Mecânica+II+ +Força+Cortante%2c+Momento+Fletor+e+Tensões+nas+Vigas

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Mecânica dos Sólidos 
José Mauro Marquez, PhD 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Viga é denominada por uma barra de eixo 
reto, submetida a esforços contidos no plano 
da estrutura. 
• Tipos de Vigas: 
• Simples 
• Com Balanços 
• Isostáticas 
• Hiperestáticas 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Viga Simples: Caracteriza-se por ser articulada nas 
duas extremidades. 
 
 
• Vigas Simples com Balanços: Caracteriza-se por ser 
simplesmente apoiada com prolongamentos além de 
um ou de ambos os apoios. 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Vigas Isostáticas: Caracterizam-se por serem engastadas e 
simplesmente apoiadas, com ou sem balanço. 
 
 
 
• Vigas Hiperestáticas: Caracterizam-se por ter o número de 
reações excede o das equações fornecidas pela estática. 
Assim, leva-se em conta as equações de deformação da viga. 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Tipos de Carregamentos 
– Dentre os diversos tipos de carregamentos 
considera-se apenas os permanentes que podem 
ser: 
• Cargas concentradas 
• Cargas distribuídas 
– Cargas distribuídas são em geral expressas por 
unidade de comprimento do eixo da viga. 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exemplo: 
– A viga abaixo tem um carregamento uniforme 
variando triangularmente. As cargas distribuídas, 
em geral, são expressas por unidade de 
comprimento do eixo da viga. 
– Assim, tem-se P [N/m] 
 
– Ou seja: P= 
𝑃0.𝑥
𝑙
 
– Onde: 
• x é a distância do ponto considerado ao apoio 
da esquerda 
• L é o vão da viga 
 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Vigas ???? 
– Vigas normalmente são barras retas e prismáticas, o 
que ocasiona maior resistência ao cisalhamento e 
flexão. 
– Quando dispomos de um elemento estrutural 
projetado para suportar diversas cargas em sua 
extensão, este elemento recebe o nome de viga. 
– Estas vigas são normalmente sujeitas a cargas 
dispostas verticalmente, o que resultará em esforços 
de cisalhamento e flexão. 
– Quando cargas não verticais são aplicadas a estrutura, 
surgirão forças axiais, o que tornará mais complexa a 
análise estrutural. 
– Resumindo, viga é uma estrutura formada por uma 
barra, submetida a carregamentos contidos no plano 
da estrutura. 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Quando se efetua o dimensionamento de uma 
viga, seja ela de qualquer material como aço, 
madeira, concreto, duas fases são definidas 
distintamente. 
– A primeira fase é o cálculo dos esforços da 
estrutura, ou seja, o cálculo de momentos fletores 
e forças cortantes, ao qual a viga esta submetida 
aos vários tipos de carregamento. 
– A segunda fase é o dimensionamento da peça 
propriamente dito, onde é verificada qual as 
dimensões necessárias da peça estrutural, que irá 
resistir aos esforços solicitados. 
• Esforços Internos: 
– Quando se carrega uma viga aparecem esforços internos. No caso 
particular da figura abaixo, deseja-se determinar os esforços que 
estão solicitando a seção transversal “D”, distante “x” da 
extremidade da esquerda. 
 
 
 
 
 
– Para isso, suponha-se que se corte a viga em D. Observe que neste 
instante aparece uma força cortante e um momento, tal como 
indicado na figura à direita. A força Q e o momento M conservam o 
trecho AD em equilíbrio junto com as forças R1, P1 e P2 
 
x x 
Força Cortante e Momento Fletor 
Força Cortante e Momento Fletor 
x 
• O momento M da figura é chamado de momento 
resistente na seção D. O módulo de M pode ser obtido 
usando uma equação da estática que diz que: 
 
• 𝑴𝟎 = 𝑴 − 𝑹𝟏𝒙 + 𝑷𝟏 𝒙 − 𝒂 + 𝑷𝟐 𝒙 − 𝒃 = 𝟎 ou 
 
• 𝑴 = 𝑹𝟏𝒙 − 𝑷𝟏 𝒙 − 𝒂 − 𝑷𝟐 𝒙 − 𝒃 
 
 
• Portanto o Momento Resistente M é o momento no ponto 
D produzido pelos momentos da reação em A e das forças 
aplicadas P1 e P2. 
• M é chamado também de momento fletor na seção D. 
 
 
Força Cortante e Momento Fletor 
• A força Q, mostrada na figura, é chamada força cortante resistente 
na seção D. 
 
 𝑭𝑸 = 𝑹𝟏− 𝑷𝟏 − 𝑷𝟐 −𝑸 = 𝟎 
 
ou 
 
𝑸 = 𝑹𝟏− 𝑷𝟏− 𝑷𝟐 
 
 
• A força Q também é chamada de Força Cortante na seção D. 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Convenção de Sinais 
– A convenção usual de sinais para momento fletor e força 
cortante são representadas abaixo: 
 
 
 
 
 
– Assim, o momento fletor positivo tende a FLETIR a viga com 
concavidade para cima e negativo com concavidade para baixo. 
– A força cortante é positiva quando tende a deslocar, para cima, 
a parte da viga que se situa à esquerda da seção considerada e 
negativa em caso contrário. 
Força Cortante e Momento Fletor 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Expressões de Q(x) e M(x): 
– As vezes há a necessidade determinar o momento fletor e a força 
cortante em todas as seções da viga. Para isso, pode-se localizar as 
diversas seções da viga por intermédio de suas abscissas x (distância 
ao apoio da esquerda) e são expressas em Q(x) e M(x) em função de x. 
• Diagramas de Q e M: 
– A representação gráfica da função Q(x) tem o nome da diagrama das 
forças cortantes. As abscissas representam as diversas seções da viga e 
as ordenadas os valores da força cortante correspondente. 
 
 
 
 
– A relação entre a força cortante Q e o momento fletor M é: 
 
x 
x 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 1: 
– Determinar as expressões Q e M (em função de x) 
da viga em balanço da figura abaixo. Traçar os 
diagramas corrspondentes. 
5kN 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Na seção x, a força de 5kN tende a deslocar a parte da 
esquerda para baixo, como indicado abaixo. 
 
 
 
• Isto é, se a viga fosse cortada nessa seção x, a ação da força 
seria a de produzir o movimento que se indica na figura. 
• De acordo com a convenção de sinais, a força cortante é: 
 Q = - 5kN 
 
• Consequentemente, o momento fletor M na seção x é: 
M = - 5x [N.m] (neste caso [kN.m]) 
 
5kN 
Força Cortante e Momento Fletor 
5kN 
- 5kN 
- 5 kN.m 
- 35kN.m 
Q[N] (+) 
(-) 
M[N.m] (+) 
(-) 
• A força cortante é 
constante ao longo da 
viga não variando com x 
e em todos os pontos 
vale – 5 => Q = -5 kN 
• A representação gráfica 
de M é: 
– Para x=0 => M=0. 
– Para x=7m => M= -5x7= 
M = - 35 kNm 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 2: 
– A viga em balanço da figura está uniformente carregada 
com q [N/m]. Determinar as expressões Q e M, assim 
como os diagramas correspondentes. 
 
 
 
 
• Para determinar a força cortante e o momento fletor 
numa seção qualquer, definida pela abscissa x, pode-
se substituir a carga que atua à esquerda da seção A 
pela sua resultante qx, aplicada no meio de OA. 
 
 
 
q N/m q N/m x 
x 
x 
qx N 
Força Cortante e Momento Fletor 
• As cargas à direita de A não contribuem para o cálculo dessa resultante. Essa força 
tende a deslocar para baixo o trecho AO. 
 
 
 
• A força cortante é a resultante das forças que atuam à esquerda da seção 
considerada (x), logo: 
 Q = - q x [N] 
Esta equação é linear e fornece: 
 Q = 0 para x = 0; Q = -ql para x = l 
• O momento fletor na mesma seção x é a soma dos momentos das forças que se 
situam à esquerda de A. Então: 
 M = - qx (
𝒙
𝟐
) = - 
𝒒𝒙𝟐
𝟐
 
• Seu sinal é negativo porque a resultante qx é sempre dirigida para baixo. 
• A variação de M é parabólica e anula-se quando x = 0 e atinge o valor - 
𝑞𝑙2
2
 quando 
x = l. 
 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 3: 
– Determinar Q e M para a viga simplesmente 
apoiada da figura abaixo. 
 
 
 
40 kN 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Deve-seiniciar calculando as reações R1 e R2. 
4 R2 – 40 x 1 = 0 ==> 4 R2 = 40 x 1; donde R2 = 10 kN 
R1 + R2 – 40 = 0 ; donde R1 = 30 kN 
• Para o cálculo da força cortante Q toma-se um trecho 
à esquerda da força de 40 kN. Q portanto coincide 
com a reação R1 = 30 kN para 0 < x < 1m. 
• Para 1m < x < 4m, Q = 30 – 40, donde Q = – 10 kN 
 40 kN 
30 kN 
10 kN 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Na região à direita da carga de 
40kN, segundo a convenção de 
sinais, Q é negativo. 
• O momento fletor à esquerda da 
carga de 40kN é o momento de R1 
em relação à x. 
M = R1.x  M = 30x ; para 0 < x < 1m 
Momento fletor positivo para a carga 
dirigida para baixo 
M = 30x – 40 (x – 1 ) ; para 1 < x < 4m 
10 kN 
40 kN 
30 kN 
Força Cortante e Momento Fletor 
30 kN.m 
30 kN 
- 10 kN 
40 kN 
30 kN 10 kN 
A figura ao lado mostra 
a representação gráfica 
dessas funções, isto é, 
os diagramas de Q e M, 
respectivamente. 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 4: 
– Uma viga AB biapoiada suporta um carregamento que 
varia linearmente de zero a “q”. Determinar as expressões 
de Q e M e construir os respectivos diagramas. Exerc 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 5: 
• Determinar as expressões Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga biapoiada solicitada pelas cargas 
concentradas representadas na figura Exerc 8 
 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 6: 
– Determinar as expressões de Q e M e construir os respectivos 
diagramas na viga engastada solicitada pelas cargas concentradas, 
representadas na figura abaixo. Exerc 9 
 
 
 
( - ) 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 7: 
– Determinar as expressões de Q e M e construir os 
respectivos diagramas na viga biapoiada carregada 
conforme a figura. Exerc 10 
 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 8: 
– Deternminar as expressões e os diagramas de Q e M para a 
viga da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Força Cortante e Momento Fletor 
• Exercício 9: 
– A viga da figura suporta a carga uniformente distribuída de 
400 Nm e a carga de 3000 N. Determinar o diagrama de 
forças cortantes e parceladamente, o diagrama de 
momnetos fletores