gráfico de torta
Velocímetro
Modelo de
Simulação
Modelo Algébrico
ou Matemático
Planilha 
Processo de ModelagemProcesso de ModelagemProcesso de ModelagemProcesso de Modelagem
Modelo
Situação
Resultados
Decisões
Julgamento
Mundo
Simbólico
Mundo
Real
Análise
Intuição
Ab
st
ra
çã
o
In
te
rp
re
ta
çã
o
PROGRAMAÇÃO LINEARPROGRAMAÇÃO LINEARPROGRAMAÇÃO LINEARPROGRAMAÇÃO LINEAR
• A Programação Linear é um dos mais utilizados instrumentosno campo da Pesquisa Operacional.
• São passíveis de solução com o emprego de PL os problemas
que envolvem a alocação ótima de recursos finitos entre
atividades que competem entre si, com base em um critério
pré-determinado
• Na programação linear, todas as funções matemáticas
envolvidas são necessariamente lineares.
• Diversos tipos de problemas em Administração, Economia,
Contabilidade, Finanças e Logística podem ser modelados
para resolução com aplicação de Programação Linear, tais
como: mix de produção, decisões de investimento, fluxos de
caixa, orçamentos de capital, organização de transportes e
políticas de estoque.
• https://www.youtube.com/watch?v=0n-o8B1hoN4
Elaboração de Modelos de PLElaboração de Modelos de PLElaboração de Modelos de PLElaboração de Modelos de PL
• Definição do Problema e Objetivos da Solução de PL
• Formulação Matemática do Modelo
– Variáveis de Decisão (x1, x2, .... , xn)
– Parâmetros (c1, c2, ..., cn) ; (ai1, ai2, ..., ain); (b1, b2, ..., bn)
– Função Objetivo Z = f(x1, x2, ...xn) => máx, min
• Por exemplo: máx Z = c1 x1+ c2 x2, ..., + cnxn
– Restrições gi(x1, x2, ...xn) <= ou = ou >= bi
• Por exemplo: ai1 x1+ ai2 x2, ..., + ainxn <= bi 
• Desenvolvimento do Procedimento Computacional 
(programa/planilha)
• Teste do Modelo / Análise de Sensibilidade
• Uso do modelo para a tomada de decisão
Estrutura Típica de um Modelo de Estrutura Típica de um Modelo de 
Programação Linear (PL)Programação Linear (PL)
Estrutura Típica de um Modelo de Estrutura Típica de um Modelo de 
Programação Linear (PL)Programação Linear (PL)
Z = c1x1+...+cjxj+...+cnxn
bi
xj  0 
Max
ou
Min
Função
Objetivo
Restrições

=

ai1x1+ ai2x2+...+ainxn
onde xj são variáveis de decisão
cj e aij são parametros
com j=1, ... , n e i=1, ... , m
VARIÁVEIS DE DECISÃOVARIÁVEIS DE DECISÃOVARIÁVEIS DE DECISÃOVARIÁVEIS DE DECISÃO
– Informações esperadas como resultado de um
determinado modelo.
– Exemplo:
• Mix de Produção (quantidade a ser produzida de cada produto)
• Valor investido em cada uma de diversas opções de investimento
(carteira de investimentos)
• Sequência de tarefas das máquinas (em que ordem serão
produzidos determinados produtos)
• Sequência de atividades a serem realizadas em um projeto
PARÂMETROS DOS MODELOSPARÂMETROS DOS MODELOSPARÂMETROS DOS MODELOSPARÂMETROS DOS MODELOS
– Todos os dados conhecidos do processo, utilizados 
como valores de entrada do modelo.
– Exemplo:
• Custo de produção por unidade fabricada
• Lucro ou Receita por unidade vendida
• Custo estimado de cada estratégia de marketing
• Taxa de Retorno e Taxa de Risco de cada investimento
• Tempo médio de processamento de cada tarefa em cada 
máquina
FUNÇÃO OBJETIVOFUNÇÃO OBJETIVOFUNÇÃO OBJETIVOFUNÇÃO OBJETIVO
– Uma medida de desempenho global do problema que
traduza os diversos objetivos propostos em uma só
expressão matemática.
– Exemplo:
• Tempo total de Produção (minimizar);
• Receita Total (maximizar);
• Impacto nas Vendas (maximizar); custo total (minimizar);
lucro total (maximizar)
RESTRIÇÕESRESTRIÇÕESRESTRIÇÕESRESTRIÇÕES
– Estabelecem condicionantes entre as variáveis de
decisão e a dinâmica do sistema, indicando as
limitações físicas e operacionais do processo analisado.
– Exemplo:
• Capacidade de produção das máquinas
• Estoque e mão-de-obra disponíveis
• Demanda prevista ou demanda máxima
• Limite de crédito dos clientes
• Taxa de retorno exigida
• Taxa de risco aceitável
Problema...Problema...Problema...Problema...
• Vocês foram contratados pela Wyndor Glass 
Company para auxiliá-los em um problema de 
tomada de decisão.
• A empresa produz diversos produtos que 
utilizam armações de metal e madeira e vidro.
• A empresa pretende lançar dois novos 
produtos e assim ocupar sua capacidade de 
produção ociosa.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co. Co. Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co. Co. 
• A Wyndor Glass Co. fabrica portas e janelas de vidro.
• A empresa irá produzir dois novos produtos:
– Produto 1: Porta de Vidro com esquadrias de alumínio
– Produto 2: Janela de Vidro com esquadrias de madeira
Produto 2Produto 1
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
• A empresa quer decidir sobre o mix de 
produção dos novos produtos:
– Quantidade a ser fabricada do Produto 1: 
Porta de Vidro com esquadrias de alumínio
– Quantidade a ser Fabricada do Produto 2: 
Janela de Vidro com esquadrias de madeira
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co. Co. Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co. Co. 
• O objetivo a ser adotado é identificar o mix
que traga o maior lucro possível 
considerando as restrições impostas. 
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co. Co. Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co. Co. 
• A Wyndor Glass Co. possui três fábricas. A 
gerência de produção informou que as 
esquadrias de alumínio são feitas na fábrica 1, 
as esquadrias de madeira na fábrica 2 e na 
fábrica 3 é fabricado o vidro e feita a 
montagem.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
• A empresa ainda levantou as seguintes 
informações, necessárias para compor o 
modelo.
 Quantidade de horas consumida por lote de 
produto em cada fábrica (lotes de 20 unidades)
 Horas de produção disponíveis em cada fábrica 
para esses novos produtos
 Lucro por lote produzido de cada produto.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
• A divisão de marketing concluiu que a empresa 
poderia vender tanto quanto fosse possível 
produzir desses produtos.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
• A equipe de Pesquisa Operacional organizou as 
informações levantadas na seguinte tabela:
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
FábricaFábrica
Tempo de Produção por LoteTempo de Produção por Lote
(horas)(horas)
Tempo de Tempo de 
Produção Produção 
Disponível por Disponível por 
SemanaSemanaProduto 1Produto 1 Produto 2Produto 2
11 11 00 44
22 00 22 1212
33 33 22 1818
Lucro por Lucro por 
LoteLote
(US$1.000)(US$1.000)
33 55
Estrutura de um Modelo de PLEstrutura de um Modelo de PLEstrutura de um Modelo de PLEstrutura de um Modelo de PL
Relação
matemática
Fatores
Incontroláveis
Parâmetros
Restrições
Variáveis
de decisão 
Variáveis
de resultado
Estrutura Típica de um Modelo de Estrutura Típica de um Modelo de 
Programação Linear (PL)Programação Linear (PL)
Estrutura Típica de um Modelo de Estrutura Típica de um Modelo de 
Programação Linear (PL)Programação Linear (PL)
Z = c1x1+...+cjxj+...+cnxn
bi
xj  0 
onde xj são variáveis de decisão
cj e aij são parâmetros 
com j=1, ... , n e i=1, ... , m
Max
ou
Min
Função
Objetivo
Restrições

=

ai1x1+ ai2x2+...+ainxn
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
Quanto produzir?
x1 (produto 1)
x2 (produto 2)
Variáveis de decisão
Lucro = 3x1+5x2
Variáveis de resultado
Max Lucro Funçãoobjetiva
Sujeito a
1x1 + 0x2 < 4
0x1 +2x2 < 12
3x1 + 2x2 < 18
x1 , x2 > 0
Restrição
Relação matemática
3 e 5 (lucros)
4 (limitação de tempo fábrica 1)
12 (limitação de tempo fábrica 2)
18 (limitação de tempo fábrica 3) 
Fatores incontroláveis1 (tempo produção de produto 1 na fábrica 1)
3 (tempo produção de produto 1 na fábrica 3)
2 (tempo produção de produto 2 na fábrica 2)
2 (tempo produção de produto 2 na fábrica 3)
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Modelo Matemático
Função Objetivo
Max Z (lucro)= 3X1 + 5X2
Sujeito a (restrições):
1X1 + 0X2 <= 4
0X1 + 2X2 <= 12
3X1 + 2X2 <=18
X1, X2 >= 0
FábricaFábrica
Tempo de Produção por LoteTempo de Produção por Lote
(horas)(horas)
Tempo de Tempo de 
Produção Produção 
Disponível por Disponível por 
SemanaSemanaProduto 1Produto 1 Produto 2Produto 2
11 11 00 44
22 00 22 1212
33 33 22 1818
Lucro por Lucro por 
LoteLote
(US$1.000)(US$1.000)
33 55
Variáveis Decisórias
X1- Quantidade de Produto 1
X2- Quantidade de Produto 2
         










 
 
41 X
122 2 X
X2
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
X1
1823 21  XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
Ponto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 6 30
C 2 6 36
D 4 3 27
E 4 0 12
X1 X2
0 9
6 0
Conjunto de 
soluções viáveis: 
Polígono 
ABCDE
A solução ótima 
ao problema 
está em um dos 
pontos 
extremos do 
conjunto de 
soluções viáveis. 
Z = 3X1 + 5X2
         










 
 
41 X
122 2 X
X2
Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.Exemplo 1 Exemplo 1 -- WyndorWyndor GlassGlass Co.Co.
X1
1823 21  XX
A
B C
D
E
(Fábrica 1)
(Fábrica 2)
(Fábrica 3)
15Z
21 5315 XX 
Ponto X1 X2 Z
A 0 0 0
B 0 6 30
C 2 6 36
D 4 3 27
E 4 0 12
36Z
21 5336 XX 
Identificar 
graficamente o 
ponto ótimo. 
Z = 3X1 + 5X2
A Cia de Seguros Primo está introduzindo duas novas linhas de produtos: 
seguros de risco especial e hipotecas. O lucro esperado é de US$ 5,0 por 
unidade em seguro de risco especial e US$ 2 por unidade nas hipotecas. A 
direção quer estabelecer as cotas de vendas para as novas linhas de produtos 
de modo a maximizar o lucro total esperado. As exigências, em termos de 
trabalho são as seguintes:
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Exercício em SalaExercício em SalaExercício em SalaExercício em Sala
(Hillier e Lieberman, 2010) 
DepartamentoDepartamento
Horas TrabalhadasHoras Trabalhadas
por Unidadepor Unidade
Horas de Trabalho Horas de Trabalho 
Disponíveis por MêsDisponíveis por MêsSeguroSeguro
Risco Risco 
EspecialEspecial
SeguroSeguro
HipotecaHipoteca
SubscriçãoSubscrição 33 22 24002400
AdministraçãoAdministração 00 11 800800
Pedido de Pedido de 
IndenizaçãoIndenização 22 00 12001200
Exercício em SalaExercício em SalaExercício em SalaExercício em Sala
(A)
Max Z = 2x1 + x2
sujeito a
-1x1 + 1x2 < 1
1x1 < 3
1x2 < 2
x1 , x2 > 0
Resolver graficamente, os seguintes problemas
(B)
Max Z = 2x1 + 1x2
sujeito a
-2x1 + 1x2 < 2
2x1 + 1x2 < 4
x1 , x2 > 0
(C)
Max Z = 1x2
sujeito a
-1x1 + 1x2 < 1
1x2 > 2
x1 , x2 > 0
(D)
Min Z = 2x1 + 1x2
sujeito a
1x1 < 1
1x2 < 2
1x1 - 1x2 > 2
x1 , x2 > 0
(E)
Max Z = 2x1 + 
1x2
sujeito a
1x1 < 3
1x2 < 2
1x1 - 1x2 > 1
x1 , x2 > 0
(F)
Min Z = 1x1
sujeito a
-1x1 + 1x2 < 2
1x2 < 5
x1 , x2 > 0
(G)
Max Z = 1x1 + 2x2
sujeito a
1x1 - 1x2 < 0
3x1 + 3x2 < 6
x1 , x2 > 0
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício B para 02/03/15Exercício B para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício B para 02/03/15Exercício B para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
Um fabricante deseja maximizar a receita bruta de vendas de ligas de metal. 
A tabela abaixo ilustra o consumo de matéria prima por unidade de liga, seus 
preços de venda e as disponibilidades de matéria-prima.
Itens/
Atividades
Liga
tipo A
Liga
tipo B
Matéria prima
disponível
Cobre 2 1 16
Zinco 1 2 11
Chumbo 1 3 15
Preço unitário
de venda R$30 R$50
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício B para 02/03/15Exercício B para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício B para 02/03/15Exercício B para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando , no início da aula, apresentando 
os cálculos realizados (os cálculos realizados (exercício exercício individual) individual) 
• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores, com base em 
duas matérias primas (M1 e M2), de acordo com a tabela abaixo
• Uma pesquisa de mercado indica que a oferta máxima diária de tinta 
para interiores não pode ultrapassar a de tinta para exteriores em mais 
de uma tonelada (1t)
• A demanda máxima de tinta para interiores é 2 toneladas (2 t)
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico. (TAHA, 2008)
Matéria PrimaMatéria Prima
Consumo de Matéria PrimaConsumo de Matéria Prima
por Tonelada de Tinta por Tonelada de Tinta 
Disponibilidade Disponibilidade 
Diária de Matéria Diária de Matéria 
Prima por DiaPrima por Dia
(Tonelada)(Tonelada)
Tinta paraTinta para
ExterioresExteriores
Tinta paraTinta para
InterioresInteriores
M1M1 66 44 2424
M2M2 11 22 66
Lucro por Lucro por 
ToneladaTonelada 55 44
Edmundo adora bifes e batatas. Assim, decidiu entrar em dieta regular 
usando somente esses alimentos. Ele percebe que essa não é a dieta mais 
saudável e, portanto, quer certificar-se de que se alimenta das quantidades 
certas desses dois tipos de alimentos, a fim de atender a determinados 
requisitos nutricionais. Ele obteve as seguintes informações nutricionais e de 
custos, e quer determinar o número de porções diárias de cada alimento 
(podem ser fracionários) que atenderá a essas exigências a um custo mínimo.
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
(Hillier e Lieberman, 2010) 
Atividade 1 Atividade 1 –– Exercício C para 02/03/15Exercício C para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
Atividade 1 Atividade 1 –– Exercício C para 02/03/15Exercício C para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
IngredienteIngrediente
Ingredientes por Grama em Ingredientes por Grama em 
cada Porçãocada Porção Exigências DiáriasExigências Diárias
(Gramas)(Gramas)
Bife Bife BatataBatata
CarboidratosCarboidratos 55 1515 >> 5050
ProteínasProteínas 2020 55 >> 4040
GorduraGordura 1515 22 << 6060
Custo por Custo por 
PorçãoPorção US$4US$4 US$2US$2
• A Ozark Farm usa no mínimo 800 quilos de ração especial por dia. 
Essa ração é uma mistura de dois componentes, milho esoja, com 
as composições nutricionais apresentadas na tabela abaixo
• Os requisitos nutricionais da ração exigem que sua composição 
possua no mínimo 30% de proteína e no máximo 5% de fibra.
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
B) Resolva o problema pelo método gráfico.
(TAHA, 2008)
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício D para 02/03/15Exercício D para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
Atividade 1 Atividade 1 -- Exercício D para 02/03/15Exercício D para 02/03/15
Entregar Entregar em papelem papel, no início da aula, apresentando os , no início da aula, apresentando os 
cálculos realizados (exercício individual) cálculos realizados (exercício individual) 
ComponenteComponente
Composição por QuiloComposição por Quilo
de Componentede Componente Custo por QuiloCusto por Quilo
($)($)
ProteínaProteína FibraFibra
MilhoMilho 9%9% 2%2% 0,30,3
SojaSoja 60%60% 6%6% 0,90,9