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Profº Orlando Sodré Gomes M e c â n ic a 1 Aula 5 2015.1 UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO “Se um corpo sujeito à ação de duas forças está em equilíbrio, as duas forças devem ter igual intensidade, igual linha de ação e sentidos opostos.” Considere uma cantoneira sujeita à ação de duas forças F1 e F2 aplicadas em A e B, respectivamente. Se essa placa estiver em equilíbrio, a soma dos momentos em relação a A. Como o momento de F1 é sem dúvida igual a zero, o momento de F2 deve também ser zero, e a linha de ação de F2 deve passar por A. Se várias forças forem aplicadas em dois pontos A e B, as forças aplicadas em A podem ser substituídas por sua resultante F1 e as em B, por sua resultante F2 . 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE DUAS FORÇAS UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Portanto, um corpo sujeito à ação de duas forças pode ser definido, como um corpo rígido sujeito à ação de forças que atuam apenas em dois pontos. As resultantes F1 e F2, portanto, devem ter igual linha de ação, igual intensidade e sentidos opostos. 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE DUAS FORÇAS UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO “Um corpo rígido sujeito à ação de três forças, ou, um corpo rígido sujeito à ação de forças aplicadas somente em três pontos.” Considere um corpo rígido sujeito à ação de um sistema de forças que pode ser reduzido a três forças F1, F2 e F3 aplicadas nos pontos A, B e C, respectivamente. Se o corpo estiver em equilíbrio, as linhas de ação das três forças devem ser concorrentes ou paralelas. Como, o corpo rígido está em equilíbrio, a soma dos momentos de F1, F2 e F3 em relação a qualquer eixo deve ser zero. Supondo que as linhas de ação de F1 e F2 se interceptam, e representando seu ponto de interseção por D, somamos os momentos em relação a D são iguais a zero, o momento de F3 em relação a D deve também ser zero, e a linha de ação de F3 deve passar por D . 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Essa propriedade de resolver problemas relativos a corpos rígidos sujeitos à ação de três forças, pode ser utilizada, gráfica ou matematicamente, a partir de relações trigonométricas ou geométricas simples. 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO Um homem levanta uma viga de sustentação de 10 kg e 4 m de comprimento puxando-a com uma corda. 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS 1º EXERCÍCIO Encontre a tração T na corda e a reação em A. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. A viga de sustentação é um corpo rígido sujeito à ação de três forças, pois sobre ele atuam três forças: seu peso W, a força T exercida pela corda e a reação R do solo em A. Observamos que: UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS 1º EXERCÍCIO - continuação CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS Como a viga é um corpo rígido sujeito à ação de três forças, as forças que atuam sobre ela deveriam ser concorrentes. A reação R, portanto, vai passar pelo ponto de interseção C das linhas de ação do peso W e da força de tração T. Esse fato será usado para determinar o ângulo α que R forma com a horizontal. Traçando-se a vertical BF por B e a horizontal CD por C, observamos que: AF = BF = (AB) cos 45º = (4 m) cos 45º = 2,828 m CD = EF = AE = 1/2(AF) = 1,414 m BD = (CD) cotg (45º + 25º) = (1,414 m) tg 20º = 0,515 m CE = DF = BF – BD = 2,828 m – 0,515 = 2,313 m UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS 1º EXERCÍCIO - continuação Temos: tg Agora sabemos a direção de todas as forças que atuam sobre a viga. Aplicando a LEI DOS SENOS, temos: sen sen sen UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO A haste AB é suportada por um pino e um suporte em A e apoia sem atrito numa cavilha em C. 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS 2º EXERCÍCIO Determine: a) As reações em A e C quando a força vertical de 170 N é aplicada em B. A reação em A deve passar por D na mesma interseção de C e a força de 170 N. C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS 2º EXERCÍCIO - continuação Notamos que o triangulo ABD é isósceles (desde que AC = BC. Também, desde que CD é perpendicular a C B, a reação C forma um angulo de α = 28,07º com a horizontal. SISTEMA DE FORÇAS Notamos que A forma um angulo de 2α com a vertical. Portanto A e C forma um angulo: C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS 2º EXERCÍCIO - continuação SISTEMA DE FORÇAS O sistema de forças é um triângulo isósceles, e temos: C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS Tipos de Vigas 1. VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS – São vigas apoiadas de modo que as reações aos seus apoios externos podem ser calculadas apenas pelos métodos da estática. C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS Tipos de Vigas 2. VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS – São vigas que tenham mas apoios do que os necessários reações aos seus apoios externos podem ser calculadas apenas pelos métodos da estática. C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS Cargas Distribuídas Para uma distribuição de carga mais geral, ou seja, a figura abaixo, devemos começar com um incremento diferencial de força dR = wdx. A carga total R é, então, o somatório das forças diferenciais: C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS Cargas Distribuídas C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS Cargas Distribuídas A resultante R está localizada no CENTRÓIDE da área em consideração. A coordenada x desse CENTRÓIDE é determinada pelo princípio dos momentos. C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 1º EXERCÍCIO – Determine as cargas concentradas equivalentes e as reações externas para a viga com apoio simples que está submetida à carga distribuída : 2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS C UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 2º EXERCÍCIO – Determine a reação no apoio de A da viga em balanço carregada. 2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA No movimento de translação de um corpo, um de seus pontos, à medida que o tempo passa, sofre o mesmo deslocamento que qualquer outro, de tal maneira que o movimento de uma partícula representa o movimento de todo o corpo. Mas, mesmo quando o corpo roda ou vibra, enquanto se desloca, há um ponto no corpo, chamado de CENTRO DE MASSA, que se desloca da mesma maneira que se deslocaria uma única partícula, sujeita ao mesmo sistema de forças externas. C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA Observe que, se a faca da figura abaixo, estivesse se movendo em translação simples, todos os seus pontos experimentariam o mesmo deslocamento que o CENTRO DE MASSA. Por esta razão, o MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA de um corpo é chamado de movimento de translação do corpo. C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA Há um ponto, denominado CENTRO DE MASSA dosistema, que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e as forças externas atuantes sobre o sistema estivessem agindo exclusivamente sobre ele. O movimento de qualquer corpo, ou qualquer sistema de partículas, pode ser descrito em termos do movimento do CENTRO DE MASSA. C xcm x2 x1 C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA O CENTRO DE MASSA do sistema é definido como um ponto C á distância xcm da origem, sendo xcm dada por: O CENTRO DE MASSA é a Média Ponderada das posições, tendo as massas como pesos. C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA EXEMPLOS 1º EXERCÍCIO C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA Para um grande número de partículas coplanares ou distribuídas no espaço, o CENTRO DE MASSA estará em xcm, ycm e zcm, dados por: xcm = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 m1 + m2 + m3 ycm = m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 m1 + m2 + m3 zcm = m1 z1 + m2 z2 + m3 z3 m1 + m2 + m3 xcm = Σ mi xi Σ mi ycm = Σ mi yi Σ mi zcm = Σ mi zi Σ mi ycm = Σ mi yi M 1 xcm = Σ mi xi M 1 zcm = Σ mi zi M 1 C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA 2º EXERCÍCIO Determine o CENTRO DE MASSA do sistema constituído por três partículas 2,3 m rcm 0,90 m C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA Pela notação vetorial, cada partícula do sistema pode ter sua posição definida pelo vetor posição ri em um sistema de referência particular e o CENTRO DE MASSA pode ser definido pelo vetor posição rcm. Estes valores são relacionados a xi, yi, zi e xcm, ycm, zcm nas equações a seguir: ri = xi i + yi j + zi k rcm = xcm i + ycm j + zcm k Então, as três equações escalares, xcm, ycm, zcm podem ser substituídas por uma única equação vetorial: rcm = Σ mi ri M 1 C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA 3º EXERCÍCIO Determine o CENTRO DE MASSA do sistema constituído por três partículas m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg e m3 = 3,0 kg localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de 1,0 m de lado. xcm = 1,0 kg . 0 + 2,0 kg . 1,0 m + 3,0 kg . 0,5 m 1,0 kg + 2,0 kg + 3,0 kg xcm = 0,5833 m ycm = 1,0 kg . 0 + 2,0 kg . 0 + 3,0 kg . 0,866 m 1,0 kg + 2,0 kg + 3,0 kg ycm = 0,433 m x(m) y (m) 1 m2 0,866 m1 m3 0 0,5 0,5833 0,433 rcm C C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA Portanto, CENTRO DE MASSA é a posição média de toda a massa do corpo ou sistema. Num corpo homogêneo e simétrico o CENTRO DE MASSA esta no centro geométrico. C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA EXEMPLOS Partículas de massas iguais. Formando um triângulo. C UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 3.1 CENTRO MASSA CENTRO DE MASSA Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. Referências Bibliográficas • BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática. 9ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012. • HALLIDAY, D. e RESNICK, R. Física 1. 4ª. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1984.
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