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C ít l 2 C ít l 2 E táti d Fl idE táti d Fl idCapítulo 2 Capítulo 2 –– Estática dos FluidosEstática dos Fluidos
2 1 A experiência de Torricelli2 1 A experiência de Torricelli2.1 A experiência de Torricelli2.1 A experiência de Torricelli
► A descoberta do princípio do ► o o p p o o
barômetro ("tubo de Torricelli", 
"vácuo de Torricelli") aconteceu 
 1643 em 1643. 
► Evangelista Torricelli (1608 -
1647) físico e matemático ita-
liano (foi aluno de Galileu).
► Foi homenageado com a unidade 
de pressão torricelli (símbolo torr).
1
A experiênciaA experiência
2
P e ão t o fé i o lPressão atmosférica normal
► Consideramos a pressão atmosférica normal, quando elap , q
é capaz de equilibrar uma coluna de mercúrio de 76cm de
altura. Representamos, simbolicamente,
1 atm = 76 cm Hg = 1,013 x 105 Pa, ou aproximadamente: 1
atm  105 Pa  0,1 MPa.
► Propriedades da Atmosfera padrão Americana ao nível do
mar,
Temperatura, T 288,15 K (15 oC)
Pressão, p 101,33 kPa (abs)*
Massa específica, ρ 1,225 kg/m3
Peso específico, γ = ρ g 12,014 N/m3
3
Viscosidade dinâmica, μ 1,789 x 10-5 Ns/m2
2 2 V i ão de P e ão Lí ido e e o o 2.2 Variação de Pressão num Líquido em repouso 
(versão simplificada)
hpp  01 )(
►► Nos casos nos quais a
hipótese do peso específico
constante é considerada àrelativapressãoaéhonde
hpp

01
)(
)(
constante é considerada
(líquidos) temos:
éIstoLíquidodohcoluna
daatmosferalíquidointerface 
,.,,
m
e
A
gm
h fluido  ,)(
Logo
AhVm
V
m  
,
h
eghh   ,)(
4
ghpp  01
ExercícioExercício
1) Os batiscafos são utilizados para mergulhos profundos no
oceano Qual a pressão no batiscafo se a profundidade deoceano. Qual a pressão no batiscafo se a profundidade de
mergulho é 6 km? Admita que o peso específico da água do
mar é constante e igual a 10,1 kN/m3.
5
Solução
ébatiscafoosobreáguadekmaosdevidopressãoA ,6
NmNhp á 1066010610110
333  
m
m
m
hp marágua 106,60106101,10 23 
valevezsuaporabsolutapressãoA ,,,
m
NkPappabsp atm 106,603,101)( 2
3
kPaabsp 3,60701)( 
Ponderações
Variações de pressão de um fluido em repouso ou emVariações de pressão de um fluido em repouso ou em
movimento (versão moderada).
► Com o tratamento matemático adequado mostra se que:► Com o tratamento matemático adequado, mostra-se que:
1. Para um fluido em repouso, ou em movimento, no qual
a tensão de cisalhamento é nula, tem-se que a pressão
independe da direção, já que ela é o resultado do
bombardeamento das moléculas do fluido, como vimos no
í l ( i d l)capítulo 1 (Lei de Pascal).
7
2. A pressão ao longo de um plano paralelo à interface
líquido-atmosfera é constante.
CBA ppp 
►Os pontos A, B e C são ditos isóbaros.
8
p ,
► Vasos comunicantes.
► Constatação experimental.
9
3. O Gradiente de pressão é:3. O Gradiente de pressão é:
  poukpjpipp k
Isto significa que em um fluido em repouso ou em
  zoukzjyixp k
Isto significa que em um fluido em repouso ou em
movimento, no qual a tensão de cisalhamento seja
inexistente, a pressão aumenta no sentido oposto ao
determinado pelo eixo-z (Isto é, no mesmo sentido dadeterminado pelo eixo z (Isto é, no mesmo sentido da
gravidade e devido ao peso da massa de fluido sobre o
ponto considerado).
Como vimos no slide 4,
isto independe da área
da superfície ao redor do
ponto considerado.
10
► Daí, integrando a última equação:
dpp
dz
p
z
p  
dpdz
dz
dpqueLembrandodzdz
dz
dp 

  
)(
2 2
constanteSupondoddp
p z   )(
1 1
constanteSupondodzdp
p z
  
)()(
:
12211212 zzhhppouzzpp
Logo
 
11
12211212
► Se p2 estiver na interface líquido-atmosfera, então, p2 =
p0, e
01
ou
hpp 
)(01 gghpp  
► A quantidade 
21 pph 
é chamada de carga e é interpretada como a altura do
coluna de fluido de peso específico  necessária para
provocar uma diferença de pressão p1 – p2provocar uma diferença de pressão p1 p2.
► Existe uma prova matemática mais abrangente no livro
t t (Y )
12
texto (Young).
Exercício
2. A Figura abaixo mostra o efeito da infiltração de água em
um tanque subterrâneo de gasolina. Se a densidade da
gasolina é 0,68; determine a pressão na interface gasolina-g , ; p g
água e no fundo do tanque.
13
Soluçãoç
éPpontooestáondeáguagasolinainterfacenapressãoA 
ou
hpp gasolina0  
ghpp gasolina0  
m
kgSGladooutroPor gasolina
Cágua
gasolina
o
680100068,0, 3
4
 

Nk
Daí ,
m
NkPa
s
mm
m
kgkPap 10354,333,10181,956803,101 2
3
23 
14
kPakPakPap 654,134354,333,101 
Pressão no fundo do tanque
Ptãálii t fãÉ )(
águademdecolunaadevidapressãoàsomada
PpontonopressãoaáguagasolinainterfacenapressãoaÉ
.1
)(
ou
hpp águafundo  
ghpp águafundo  
m
s
m
m
kgkPap fundo 181,91000654,134 23
kPap fundo 464,144
15
Algumas aplicações do Princípio de Pascal
“Todo“Todo acréscimoacréscimo dede pressãopressão exercidoexercido numnum pontoponto dada massamassaTodoTodo acréscimoacréscimo dede pressãopressão exercidoexercido numnum pontoponto dada massamassa
líquidalíquida sese transmitetransmite integralmenteintegralmente parapara todostodos osos pontospontos dodo
líquidolíquido..””
p
ppA 
ppB 
16
► Aplicações► Aplicações
► Consideremos dois cilindros 
contendo um líquido e fechados contendo um líquido e fechados 
por êmbolos de áreas A1 e A2.
► Aplicando-se sobre o êmbolo► Aplicando se sobre o êmbolo
de área A1 uma força F1, 
► Produz-se um acréscimo de ► Produz se um acréscimo de 
pressão
∆p = F1 / A1∆p F1 / A1
que se transmite integralmente para o outro êmbolo, o que 
acarretaacarreta
∆p = F2 / A2
17ou seja, as forças são proporcionais às áreas.
Exercício
Considere o esquema mostrado na figura em que a massa do
automóvel é de 1500 kg, A1 = 0,5 m2 e A2 =
2 i f d li d à á7 m2. Determine a força que deve ser aplicada à área A1 para
manter o sistema em equilíbrio.
18
Pressão no fundo do tanque
F
dánosPascaldeprincípiododiretaaplicaçãoA ,

A
F
A
F
Fp
A
Fp
2
2
1
1
2
1
1






A
p 21
2
2


NF
A
AFLogo 14,107)81,91500(
7
5,0, 2
2
1
1 
kgdemassaumadepesoaoecorrespondNqueNotemos 14,1077,1051
19
2 4 Fluido compressíveis (gases) em repouso ou2.4 Fluido compressíveis (gases) em repouso ou
movimento
► Admitindo que as tensões de cisalhamento sejam nulas
também nesse caso.
► Para os gases ideais: p = ρRT. Então,
pgp


quevemdpemdosubstituinLogo
RT
pgg
RT
p




,.
,,
Integrandopgdp
quevem
dz
emdosubstituinLogo 
    2 22 2 )()(
,.
p zp z
zTTse
T
dz
R
gdpoudz
RT
gdp
Integrando
RTdz
20
  
11 )(p zp z zTRpRTp
► Admitindo que a temperatura não varie em função de z.
Isto equivale a considerar que a pressão varia em função
de z em uma camada isotérmica do gás perfeito. Temos,
  dzRTgpdp
p
p
z
z
2 2




 
zz
RT
gp
RTpp z
)(ln 122
1 1

Logo
RTp
,
)( 12
1


 
RT
zzgpp )(exp 1212
► Para distribuições de pressões em camadas não
isotérmicas, o procedimento é o mesmo.
21
2 5 Medições de pressão2.5 Medições de pressão
► Manometria: Corresponde às técnicas de construção de
instrumentos para medir a pressão bem como as técnicasinstrumentos para medir a pressão, bem como as técnicas
aplicadas às medidas.
ã é i ÉÉ difdif ãã► Pressão Manométrica: ÉÉ aa diferençadiferença entreentre aa pressãopressãoemem
umum locallocal ee aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..
Exemplo
• AbrindoAbrindo oo registro,registro, oo COCO22 escapaescapa dodo inteinte--
riorrior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressãoriorrior dodo cilindrocilindro enquantoenquanto aa suasua pressãopressão
forfor maiormaior queque aa pressãopressão atmosféricaatmosférica..
• Quando as pressões se igualam, o fluxo CO2
5 atmcessa.
• AA pressãopressão utilizadautilizada dodo COCO22 éé aa suasua
pressãopressão manométrica,manométrica, ppmm == pp –– ppatmatm
5 atm
pp ,, ppmm pp ppatmatm
►Manômetros: São dispositivos utilizados para medir
a pressão manométrica.a pressão manométrica.
23
► Barômetro de Mercúrio
php   vaporHgatm php  
24
► Tubo Piezométrico
1ppA 
relativaPressão
11hpA 
hpp
absolutaPressão
 11hpp atmA 
25
ExercícioExercício
O tubo em U mostrado na figura abaixo contém três líquidos
distintos Óleo água e um fluido desconhecido Determine adistintos. Óleo, água e um fluido desconhecido. Determine a
densidade do fluido desconhecido considerando as condições
operacionais indicadas na figura.
26
Solução
1
11
710305305710
:
mmhquemostraladoaofiguraA
hpTemos óleo


1
1
71,0 mhou
qf g

2
3221
405305710
,
mmhquemostraladoaofiguraA
hhppladooutroPor água 


32 305,0305405,0
D í
mmmhemhou 
321
,
entãogComo
hhh
quevemDaí
águaóleo




321321
,,
hhhghghgh
entãogComo
águaóleoáguaóleo 



27
Solução
, 321  porhhhequaçãoadividirvamosAgora águaáguaóleo 
321  hhh
águaágua
óleo




 DaíSGdefiniçãoporMas
águaágua
 ,.,,  DaíSGdefiniçãoporMas
água
4050710900
321 
hhSG
SGhhhSGóleo
77,0
305,0
405,071,090,0,
3
21


SG
h
hhSGSGfimPor óleo
28
77,0SG
► Manômetro com Tubo em U► Manômetro com Tubo em U
A ppTemos  1:
A hpp
emrelativaPressão
 112
)2(
A
h
éemrelativapressãoaeppMas
pp
 32
112
)3(,

Daí
hp  223
,

AA
éAb lãA
hhpouhhp  11222211
,

► S f á i i t h 0
atmA phhp
éAemabsolutapressãoA
 1122
,

29
► Se for um gás no recipiente: γ1h1 = 0.
ExercícioExercício
O tanque fechado mostrado na Figura abaixo contém ar
comprimido e um óleo que apresenta densidade 0 9 O fluidocomprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluido
manométrico utilizado no manômetro em U, conectado ao
tanque, é mercúrio (densidade igual a 13,6). Se h1 = 914 mm,
h = 152 mm e h = 229 mm determine a leitura noh2 = 152 mm e h3 = 229, mm determine a leitura no
manômetro localizado no topo do tanque.
30
Solução
211
21
)(
:
hhpp
ppTemos
óleoAR 

 mkgSG
e
HgHg /1360010006,136,13
:
3 
32
211 )(
hp
pp
Hg
óleoAR
 

mkggHgHg /133416
3 
,Logo
p
Logo
AR )152,0914,0(8829229,0133416
,

213
321
)(
)(
hhhp
hhhp
óleoHgAR
HgóleoAR




kPap
p
AR
AR
6,21140
),,(,

1000900900
:
SG
Como

3/900
100090,090,0
mkg
SG
óleo
óleoóleo




31
► Manômetro diferencial em U
111112
1
hphpp
pp
A
A
 

33223
32
phhp
pp
B 

5
,
,,
Logo
ppaindae B
332211
,Portanto
phhhp BA  
113322 hhhpp BA  
32
ExercícioExercício
A Figura abaixo mostra o esboço de um dispositivo utilizado para
medir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap.medir a vazão em volume em tubos, Q, que será apresentado no cap.
3. O bocal convergente cria uma queda de pressão pA – pB no
escoamento que está relacionada com a vazão em volume através da
equação Q = K(pA – pB)1/2 (onde K é uma constante que é função das
di õ d b l d t b ) A d d ã l t édimensões do bocal e do tubo). A queda de pressão, normalmente, é
medida com um manômetro diferencial em U, do tipo ilustrado na
figura.
(a) Determine a equação p – p(a) Determine a equação pA pB
em função do peso específico do
fluido que escoa, 1, do peso es-
pecífico do fluido manométricopecífico do fluido manométrico,
2, e das várias alturas indicadas
na figura.
(b) Determine a queda de pres(b) Determine a queda de pres-
são se 1 = 9,80 kN/m3, 2 = 15,6
kN/m3,h1 = 1,0 m e h2 = 0,5 m.
33
Solução
,
ddfl ddd
porçãoatubodolargamaispartenaescoamentohaverdeApesar
)
.
,.
a
cahidrostáridaconceitososusarpodemos
Portantorepousoemestãomanômetrododentrofluidosdoisdos
321
111
,
:
)
pppvezsuaPor
hppAemPressão
a
A 


54
2243
ppe
hppjá 


2115 )(, hhppladooutroPor B  
2114 ),(
:,
hhpp
temosacimaigualdadesascontaemLevando
B  
34
2234 hpp 
, teremosSeguindo
),( 211223   hhhppB
,,111123  quevemhppepppcomo A
)( 2112211 


hhhh
hhhhpp AB
)( 122
21112211




hpp
hhhhpp
BA
AB
)( 122  hpp BA
ppb BA
33 )108,9106,15(5,0) 
35
Papp BA
3109,2 
► Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenas► Manômetro com tubo inclinado (usado para medir pequenas
variações de pressão)
111:)1( hppemPressão A 
32
21 sen
dehcolunaàdevidapressãoàeespecíficopesodefluidodo
lalturadecolunaàdevidapressãoàecorrespondtambémp


33221
3
sen
,.,
D í
phlp
sejaOuBempressãoamaisespecíficopesodefluido
B


332211 sen
,
e
phlhp
Daí
BA  
36113322 sen
,
hhlpp
e
BA  
► Se os fluidos de pesos específicos 1 e 3 forem gases,
então as pressões devidas às colunas h1 e h3 podem ser
desprezadas. Nesse caso,
 011h 
desprezadas. Nesse caso,


033
11
Logo
h 
 sen
,
22BA lpp
Logo

,
BA ppl
e

 sen22
BA ppl 
37
Exercício
O manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressãoO manômetro inclinado da figura abaixo indica que a pressão
no tubo em A é 0,8 psi. O fluido que escoa nos tubos A e B é
água e o fluido manométrico apresenta densidade 2,6. Qual é
a pressão no tubo B que corresponde à condição mostrada.p q p ç
38
Solução
1
101505101)30(203
076,076
h
mmmh
o

3
2
076,076
1015,05,101)30(203
mmmh
mmmh o

 sen
222 /5516/68958,0/8,08,0 mNmNpollbpsipA 
11
,
hpp
esquemaoAnalisando
águaA 
3223221 phlphhp
e
BáguaBágua
g
  sen
,
hhl
Logo

39
1322 hhlpp águaáguaBA   sen
hhlpp
ocontinuand
águaáguaBA
,
1322   sen
lpp
hhComo
BA
águaáguaBA
)1(
,
22
31
1322


 sen
calcularPrecisamos 2
mkgSG
Cágua o
/26006,2 32
4
2  

mNgAssim
Cágua
/25506, 322
4
 
kPakPakPakPappkPapp
emvaloresostodosdosubstituinFinalmente
ABBA 93,259,2516,559,259,2
),1(,

2.5 Força Hidrostática em superfícies planas
► 1o caso, superfície paralela à interface líquido-ar (fundo de, p p q (
um tanque aberto, por exemplo)
definiçãoPor ,
dAhdF 
dAhdF
A
F
o
R 
kF AhouAhF RR  
41
► 2o caso, superfície plana de forma arbitrária e inclinada em
relação à interface líquido-ar (Diques, represas, ...)
 dAhdF 


sen
e
yh 
senCC yh
e

42
Logo

dAyF
dAydFdAydF
A






sen
sensen
y sen = h
primeirademomentooéAydAyintegralA
dAyF
C
A
A
R 



sen yC sen = hC
Portantoáreadaordem
A
,.
43
AhFouyAF CRCR   sen
► A intuição sugere que a direção de ação da força resultantedeveria passar pelo centróide da superfície. Mas isso não
acontece.
► A ordenada do ponto de ação da força resultante, yR, pode
ser determinada pela soma dos momentos em torno do eixo-x.p
Isto é, o momento da força resultante precisa ser igual aos
momentos das forças devidas a pressão. Isto é,
dAydAyydFyyF
AAA
RRtotal

 
2
2)(  sensen
dAyyF
A
RR  2 sen
dAy
dAA
entãoyAFcomo
A
CR
 

2
2
,,

 sen
44
Ay
ydAyyyA
C
A
R
A
RC
  2 sensen
► A integral do numerador da última equação é o momento de
inércia em relação ao eixo-x, IX (eixo formado pela
intersecção do plano que contém a superfície arbitrária e a
superfície livre). Assim,
Iy x
► I pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos
Ay
y
C
R 
► Ix pode ser obtido pelo teorema dos eixos paralelos,
tA l
Cxcx
Logo
AyII 
,
2
quesemostra
teAnalogamen

,
C
C
xc
R yAy
Iy  C
C
xyc
R xAy
I
x 
45
Cy Cy
► Mostra-se que a força resultante não passa através do
centróide, mas sempre atua abaixo dele, porquep p q
(Ixc / yc A > 0).
► Momentos de inércia de algumas superfícies► Momentos de inércia de algumas superfícies
46
► Momentos de inércia de algumas superfícies (continuação)
47
ExercícioExercício
A figura abaixo mostra o esboço de uma comporta circular
inclinada que está localizada num grande reservatório de águaq g g
(=9,80 kN/m3). A comporta está montada num eixo que corre
ao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixo está
localizado a 10 m da su-localizado a 10 m da su
perfície livre, determine:
a) o módulo e o ponto dea) o módulo e o ponto de
aplicação da força resul-
tante na comporta.
b) o momento que deve
ser aplicado no eixo para
abrir a comporta.
48
Solução
) forçadaaplicaçãodepontoeMóduloa
3
 CR AhF 
1023,1
4)2(
10
/810.9)(
6
22
3






RC NF
A
mh
mNáguadaespecíficopeso
)(
4)2( 22 
yxaplicaçãodePonto
rA 
),(

 C
C
xyc
R
RR
x
Ay
I
x
yxaplicaçãodePonto
;0
0
)(0 



 R
xyc
C
C
x
I
figurax
Ay
49


xyc
y
Ay
Iy CxcR


my
fi
yh
Ay
R
CC
C
64,1155,11
45511
4
)(551110
sen





 
rII
figuramy RoC 455,11
4
)(55,11
)60sen(
4






 

myexNFEntão
II ycxyc
6411010231
4
4
6 

myexNFEntão RRR 64,110,1023,1, 
édlãd
comportadaeixooentredistânciaaslidedofiguraacomacordoDe
Momentob
)(
),48(
)
yyd
écomportadalongoaopressãodecentrooe
090
,)(

comportaaquandoladoaolivrecorpodediagramaodoConsideran
yyd CR
),(
09,0
temosrepousoemestá
pqpg
,
),(
MMM batenteResultanteForçaC ,0
NmmNdFM RResultanteForça
56 1007,1)09,0()1023,1( 
51
ExercícioExercício
A barragem mostrada na figura abaixo é construída em
t ( 23 6 kN/ 3) tá i l t i dconcreto ( = 23,6 kN/m3) e está simplesmente apoiada numa
fundação rígida. Determine o coeficiente de atrito estático
entre a barragem e a fundação, para que a barragem não
escorregue Admita que a água não provoca qualquer efeito naescorregue. Admita que a água não provoca qualquer efeito na
superfície inferior da barragem (infiltrações, por exemplo).
52
Solução
/9810)( 3mNágua
AhF CR




34,51
4
5tan
/9810)(
1
mNágua
o





2
4
2
4
totaldeprofundida

44
56,2
)66,38cos(
2
)90cos(
2
barragemdalarguraA
mh oC

 
)(4,100454456,2810.9,
.44
temoshorizontaldireçãoNa
NFLogo
barragemdalarguraA
R 



)(5,78441)66,38cos(
,
NFF
temoshorizontaldireçãoNa
o
RHR 
53
)(62690)66,38sen(, NFFverticaldireçãoNa oRVR 
,..
,
elacasoNestelacalculáPrecisamosnormalforçaaéN
NFFmovimentesenãobarragemaquePara AtritoHR

 
 
.barragemdapesoforçadamóduloaoecorrespond
 . barragemdamassaaémgmN barragembarragem 
106,23,
3
gg
ondeVm barragembarragembarragembarragembarragem
 
, pordadobarragemdavolumeoéVbarragem
)(205)26( 3mVbarragem  
54
)(0
2
mVbarragem 
1069,5341069,6220106,23
,
33
3
   gFgmN
Assim
VRbarragem ,,
tFFi ld dàV lt d
g
g
g VRbarragem
1069534578441
:,
3


temosFFigualdadeàVoltando AtritoHR
578411
1069,5345,78441 3  
147,0
1069,534
5,78411
3 
55
2.6 Prismas de pressão2.6 Prismas de pressão
► Considere a distribuição de pressão ao longo da parede
vertical de um tanque de largura b e que contém um líquido devertical de um tanque de largura b e que contém um líquido de
peso específico .
► A pressão varia linearmente com a profundidade p = γh. É
nula na superfície do líquido e igual a γh no fundo do
reservatório.
56
reservatório.
► Cálculo do centro de pressão (xR, yR).
II  y
Ay
Iyex
Ay
I
x C
C
xc
RC
C
xyc
R

2
,,,0 bxxsimetriaporeI CRxyc
1
,
2
3hb
E
  

 




3
2,
2
,
3
2
2
2
12 hbyxhh
hbh
hb
y RRR
► Isto significa que o centro de pressão está a uma altura de
ó
 2
57
h/3 do fundo do reservatório (ou do leito da represa).
► A figura a seguir mostra o chamado de prisma de pressão.
► A força resultante que atua na superfície vertical é,
mumericamente, igual ao volume desse prisma,
árearetangularáreaasobremédiapressãoFR  )(
h
AhF
N
R




1
2

58
AhhbhVolumeF
N
R 


2
))((
2
1 
ExercícioExercício
A figura abaixo mostra o esboço de um tanque pressurizado
té ól (SG 0 9) A l d i ã i t l dque contém óleo (SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no
tanque é quadrada e apresenta largura igual a 0,6 m. Qual o
módulo, e a localização da linha de ação, da força resultante
que atua na placa quando a pressão relativa no topo doque atua na placa quando a pressão relativa no topo do
tanque é igual a 50 kPa. Admita que o tanque está exposta à
atmosfera.
59
Solução
àeóleodosuperfícienacomprimidoardopressãodasomapela
dadaéplacadasuperfícienapressãoaquemostraladoaofiguraA
seráentãoplacaasobreresultanteforçaA
óleopróprioaodevidapressão
àeóleodosuperfícienacomprimidoardopressãodasomapela
:,,
.
AhhAhpFFF superfície 121121 )( 

  
nteSeparadame
psuperfície 1121 2
)( 
placa
asobreóleodeporçãoaedoarcomprimidopressãoàdevidoForça
nteSeparadame
)1
,
NAhpF
p
superfície
333
111 104,2436,081,9109,01050)(  
60
p f
)2 placaacomcontatoemóleodopressãoàdevidoForça
1095,0)6,0()3,0()81,9109,0(
2
32312
2 NA
hhF



  
3,0
2
0,26,2
2
12 mhh 

 

 
104,251095,0104,24, 33321
Ai lil ãE
NNNFFFAssim R 
)2,0()3,0(
,,
21 FFyF
temosApontoaoeverticaleixoaorelaçãoEm
OR 
)(296,0
10425
)2,0(1095,0)3,0(104,24, 3
33
inferiorbordadaacimamyLogo O 
61
104,25 3
2.7 Forças hidrostáticas em superfícies curvas
► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto.► Consideremos a seção curva BC do tanque aberto.
62
► F1 = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária
();
► F2 = Força feita pelo líquido sobre a superfície imaginária
(β);
► W= Peso da massa do fluido
considerado (age no CG);
► FH é a componente horizontal
da força feita pelo tanque sobre
o líquido É colinear a F ;o líquido. É colinear a F2;
► FV é a componente vertical da
f f it l t bforça feita pelo tanque sobre o
líquido. É paralelaa W e F1;
63
► As linhas de ação FV, FH e F2 passam pelo ponto O.
► Condição de equilíbrio:
2 2CH
WFF
AhAhFF

 
22
1V
FFF
e
WFF


64
22
HVR FFF 
ExercícioExercício
A Figura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado na
ádrenagem de um tanque que está parcialmente cheio de
água. Sabendo que a distância entre os pontos A e B é igual
ao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o
tid d f t b BC d id àsentido da força que atua sobre a curva BC, devida à
presença da água. Admita que a seção tenha comprimento
de 1m.
65
Solução
)
aconsiderad
águadeporçãodalivrecorpododiagramaomostraladoaofiguraAa
:
.
1 WFeFFequilíbriodeCondição
aconsiderad
VH
:1FdeCálculo
 3973)9,01(
2
9,09810
21
NAhAhF C 
  6241]1)90([19810
:
2
2
2
NVVgmgF
FdeCálculo



 
 
][
4
1
4
1
6241]1)9,0([
4
9810
2
2
rcilindrodovolumeV
NVVgmgF


66
 44
VH NWFeNFF
equilíbriodecondiçãoaAplicando
62413973
:
1 
VHR NFFFLogo 3,7398)6241()3973(:
2222 
daforçadadireçãoadaânguloOladoaofiguraaosConsiderem
forçadasentidooedireçãoafaltaagoramagnitudeasEncontramob .,)

VHR figuraDa
somapelaodeterminadoésentidoocurvasuperfícieasobreágua
daforçadadireçãoadaânguloOladoaofiguraaosConsiderem
,.
:,
.


FFF
oH
VHR
F
f g
532tan
,
1 


 
VF
5,32tan 



67
2 8 Empuxo Flutuação e Estabilidade2.8 Empuxo, Flutuação e Estabilidade
► Empuxo
“Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por
parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja
intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.”
(P i í i d A i d )(Princípio de Arquimedes)
VggmFB 
kF V
VVgFB




kF VB 
► Está força é chamada de
EMPUXO e é o resultado do
Gradiente de pressão, que
68
Gradiente de pressão, que
aumenta com a profundidade.
► A linha de ação da força empuxo, FB, passa pelo centróide
do volume deslocado e o ponto de aplicação dessa força é
chamado de centro de empuxo.p
► O centro de empuxo corresponde ao centro de gravidade
69
do massa de fluido deslocado.
Exercício
A figura a seguir mostra o esboço de uma bóia comg g ç
diâmetro e peso iguais a 1,5 m e 8,5 kN, respectivamente, e
que está presa ao fundo do mar por um cabo. Normalmente,
a bóia flutua na superfície do mar, mas em certas ocasiões,
o nível do mar sobe e a bóia fica completamente submersa.
Determine a força que tensiona o cabo na condição
mostrada na figura.
(γágua do mar = 10,1 kN/m3)
70
Solução
éequilíbriode
condiçãoaqueseverifaladoaolivrecorpododiagramadopartirA
:

TFTTWF BB 
empuxodomagnitudeaéF
Onde
B ,
:
cabonotensãoaéT
boiadapesodomagnitudeaéW
pgB
.
,
,
boiapeladeslocadoáguademassadevolumedopesoFB
4
,
33 

enunciadonodadoNW
NVF águaB
).(105,8
2,17848)75,0(
3
4101,10
3
33



 
71
NTPortanto 2,934885002,17848, 
► Estabilidade
• Existem duas condições de equilíbrio:• Existem duas condições de equilíbrio:
→ estável;
→ instável.
• As situações de estabilidade e instabilidade
dependem:
→ Localização do corpo no fluido: submerso
ou flutuando.
→ Posição relativa entre os centro de gravi-ç g
dade, CG, e do centro de empuxo, c.
► Lembrando que o centro de empuxo corresponde ao► Lembrando que o centro de empuxo corresponde ao
centro de gravidade do massa de fluido deslocado.
72
► Corpo submerso com Centro de gravidade, CG, abaixo do
centro de empuxo, c.
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,
o binário F e W criará um momento de restauraçãoo binário FB e W criará um momento de restauração.
► Esta é uma situação de equilíbrio estável, pois a posição
í é
73
de equilíbrio original é restaurada.
► Corpo submerso com Centro de gravidade, CG, acima do
centro de empuxo, c.
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,
o binário F e W criará um momento de emborcamentoo binário FB e W criará um momento de emborcamento.
► Esta é uma situação de equilíbrio instável, pois o corpo se
á í
74
moverá para outra posição de equilíbrio.
► Corpo flutuando com Centro de gravidade, CG, acima do
centro de empuxo, c, mas dentro do volume deslocado
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,
o binário FB e W criará um momento restaurador.
► Esta é uma situação de equilíbrio estável, pois a posição
de equilíbrio original é restaurada.
75
► Corpo flutuando com Centro de gravidade, CG, acima do
centro de empuxo, c, e acima do volume deslocado.
► Note: feita uma rotação a partir da posição de equilíbrio,
o binário F e W criará um momento de emborcamentoo binário FB e W criará um momento de emborcamento.
► Esta é uma situação de equilíbrio instável, pois o corpo se
á í
76
moverá para outra posição de equilíbrio.
2.8 Variação da pressão num fluido em movimento
► Estamos considerando fluidos em repouso ou emp
movimento nos quais as tensões de cisalhamento sejam
nulas.
► Para um fluido em repouso ou MRU,
0 kk  poup
► Para um fluido em movimento, todas as moléculas se
0 kk  poup
movimentam com a mesma velocidade, mesmo que esta
varie com o tempo, isto é, com a mesma aceleração, caso
exista. Este é um comportamento similar a de um corpo
írígido. Logo,
ak   p
77
► De modo análogo, se um fluido estiver contido em um
tanque que rotaciona em torno de um eixo fixo, então, este
fluido rotacionará junto com o tanque como se fosse umfluido rotacionará junto com o tanque como se fosse um
corpo rígido – desde que não haja tensões de cisalhamento.
78