Aula 4 Pesquisa Operacional

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EAD 350EAD 350
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
Aula 04Aula 04
Prof. Hiroo Takaoka
takaoka@usp.br
FEA/USP
Programação da Produção Programação da Produção –– Usando ExcelUsando ExcelProgramação da Produção Programação da Produção –– Usando ExcelUsando Excel
Max Z = 24x1 + 32x2
xj0 j=1, 2
Função Objetivo
Restrições
(1) 3x1 + 1x2  80
Horas por semana 
para polimento
Horas por semana 
para pintura
Variáveis Decisórias
(2) 1x1 + 4x2  20
x1: quantidade a ser produzida de Standard por semana
x2: quantidade a ser produzida de Luxo por semana
Planilha Planilha Planilha Planilha 
Coeficientes de
restrições 
Totais de recursos
necessários
Totais de recursos
disponíveis
Valor
ótimo
Coeficientes da 
função objetiva
Variáveis
decisórias
FórmulasFórmulasFórmulasFórmulas
Coeficientes de
restrições 
Totais de recursos
necessários
Totais de recursos
disponíveis
Valor
ótimo
Coeficientes da 
função objetiva
Variáveis
decisórias
Função SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTO
Função
Multiplica os componentes correspondentes nas 
matrizes fornecidas e retorna a soma destes produtos.
Sintaxe
SOMARPRODUTO(matriz1;matriz2)
Comentários
Os argumentos da matriz devem ter a mesma 
dimensão. Se não tiverem, SOMARPRODUTO 
fornecerá o valor de erro #VALOR!. 
SOMARPRODUTO trata as entradas da matriz não 
numéricas como se fossem zeros. 
Função SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTOFunção SOMARPRODUTO
• Exemplo
=B3*B4+C3*C4
=$B$3*B6+$C$3*C6
=$B$3*B7+$C$3*C7
Parâmetros do SolverParâmetros do SolverParâmetros do SolverParâmetros do Solver
Função objetiva
Max ou Min
Variáveis de decisão
Restrições
Botão de opções
Parâmetros do Solver Parâmetros do Solver -- RestriçõesRestriçõesParâmetros do Solver Parâmetros do Solver -- RestriçõesRestrições
Valor do Lado Esquerdo (LE) Valor do Lado Direito (LD)
Opções do SolverOpções do SolverOpções do SolverOpções do Solver
Resultados do SolverResultados do SolverResultados do SolverResultados do Solver
Valor ótimoVariáveis decisórias
Relatório de SensibilidadeRelatório de SensibilidadeRelatório de SensibilidadeRelatório de Sensibilidade
Forma de Entrega do TrabalhoForma de Entrega do Trabalho
O trabalho deverá ser entregue via opção entrega de 
trabalho do ERUDITO.
Não esquecer de colocar no campo de AUTORES DO 
TRABALHO as identificações (número USP e nome) 
completas dos componentes do grupo.
Observações:
Não utilizar caracteres especiais (~, &, %, etc.) no nome 
do seu arquivo.
Uma empresa de engenharia está considerando o tempo disponível 
de máquinas para a produção de três produtos:
1, 2 e 3. As horas requeridas para cada unidade de produto
e o tempo disponível em uma semana por máquina são:
Máquina 1 2 3
Tempo
horas/semana
Produto
A 4 h 1 h 1,5 h 100 h
B 2 h 1,5 h - 50 h
C 1 h - 0,5 h 25 h
Os produtos 1 e 2 podem ser vendidos em qualquer quantidade,
mas o produto 3 pode ser vendido até no máximo 10 unidades
por semana. O lucro unitário é de R$10, R$3 e R$4 para os produtos 1, 2 
e 3 respectivamente. Qual será o mix de produtos que a empresa deve 
fabricar para obter o lucro máximo?
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Sabe-se que os alimentos, leite, carne e ovo fornecem
as quantidades de vitaminas dadas abaixo:
Vitamina Leite (l) Carne (kg) Ovo (dz) Quantidadediária mínima
A 0,25mg 2,00mg 10,00mg 1,00mg
C 25,00mg 20,00mg 10,00mg 50,00mg
D 2,50mg 200,00mg 10,00mg 10,00mg
Custo
unitário R$2,20/l R$17,00/kg R$4,20/dz
Deseja-se calcular quais as quantidades de leite, carne e
ovo, a fim de satisfazer as quantidades diárias mínimas
de vitaminas a um custo mínimo.
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
• A Ozark Farm usa no mínimo 800 quilos de ração especial por dia. 
Essa ração é uma mistura de dois componentes, milho e soja, com 
as composições nutricionais apresentadas na tabela abaixo
• Os requisitos nutricionais da ração exigem que sua composição 
possua no mínimo 30% de proteína e no máximo 5% de fibra.
A) Formule o modelo matemático de PL para esse problema
(TAHA, 2008)
ComponenteComponente
Composição por QuiloComposição por Quilo
de Componentede Componente Custo por QuiloCusto por Quilo
($)($)
ProteínaProteína FibraFibra
MilhoMilho 9%9% 2%2% 0,30,3
SojaSoja 60%60% 6%6% 0,90,9
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
A empresa Alfa está envolvida na preparação de medicamentos sofisticados que 
requerem o emprego de técnicos especializados. A empresa trabalha em turnos de 
oito horas cada, mas para haver continuidade no trabalho, a cada quatro horas, os 
técnicos são adicionados para trabalhar com as pessoas que já tenham 
completado quatro horas. Um técnico deve trabalhar continuamente por oito 
horas. Considerando o quadro abaixo, encontre o programa que minimiza a mão 
de obra a ser utilizada pela empresa.
Período do dia Número mínimo necessário de 
técnicos
02:00 às 06:00h 10
06:00 às 10:00h 25
10:00 às 14:00h 40
14:00 às 18:00h 50
18:00 às 22:00h 20
22:00 às 02:00h 15
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Problema de Escala
Período 2h 6h 10h 14h 18h 22h
1
2
3
4
5
6
Numero mínimo
de técnicos 10 25 40 50 20 15
X1
X2
X3
X4
X5
X6X6
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJE HOJE –– Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou Trios Duplas ou Trios 
Problema de Escala
Min Z = 1x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 1x5 + 1x6 
Sujeito a
x1 + x6 > 10
x1 + x2 > 25
x2 + x3 > 40
x3 + x4 > 50
x4 + x5 > 20
x5 + x6 > 15
xij > 1
Função Objetivo
Número mínimo necessário 
de técnicos
Pelo menos um técnico por período
Problema de Problema de Escala Escala –– Modelo de PLModelo de PLProblema de Problema de Escala Escala –– Modelo de PLModelo de PL
Exercício em Sala Exercício em Sala -- AdministraçãoAdministraçãoExercício em Sala Exercício em Sala -- AdministraçãoAdministração
Problema de Problema de Escala Escala –– ModeloModelo em Excel em Excel Problema de Problema de Escala Escala –– ModeloModelo em Excel em Excel 
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJEHOJE ––Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou TriosDuplas ou Trios
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJEHOJE ––Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou TriosDuplas ou Trios
Transportar mercadorias de n fábricas aos m depósitos a custo mínimo, dados:
ai - capacidade de produção da fábrica i
bj - demanda do depósito j
xij - quantidade a ser transportada da fábrica i para o depósito j
cij - custo unitário de transporte i  j
1
n
i
1
j
m
Fábrica Depósito
Oferta Demanda
Problemade Transporte
• Transportar mercadorias das três fábricas (A, B e C) para os 
quatro depósitos (1, 2, 3 e 4) a custo mínimo.
Custo de transporte de uma unidade de mercadoria de uma origem a um destino
De/Para 1 2 3 4
A 120,00 130,00 41,00 62,00
B 61,00 40,00 100,00 110,00
C 102,50 90,00 122,00 42,00
De/Para 1 2 3 4
A xA1 xA2 xA3 xA4
B xB1 xB2 xB3 xB4
C xC1 xC2 xC3 xC4
Oferta
500
700
800
Demanda 400 900 200 500 2000
xij - quantidade a ser transportada da fábrica i (i = A, B, C) para o depósito j (j = 1, 2, 3, 4)
Problema de TransporteProblema de TransporteProblema de TransporteProblema de Transporte
Min Z = 120xA1 + 130xA2 + 41xA3 + 62xA4
+ 61xB1 + 40xB2 + 100xB3 + 110xB4
+ 102,5xC1 + 90xC2 + 122xC3 + 42xC4
Sujeito a
xA1 + xA2 + xA3 + xA4 = 500
xB1 + xB2 + xB3 + xB4 = 700
xC1 + xC2 + xC3 + xC4 = 800
xA1 + xB1 + xC1 = 400
xA2 + xB2 + xC2 = 900
xA3 + xB3 + xC3 = 200
xA4 + xB4 + xC4 = 500
xij > 0
Função Objetivo
Oferta
Demanda
Problema de Transporte Problema de Transporte –– Modelo de PLModelo de PLProblema de Transporte Problema de Transporte –– Modelo de PLModelo de PL
Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 11Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 11
Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22
Variáveis
decisórias
Valor ótimo
Custos 
unitários 
Restrições
Custos de transporte 
Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22
Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22
Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22Problema de Transporte Problema de Transporte –– ModeloModelo em Excel em Excel –– 22
Variáveis
decisórias
Valor ótimo
Custos 
unitários 
Restrições
Custos de transporte 
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJEHOJE ––Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou TriosDuplas ou Trios
Resolver em Excel Resolver em Excel HOJEHOJE ––Entregar pelo Entregar pelo 
Erudito Erudito –– Duplas ou TriosDuplas ou Trios
Armazém A Armazém B Armazém C Armazém D
Local I 17 20 13 12
Local II 15 21 26 25
Local III 15 14 15 17
Uma empresa tem fábrica nos locais I, II e III, que abastecem 
armazéns situados em A, B, C e D. As capacidades mensais das 
fábricas são 70, 80 e 115, respectivamente. As necessidades dos 
armazéns (mensalmente) são: 50, 60, 70 e 95, respectivamente. Os 
custos unitários de transporte são os seguintes:
Indicar o plano de transporte que minimize o custo total 
de distribuição para a empresa.