livro

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Indaial – 2019
Dinâmica De
corpos rígiDos
Prof. Sandro Elias Braun
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2019
Elaboração:
Prof. Sandro Elias Braun
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
 B825d
 Braun, Sandro Elias
 Dinâmica de corpos rígidos. / Sandro Elias Braun. – Indaial: 
 UNIASSELVI, 2019.
 
 177 p.; il.
 ISBN 978-85-515-0336-2
 1. Dinâmica dos corpos rígidos. - Brasil. II. Centro Universitário 
 Leonardo Da Vinci.
CDD 531.3
III
apresentação
Caro acadêmico! Neste Livro Didático estudaremos a Dinâmica 
de Corpos Rígidos, isto é, as relações existentes entre as forças que atuam 
num corpo rígido, a forma e a massa do corpo e o movimento produzido. 
Anteriormente estudamos relações semelhantes, supondo então que o 
corpo podia ser considerado um ponto material, isto é, a massa estava 
concentrada num único ponto e todas as forças estavam atuando nesse 
ponto. Agora, levaremos em consideração a forma do corpo, bem como a 
exata localização do ponto de aplicação de cada uma das forças. Além disso, 
não nos preocuparemos apenas com o movimento do corpo como um todo, 
mas também com seu movimento em torno do seu centro de massa.
Nosso procedimento é considerar corpos rígidos como conjuntos de 
grande número de pontos materiais e utilizar os resultados obtidos para o 
movimento de sistemas de pontos materiais. Nesta unidade utilizaremos 
especificamente a Equação mΣ =F a , que relaciona a resultante das forças 
externas e a aceleração do centro de massa G do sistema de pontos materiais e 
a Equação G GΣ = M H , que relaciona o momento resultante das forças externas 
e o momento angular do sistema em relação a G.
Os resultados deduzidos nessa unidade terão duas limitações: (1) 
serão restritos ao movimento plano de corpos rígidos, isto é, ao movimento 
em que cada ponto material do corpo permanece a uma distância constante 
de um plano de referência fixo; (2) os corpos rígidos considerados consistirão 
somente em placas planas e em corpos simétricos em relação ao plano de 
referência (*). O estudo do movimento plano de corpos tridimensionais 
assimétricos e, mais genericamente, do movimento de corpos rígidos no 
espaço tridimensional será estudado na Unidade 2. 
Utilizando como fundamento o estudo da Teoria da Dinâmica 
de Máquinas e Sistemas, na Unidade 3 estudaremos as vibrações livres e 
forçadas em sistemas mecânicos. Este estudo inicia-se através de modelos 
simples com um grau de liberdade (1GL). Estes modelos são úteis, pois 
estabelecem definições básicas e podem corresponder a muitas situações 
reais, especialmente quando se trata de análises dinâmicas numa faixa 
estreita de frequências. São aplicados também nos estudos mais avançados 
de vibrações mecânicas através do desacoplamento modal de modelos com 
vários graus de liberdade (NGL). Os parâmetros de massa, de rigidez e 
de amortecimento destes modelos são determinados a partir da aplicação 
das leis da dinâmica nos problemas de engenharia em estudo. Como pré-
requisito ao estudo de vibrações mecânicas é fundamental o conhecimento 
das leis de Newton e Euler. Para o equacionamento de modelos de sistemas 
mais complexos, com vários graus de liberdade ou de modelos de sistemas 
com parâmetros distribuídos espacialmente, recomendamos também que 
você tenha o conhecimento das equações de Hamilton e Lagrange.
Bons estudos!
Prof. Sandro Elias Braun
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfi m, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há 
novidades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova 
diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também 
contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto 
em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
Bons estudos!
NOTA
Olá acadêmico! Para melhorar a qualidade dos 
materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais 
os seus estudos, a Uniasselvi disponibiliza materiais 
que possuem o código QR Code, que é um código 
que permite que você acesse um conteúdo interativo 
relacionado ao tema que você está estudando. Para 
utilizar essa ferramenta, acesse as lojas de aplicativos 
e baixe um leitor de QR Code. Depois, é só aproveitar 
mais essa facilidade para aprimorar seus estudos!
UNI
V
VI
VII
UNIDADE 1 – MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS ............................................... 1
TÓPICO 1 – PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA .................................................................. 3
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3
2 PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA PARA CORPO RÍGIDO ......................................... 7
3 TRABALHO DAS FORÇAS QUE ATUAM NUM CORPO RÍGIDO ......................................... 9
4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM MOVIMENTO PLANO ....................... 10
5 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA E POTÊNCIA PARA UM 
 SISTEMA DE CORPO RÍGIDO ........................................................................................................ 14
6 POTÊNCIA ............................................................................................................................................. 16
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 17
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 20
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 24
TÓPICO 2 – PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO ........................ 27
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 27
2 PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DO MOVIMENTO PLANO DE 
 UM CORPO RÍGIDO ........................................................................................................................... 27
3 SISTEMAS DE CORPOS RÍGIDOS ................................................................................................. 31
4 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR ............................................................................ 32
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 33
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 34
UNIDADE 2 – DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTOTRIDIMENSIONAL ..................................................................................................... 37
TÓPICO 1 – APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE 
 MOVIMENTO ................................................................................................................... 39
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 39
2 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO TRIDIMENSIONAL ............................... 40
3 APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 AO MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL DE UM CORPO RÍGIDO ........................................ 46
4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES ........................... 47
5 DINÂMICA DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS DIMENSÕES .............................................. 49
6 EQUAÇÕES DE EULER DO MOVIMENTO .................................................................................. 52
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 54
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 58
TÓPICO 2 – MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO .................................................... 63
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 63
2 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE 
 UM PONTO FIXO ................................................................................................................................ 63
3 ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM PONTO FIXO ............................ 64
sumário
VIII
4 MOVIMENTO DE UM GIROSCÓPIO ............................................................................................ 67
5 PRECESSÃO ESTACIONÁRIA DE UM GIROSCÓPIO .............................................................. 71
6 MOVIMENTO DE UM CORPO DE REVOLUÇÃO SUBMETIDO APENAS AO 
 SEU PESO ............................................................................................................................................... 74
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................... 78
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 81
AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 83
UNIDADE 3 – VIBRAÇÕES MECÂNICAS ....................................................................................... 85
TÓPICO 1 – CLASSIFICAÇÃO DAS VIBRAÇÕES MECÂNICAS .............................................. 87
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 87
2 CONCEITO E CARACTERÍSTICAS DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS ..................................... 87
3 CLASSIFICAÇÃO DE VIBRAÇÕES MECÂNICAS ...................................................................... 89
3.1 VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS ............................................................................. 98
3.2 VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS ......................................................................................102
3.3 VIBRAÇÕES FORÇADAS PARA UM GRAU DE LIBERDADE .............................................114
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................129
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................131
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................133
TÓPICO 2 – APROFUNDAMENTO NO ESTUDO DE VIBRAÇÕES ........................................135
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................135
2 TRANSMISSIBILIDADE ..................................................................................................................135
3 ASSOCIAÇÃO DE MOLAS .............................................................................................................139
4 VIBRAÇÕES OCUPACIONAIS ......................................................................................................143
5 CONTROLE DE VIBRAÇÕES .........................................................................................................145
6 MEDIÇÃO DAS VIBRAÇÕES .........................................................................................................154
7 FREQUÊNCIA NATURAL ................................................................................................................162
8 BALANCEAMENTO ..........................................................................................................................163
9 AMORTECIMENTO ..........................................................................................................................165
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................172
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................175
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................177
1
UNIDADE 1
MOVIMENTO PLANO DOS
CORPOS RÍGIDOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• introduzir os métodos usados na determinação do momento de inércia de 
um corpo;
• desenvolver as equações dinâmicas do movimento plano para um corpo 
rígido simétrico;
• discutir aplicações dessas equações a corpos em translação, em rotação 
em torno de um eixo fixo e em movimento plano geral;
• desenvolver formulações para a energia cinética de um corpo e definir os 
vários modos com que forças e torques realizam trabalho;
• aplicar o princípio do trabalho e energia para resolver problemas de 
dinâmica do movimento plano de um corpo rígido que envolvem força, 
velocidade e deslocamento;
• mostrar como a conservação de energia pode ser usada na resolução de 
problemas;
• desenvolver formulações para a quantidade de movimento e para o 
momento angular de um corpo;
• aplicar os princípios do impulso e quantidade de movimento e momento 
angular na resolução de problemas de dinâmica que envolvem força, 
velocidade e tempo;
• discutir a aplicação da conservação da quantidade de movimento e 
momento angular.
Esta unidade está dividida em dois tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
TÓPICO 2 – PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
1 INTRODUÇÃO
Como introdução a este tópico, faremos uma revisão sobre o movimento 
de sistemas de pontos materiais, isto é, o movimento de um número grande 
de pontos materiais tomados em conjunto. Na primeira parte consideraram-se 
sistemas formando um conjunto bem-definido de pontos materiais. Já na segunda 
parte analisaram-se sistemas com ganho e/ou perda de pontos materiais.
• Forças Efetivas 
Definimos a força efetiva agente num ponto material P de um dado 
sistema, como sendo o produto mi. ai da massa m deste ponto pela sua aceleração 
a medida em um referencial inercial com origem O. Mostramos que o sistema 
de forças externas agentes nos pontosmateriais e o sistema das forças efetivas 
são equivalentes, isto é, ambos os sistemas têm a mesma resultante e o mesmo 
momento resultante em relação a O.
(1I)
(2I)
(3I)
(4I)
1 1
n n
i i i
i i
F m a
= =
=∑ ∑
1 1
( ) ( )
n n
i i i i i
i i
r x F r x m a
= =
=∑ ∑
• Quantidade de movimento e momento angular de um sistema de pontos 
materiais
Definimos a quantidade de movimento L e o momento angular H0 em 
relação ao polo O, do sistema de pontos materiais como sendo:
1
n
i i
i
L m v
=
=∑
0
1
( )
n
i i i
i
H r x m v
=
=∑
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
4
Com essas definições, as equações (3I) e (4I) podem ser substituídas por:
.
F LΣ =
.
00M HΣ =
(5I)
(6I)
(7I)
(8I)
(9I)
(10I)
Essas equações expressam os seguintes resultados: a resultante das forças 
externas e o momento resultante das forças externas, em relação a O, são iguais 
respectivamente às taxas de variação da quantidade de movimento e do momento 
angular, em relação a O, do sistema de pontos materiais.
• Movimento do centro de massa de um sistema de pontos materiais 
Representamos o centro de massa de um sistema de pontos materiais 
como sendo o ponto G, cujo vetor de posição r satisfaz a equação:
1
n
i i
i
mr m r
=
=∑
em que m representa a massa total do sistema. Derivando-se ambos os membros 
da equação (6I) duplamente em relação ao tempo, obtém-se:
L mv=
.
L ma=
em que v e a representam, respectivamente, a velocidade e a aceleração do centro 
de massa G. Usando (9I) em (5I), obtém-se a equação:
F maΣ =
Conclui-se, portanto, que o centro de massa se move como se toda a massa 
do sistema e todas as forças externas estivessem concentradas neste ponto. 
Consideramos o movimento dos pontos materiais em relação a um sistema 
baricêntrico G x’ y’ z\ com origem em G e em translação relativa ao sistema 
inercial Oxyz, conforme podemos observar no gráfico a seguir:
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
5
(11I)
(12I)
GRÁFICO 1 – MOMENTO ANGULAR DE UM SISTEMA DE PONTOS MATERIAIS EM
 RELAÇÃO AO SEU CENTRO DE MASSA
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. 
Acesso em: 13 jun. 2019.
Definimos o momento angular do sistema, em relação ao seu centro de 
massa G, como sendo a soma dos produtos vetoriais r*. x m.v´, em que r* e v’ 
são o vetor de posição e a velocidade de cada ponto P em relação ao sistema 
baricêntrico Gx’y’z’; Pode-se escrever, portanto:
, , ,
1 1
( ) ( )
n n
G i i i i i i
i i
H r x m v r x m v
= =
= =∑ ∑
E, por conseguinte:
Esta última equação nos diz que o momento resultante em relação a G 
das forças externas é igual à taxa de variação do momento angular do sistema de 
pontos materiais, em relação ao seu centro de massa. 
Como será visto mais adiante, esse resultado é fundamental para o estudo 
do movimento de corpos rígidos.
G GM HΣ =
.
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
6
• Energia cinética de um sistema de pontos materiais 
A energia cinética T de um sistema de pontos materiais é definida como a 
soma das energias cinéticas dos pontos constituintes do sistema:
2
1
1
2
n
i i
i
T m v
=
= ∑ (13I)
(14I)
(15I)
(16I)
Usando o sistema baricêntrico Gx’y’z’ (Figura 1), notamos que a energia 
cinética do sistema pode ser expressa como a soma da energia cinética mv2 
associada ao movimento do centro de massa G com a energia cinética do sistema 
em seu movimento relativo ao sistema Gx’y’z’:
• Princípio do trabalho e energia 
O princípio do trabalho e energia pode ser aplicado a um sistema de 
pontos materiais, bem como a cada ponto, individualmente. Escrevemos:
1 1 2 2T U T→+ =
Em que 2 representa o trabalho de todas as forças agentes no sistema de 
pontos materiais, internas e externas.
• Conservação da Energia 
Se todas as forças agentes no sistema de pontos são conservativas, pode-se 
determinar a energia potencial V' do sistema, valendo, então:
1 1 2 2T V T V+ = +
que expressa o princípio de conservação da energia para o sistema de pontos 
materiais.
• Princípio do impulso e quantidade de movimento 
O princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema de 
pontos materiais pode ser expresso graficamente, como indicado a seguir:
2 ,2
1
1 1
2 2
n
i i
i
T mv m v−
=
= + ∑-
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
7
(17I)
(18I)
(1.1)
GRÁFICO 2 – PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. 
Acesso em: 13 jun. 2019. 
a) b) c)
0
x
(mAvA)1
(mBvB)1
(mCvC)1 (mCvC)2
(mAvA)2 (mBvB)2
+ =
x x
0 0
y y y
2
1
I
t
F dt∑∫
2
1
0
I
t
M dt∑∫
Se nenhuma força externa age no sistema de pontos materiais, os sistemas 
de quantidade de movimento mostrados nas partes a e c do Gráfico 2 são 
equivalentes. Tem-se, portanto:
1 2L L=
0 1 0 2( ) ( )H H=
• O uso dos princípios de conservação na solução de problemas envolvendo 
sistemas de pontos materiais 
Muitos problemas envolvendo o movimento de sistemas de pontos 
materiais podem ser resolvidos pela aplicação simultânea do princípio do 
impulso e quantidade de movimento e o princípio da conservação da energia, ou, 
no caso de forças externas nulas, considerando que a quantidade de movimento, 
o momento angular e a energia se conservam.
2 PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA PARA CORPO RÍGIDO
Vamos pensar que o corpo rígido é baseado em um número bem grande n 
pontos materiais de massas ∆mi. Escrevemos:
1 1 2 2 T U T→+ =
Em que:
T1, T2 = valores inicial e final da energia cinética total dos pontos materiais 
que formam o corpo rígido;
U1→2 = trabalho de todas as forças que agem sobre os vários pontos 
materiais do corpo.
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
8
A energia cinética total:
( ) 21
2
n
i i
i 1
T m v
=
= ∆∑ (1.2)
FIGURA 1 – TRABALHO NULO DAS FORÇAS INTERNAS EM UM CORPO RÍGIDO
FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346-
phpapp01/95/dinmica-de-mquinas-e-vibraes-53-638.jpg?cb=1378905387>. 
Acesso em: 5 jun. 2019.
A expressão U1→2 em (1.1) representa o trabalho de todas as forças que atuam 
nos diversos pontos materiais do corpo, sejam elas forças internas ou externas. 
No entanto, como veremos a seguir, o trabalho total das forças internas de coesão 
entre os pontos materiais de um corpo rígido é nulo. Consideram-se dois pontos 
materiais A e B de um corpo rígido e duas forças opostas F e −F que cada um exerce 
sobre o outro (Equação 1.1). Embora, em geral, os pequenos deslocamentos dr e dr' 
dos dois pontos materiais sejam diferentes, as componentes desses deslocamentos 
projetados sobre AB devem ser iguais; do contrário, os pontos materiais não se 
manteriam a uma distância fixa e o corpo deixaria de ser rígido. 
Portanto, o trabalho de F é igual em módulo e de sinal contrário ao de −F e sua 
soma é nula. Logo, o trabalho total das forças internas que atuam nos pontos materiais de 
um corpo rígido é nulo, e a expressão U
1→2 na Equação 1.1 se reduz ao trabalho das forças 
externas que atuam sobre o corpo durante o deslocamento considerado.
IMPORTANT
E
é obtida somando-se grandezas positivasescalares e é, por isso mesmo, uma 
grandeza escalar positiva.
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
9
(1.3)
(1.4)
ou
Acesse a sugestão de vídeo no seguinte link: https://www.youtube.com/
watch?v=ianpeES0qxA – Princípio Energia-Trabalho/ Mecânica do Corpo Rígido. 
Experiência do carretel.
DICAS
3 TRABALHO DAS FORÇAS QUE ATUAM NUM CORPO RÍGIDO
Vimos que o trabalho de uma força F durante o deslocamento de seu 
ponto de aplicação de A1 para A2 é:
2
1
1 2
A
A
U d→ = •∫ F r
( )2
1
1 2 cos
A
A
U F dsα→ = ∫
Em que F é o módulo da força, α é o ângulo que a força faz com a direção 
do movimento de seu ponto de aplicação A e s é a variável de integração que 
mede a distância percorrida por A ao longo de sua trajetória.
Torna-se muitas vezes adequado estabelecer o trabalho de um binário 
sem considerar separadamente o trabalho de cada uma das duas forças que o 
formam, na estimativa do trabalho das forças externas que operam num corpo 
rígido. Considerem-se as duas forças F e −F, que formam um binário de momento 
M e atuam num corpo rígido (Figura 2). 
FIGURA 2 – TRABALHO DE UM BINÁRIO
FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346-phpapp01/95/
dinmica-de-mquinas-e-vibraes-55-638.jpg?cb=1378905387>. Acesso em: 5 jun. 2019.
https://www.youtube.com/watch?v=ianpeES0qxA
https://www.youtube.com/watch?v=ianpeES0qxA
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
10
No deslocamento do corpo sólido transportando A e B, respectivamente, 
para A' e B", pode ser dividido em duas partes, uma na qual os pontos A e B 
têm deslocamentos iguais drl e outra na qual A' permanece fixo, enquanto B' se 
move para B" com um deslocamento dr2 cujo módulo é ds2 = r dθ. Na primeira 
parte do movimento, o trabalho de F é igual em módulo e de sinal contrário ao 
de −F, acarretando uma soma nula. Na segunda parte do movimento, somente 
a força F produz trabalho, que é igual a dU = F ds2 = Fr dθ. Mas o produto Fr é 
igual ao módulo do momento M do binário. Assim, o trabalho de um binário com 
momento M que atua num corpo rígido é:
(1.5)
(1.6)
(1.7)
dU = M dθ
Em que dθ é o pequeno ângulo, expresso em radianos, que gira o corpo. 
Notamos novamente que o trabalho deve ser expresso em unidades obtidas 
multiplicando a unidade de força pela unidade de comprimento. O trabalho do 
binário durante uma rotação finita do corpo rígido é obtido pela integração de 
ambos os membros da Equação (1.5) desde o valor inicial θ1 do ângulo θ até seu 
valor final θ2. Escrevemos:
2
1
1 2 U Md
θ
θ
θ→ = ∫
Já vimos que diversas forças encontradas em problemas de dinâmica não 
produzem trabalho. São forças aplicadas em pontos fixos ou são perpendiculares aos 
deslocamentos de seus pontos de aplicação. Entre tais forças que não produzem 
trabalho, as seguintes foram citadas: a reação num pino sem atrito quando o corpo 
suportado por ele gira ao seu redor, a reação numa superfície lisa, isto é, quando 
o corpo se move sobre ela, o peso de um corpo quando seu centro de gravidade 
se desloca na horizontal. Deveremos indicar também, agora, que quando um corpo 
rígido rola sem escorregar sobre uma superfície fixa, a força de atrito F no ponto de contato 
C não produz trabalho. A velocidade vC do ponto de contato C é nula, e o trabalho 
da força de atrito F durante um pequeno deslocamento do corpo rígido é:
dU = F dsC = F(vC dt) = 0.
4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM MOVIMENTO 
PLANO
Considere um corpo rígido de massa m em movimento plano. Lembramos 
que, se exprimirmos a velocidade absoluta vi de cada ponto material Pi do corpo 
como a soma da velocidade v do centro de massa G do corpo com a velocidade v'i 
do ponto material em relação ao sistema Gx'y' com origem em G e com orientação 
fixa (Gráfico 3), a energia cinética do sistema de pontos materiais que formam o 
corpo rígido pode ser escrita na forma:
Quando o momento M do binário é constante, a expressão (1.6) se reduz a:
( )1 2 2 1U M θ θ→ = −
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
11
(1.8)
(1.9)
(1.10)
( )2 21 1 '
2 2
n
i i
i 1
T mv m v
=
= + ∆∑
GRÁFICO 3 – VELOCIDADE DO PONTO P
i
 EM FUNÇÃO DA VELOCIDADE DO PONTO G
y
0 x
x'
v'i
v'i
G
(v'i=r'i ω)
ω
vi
v
v
y'
FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346-phpapp01/95/
dinmica-de-mquinas-e-vibraes-57-638.jpg?cb=1378905387>. Acesso em: 5 jun. 2019.
Mas o módulo v'i da velocidade relativa de Pi é igual ao produto r'iω, em 
que r'i é a distância do ponto material Pi ao eixo que passa por G e é perpendicular 
ao plano do movimento, e ω é o módulo da velocidade angular do corpo no 
instante considerado. Substituindo em (1.8), temos: 
2 2 21 1 '
2 2
n
i i
i 1
T mv r m ω
=
 = + ∆ 
 
∑
Ou, como a somatória representa o momento de inércia I do corpo em 
relação ao eixo que passa por G:
2 21 1 
2 2
T mv Iω= +
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
12
Notemos que, no caso particular de um corpo em translação (ω = 0), a 
expressão obtida reduz-se a ½ mv2, enquanto no caso de rotação baricêntrica (v= 0) tem-
se ½.Iω2. Concluímos que a energia cinética de um corpo rígido em movimento plano 
pode ser separada em duas partes: 
(1) a energia cinética ½ m Iω2 associada ao movimento do centro de massa G do corpo; 
(2) a energia cinética ½. Iω2 associada à rotação do corpo em torno de G.
IMPORTANT
E
• Rotação não baricêntrica
A relação (1.10) é válida para qualquer tipo de movimento plano, podendo, 
por isso, ser utilizada para expressar a energia cinética de um corpo rígido que gira 
com uma velocidade angular ω em torno de um eixo fixo que passa por O (Figura 3).
FIGURA 3 – VELOCIDADES EM CASO DE ROTAÇÃO NÃO BARICÊNTRICA
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. 
Acesso em: 13 jun. 2019. 
0
Vi
Pi
ri
ω
Nesse caso, entretanto, a energia cinética do corpo pode ser expressa 
mais diretamente, bastando para isso lembrar-se de que a velocidade vi do ponto 
material Pi do corpo é igual ao produto riω, em que r é a distância de P até o eixo 
fixo e ω é o módulo da velocidade angular do corpo no instante considerado. 
Substituindo em (1.2), pode-se escrever:
( )( )2 2 21 1
2 2
n n
i i i i
i 1 i 1
T m r r mω ω
= =
 = ∆ = ∆ 
 
∑ ∑ (1.11)
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
13
(1.13)
(1.12)
Ou, já que a última somatória em (1.11) representa o momento de inércia 
I0 do corpo em relação ao eixo fixo que passa por O:
Observemos que os resultados obtidos não são limitados ao movimento de 
placas planas ou ao movimento de corpos simétricos em relação ao plano de referência. 
Eles podem ser utilizados no estudo do movimento plano de qualquer corpo rígido, 
qualquer que seja sua forma.
NOTA
• Sistemas de corpos rígidos
Quando um problema envolve vários corpos rígidos, cada corpo pode ser 
considerado separadamente e o princípio do trabalho e energia aplicada a cada 
um. Somando as energias cinéticas de todos os pontos materiais e considerando o 
trabalho de todas as forças envolvidas, podemos também escrever a equação do 
trabalho e energia para todo o sistema. Temos:
1 1 2 2T U T→+ =
21 
2 O
T I ω=
Em que T representa a soma das energias cinéticas dos corpos rígidos que 
formam o sistema (todos os termos são positivos) e U1→2 é o trabalho de todas as 
forças que atuam nos diversos corpos, sejam forças internas ou externas do ponto 
de vista do sistema como um todo.
Problemas que requerem elementos unidos por pinos, blocos e polias presos 
por cordas inextensíveis ou engrenagens acopladas, na soluçãoé especialmente adequado 
o estudo do trabalho e energia. Em todos esses casos, as forças internas aparecem aos pares 
de forças opostas, e os pontos de aplicação das forças em cada par percorrem distâncias 
iguais durante um pequeno deslocamento do sistema. Como resultado, U1→2 se reduz ao 
trabalho das forças externas ao sistema e o trabalho das forças internas é nulo.
NOTA
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
14
5 PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA E POTÊNCIA 
PARA UM SISTEMA DE CORPO RÍGIDO
Vimos anteriormente que o trabalho de forças conservativas, tais como o 
peso de um corpo ou a força exercida por uma mola, pode ser expresso como uma 
variação da energia potencial. Quando um corpo rígido, ou um sistema de corpos 
rígidos, move-se sob a ação de forças conservativas, o princípio do trabalho e 
energia pode ser apresentado numa forma modificada. Substituindo-se o valor 
de U1→2 em (1.1), pode-se escrever:
1 1 2 2 T V T V+ = + (1.14)
A fórmula (1.14) indica que quando um corpo rígido ou um sistema de 
corpos rígidos se movem sob a ação de forças conservativas, a soma das energias 
cinética e potencial do sistema permanece constante. Deve ser observado que, no 
caso do movimento plano de um corpo rígido, a energia cinética dele inclui tanto 
o termo devido à translação ½ mv2, como o termo devido à rotação ½.Iω2.
Como um exemplo da aplicação do princípio da conservação da energia, 
consideremos uma barra delgada AB, de comprimento l e massa m, cujas 
extremidades estão ligadas a blocos de massas desprezíveis, que deslizam ao 
longo de guias horizontal e vertical. Suponhamos que a barra parte do repouso 
na posição horizontal sem velocidade inicial (Figura 4). Queremos determinar 
sua velocidade angular depois que ela girou de um ângulo θ (Figura 4b).
FIGURA 4 – EXEMPLO DA APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA
FONTE: <https://image.slidesharecdn.com/dinmicademquinasevibraes-130911130346-phpapp01/95/
dinmica-de-mquinas-e-vibraes-62-638.jpg?cb=1378905387>. Acesso em: 5 jun. 2019.
a) b)
Nível de referência
B
B v
G
C
l G
θ
l sen θ12
ω
AA
Nível de referência
Sendo nula a velocidade inicial, então T1 = 0. Tomando como referência 
para a medição da energia potencial o nível da guia horizontal, escrevemos V1 = 
0. Após a barra ter girado de um ângulo θ, o centro de gravidade G da barra está 
a uma distância ½.l sen θ abaixo do nível de referência, e temos:
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
15
2
1 1
2 2
V Plsen mglsenθ θ= − = −
Observando que nessa posição o centro instantâneo de rotação da barra 
está localizado em C e que CG = ½.l, pode-se escrever v2= ½.lω e obtemos:
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 
2 2 2 2 2 12 2 3
mlT mv I m l mlω ω ω ω   = + = + =   
   
Aplicando o princípio da conservação da energia, resulta em:
1 1 2 2 T V T V+ = +
2
2
2
1 10
2 3 2
ml mglsenω θ= −
1/2
2
3g sen
l
ω θ =  
 
Lembramos que as vantagens do método do trabalho e energia, bem como 
suas deficiências, foram mencionadas. 
Queremos apenas complementar dizendo que o referido método deve ser 
aplicado com o Princípio de d'Alembert quando se quer determinar reações em eixos 
fixos, em roletes ou em blocos deslizantes. Você pode conhecer mais sobre o princípio de 
d'Alembert consultando o seguinte site: 
https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/profmat/DISSMES/T2014/14dissT2014cap.pdf
DICAS
Por exemplo, para calcular as reações nas extremidades A e B da barra 
da Figura 4b, deve-se traçar um diagrama para expressar a equivalência entre 
o sistema formado pelas forças externas aplicadas na barra e o sistema formado 
pelo vetor ma a e o momento Iα. A velocidade angular ω da barra, contudo, é 
determinada pelo método do trabalho e energia, antes de se resolverem as equações 
do movimento em função das reações. A análise completa do movimento da barra 
e das forças exercidas sobre ela exige, portanto, o uso combinado do método do 
trabalho e energia com o princípio da equivalência das forças externas e efetivas.
https://ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/profmat/DISSMES/T2014/14dissT2014cap.pdf
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
16
6 POTÊNCIA
Estabelece-se potência como sendo o trabalho na unidade de tempo. No 
caso de um corpo sujeito à ação de uma força F e movendo-se com uma velocidade 
v, a potência foi expressa como segue:
 Potência dU
dt
= = •F v (1.15)
(1.16)
No caso de um corpo rígido girando com uma velocidade angular ω e sob 
a ação de um binário de momento M paralelo ao eixo de rotação, temos:
 Potência dU Md M
dt dt
θ ω= = =
A unidade utilizada para medir a potência, o watt, foi definida.
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
17
DINÂMICA DA PARTÍCULA: FORÇA E ACELERAÇÃO
Neste capítulo será analisada a lei de Newton na sua forma diferencial, 
aplicada ao movimento de partículas. Nesta forma a força resultante das forças 
aplicadas numa partícula está relacionada com a sua aceleração.
[...]
2.1 LEIS DE NEWTON PARA MOVIMENTOS
 A mecânica vetorial está baseada na teoria de Newton, apresentada 
originalmente em 1687. Newton utilizou para o desenvolvimento de sua teoria 
os trabalhos de outros cientistas que o precederam, especialmente de Galileo e de 
Kepler. Através de experimentos práticos, Galileo demonstrou alguns princípios 
do movimento dos corpos. Entretanto Newton foi o primeiro a estabelecer de uma 
forma sistemática um conjunto de leis gerais para o estudo desses movimentos. 
Estas leis foram formuladas inicialmente para partículas simples, assumindo 
a existência de sistemas de referência, em relação aos quais são válidas. Estes 
sistemas de referência, chamados sistemas inerciais ou galileanos, formam um 
conjunto especial de sistemas de referência que estão em repouso ou em movimento 
retilíneo uniforme, um em relação ao outro. Na mecânica newtoniana um sistema 
inercial é definido como aquele que está em repouso ou em movimento uniforme 
em relação a uma suposta posição média de estrelas fixas e distantes. Entretanto, 
para muitos objetivos práticos é possível adotar como inercial um sistema fixo 
ao sistema solar. Em muitas aplicações da engenharia é possível adotar como 
inercial um sistema de referência fixo à superfície da terra. Newton enunciou suas 
leis como axiomas do movimento, hoje apresentadas da seguinte forma:
Primeira lei: Uma partícula se move em linha reta com velocidade constante 
quando não há forças atuando sobre ela. 
Uma partícula é a idealização de um corpo material cujas dimensões são 
muito pequenas quando comparadas com as distâncias a outros corpos e cujo 
movimento relativo entre seus pontos não é relevante para o movimento do 
corpo. Matematicamente estes corpos são representados por massas pontuais.
Sendo FR a força resultante numa partícula e v a sua velocidade em relação 
a um referencial inercial, a primeira lei pode ser estabelecida por:
LEITURA COMPLEMENTAR
0 0R
dvF
dt
= ⇒ =
Segunda lei: Uma partícula se move de maneira tal que a força resultante a ela 
aplicada é igual à derivada em relação ao tempo da quantidade de movimento linear.
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
18
A quantidade de movimento linear, ou simplesmente quantidade de 
movimento, é definida como o produto da massa pela velocidade, ou seja, igual a 
mv. Assim a segunda lei pode ser dada por:
( )
R
d mvF
dt
=
Sendo constante a massa da partícula, então a equação (2.2) pode ser 
escrita como:
( )
R
d mvF ma
dt
= =
Terceira lei: Quando duas partículas atuam uma sobre a outra, as forças de 
interação correspondentes situam-se sobre a linha que une estas partículas; são iguais em 
módulo e de sentidos contrários.
Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Indicando por FAB 
a força exercida pela partícula A sobre a partícula B e FBA a força que a partícula 
B exerce em A, a terceira lei pode ser estabelecida matematicamente por:
AB BAF F= −
Newton também propôs uma lei para reger a atração mútua entre duas 
partículas,denominada Lei de Newton da Atração Gravitacional, dada por:
2
2
l
G
m mF G
r
=
Em que:
FG é força de atração entre as duas partículas
G = 66,73 (10-12) m3/(kg.s2) é uma constante universal de gravitação
m1, m2 são as massas de cada uma das partículas
r é a distância entre as partículas
Analisando a lei dada por (2.5) poderemos considerar como desprezível 
esta força quando se trata da atração entre dois corpos sobre a terra. Se 
considerarmos, por outro lado, a atração que a terra exerce sobre um corpo em 
sua superfície, pode-se mostrar que esta força é dada por:
2
MmW G mg
R
= =
TÓPICO 1 | PRINCÍPIO DE TRABALHO E ENERGIA
19
Em que:
W é a força de atração entre a terra e o corpo, denominada peso
M é a massa da terra
R é igual ao raio da terra
m é a massa corpo na superfície da terra
é denominada aceleração da gravidade2
Mg G
R
=
Esta constante de fato varia ao longo da superfície da terra, mas estas 
variações são consideradas pequenas na maioria das aplicações em engenharia. 
Os valores de referência adotados universalmente são: g = 9,81 m/s2 ou 32,2 ft/s2.
[...]
Você poderá ler o texto na íntegra se desejar, consultando a referência a seguir.
FONTE: <https://docplayer.com.br/9207329-Capitulo-2-dinamica-da-particula-forca-e-aceleracao.
html>. Acesso em: 13 jun. 2019.
https://docplayer.com.br/9207329-Capitulo-2-dinamica-da-particula-forca-e-aceleracao.html
https://docplayer.com.br/9207329-Capitulo-2-dinamica-da-particula-forca-e-aceleracao.html
20
Neste tópico, você aprendeu que:
• A primeira equação determina o movimento do centro de massa G do corpo:
• Reduzindo nossa análise, a partir deste ponto, ao movimento plano de placas 
rígidas e corpos rígidos simétricos em relação a um plano de referência, 
apresentamos que o momento angular do corpo pode ser escrito como:
RESUMO DO TÓPICO 1
F maΣ = (1.1R)
(1.2R)
(1.3R)
(1.4R)
 Em que m é a massa do corpo e a, a aceleração de G. A segunda equação 
está relacionada com o movimento do corpo relativamente a um referencial 
baricêntrico:
 Em que HG é a derivada temporal do momento angular HG do corpo em relação 
ao seu centro de massa G. As equações 1.1R e 1.2R, em conjunto, nos dizem que 
o sistema de forças externas é equipolente ao sistema consistindo num vetor 
mα ligado a G e um binário de momento HG.
GH Iω=
Em que I e o momento de inércia do corpo em relação a um eixo 
baricêntrico perpendicular ao plano de referência e w a velocidade angular do 
corpo. Derivando ambos os membros da Equação (1.3R), obtemos:
. .
GH I Iω α= =
Esta equação evidencia que, no caso específico visto aqui, a derivada 
temporal do momento angular do corpo rígido pode ser descrita por um vetor de 
mesma direção e sentido que a (isto é, normal ao plano de referência).
• Do apresentado anteriormente deduz-se que o movimento plano de uma placa 
rígida ou de um corpo rígido simétrico em relação a um plano de referência é 
definido pelas três equações escalares:
G GM HΣ =
.
21
(1.5R)
(1.6R)
(1.7R)
• Sobre o Princípio de d’Alembert podemos entender que as forças externas 
agentes no corpo rígido são de fato equivalentes às forças efetivas sobre os 
vários pontos materiais que compõem o corpo. Este resultado, conhecido como 
Princípio de d’Alembert, pode ser expresso através de um diagrama vetorial, 
em que as forças efetivas estão representadas por um vetor m.a, com origem 
no centro de massa G, e um momento de binário Ia. No caso particular de 
uma placa em translação, as forças efetivas se reduzem a um único vetor m.a, 
enquanto no caso de rotação baricêntrica, as forças efetivas se reduzem apenas 
a um binário Iα. Em qualquer outro caso de movimento plano, ambos os vetores 
devem ser incluídos.
• A equação de diagrama de corpo livre pode ser usada para resolver qualquer 
problema sobre movimento de uma placa rígida. Três equações de movimento 
podem ser obtidas ao se igualarem as componentes x e y e os momentos (em 
relação a um ponto arbitrário A) das forças e vetores envolvidos. Uma solução 
alternativa também pode ser obtida pela adição as forças externas de um vetor 
de inércia (de sentido oposto ao de a e com origem em G) e um binário de 
inércia (de sentido oposto ao de a. O sistema obtido desta maneira é equivalente 
a zero, e diz-se que a placa se encontra em equilíbrio dinâmico.
• O movimento plano de vários corpos rígidos unidos entre si pode ser resolvido 
pelo método descrito anteriormente. Traça-se um diagrama de corpo livre para 
cada parte do sistema e se resolve, simultaneamente, o conjunto de equações 
de movimento obtidos dos diagramas. 
• O movimento de corpos rígidos submetidos a certos vínculos foi tratado na 
segunda parte da unidade. Embora a análise da dinâmica do movimento plano 
vinculado de uma placa rígida seja idêntica àquela discutida acima, é necessário 
complementá-la com uma análise cinemática que tem como objetivo expressar 
os componentes da aceleração do centro de massa G da placa em termos da sua 
aceleração angular a. 
• Desenvolvemos o princípio do trabalho e energia em um corpo rígido, no tipo:
1 1 2 2T U T→+ =
Em que T1 e T2 representam os valores inicial e final da energia cinética do corpo 
rígido e U1→2 o trabalho das forças externas nele agentes.
• A relação para o trabalho de uma força F adotada ao ponto A:
2
1
1 2 ( cos )
A
A
U F dsα→ = ∫
x yx y GF ma F ma M IαΣ = Σ = Σ −__
22
Em que F é a intensidade da força, α, o ângulo entre a força e o deslocamento de 
A, e s é a variável de integração medindo a distância percorrida por A ao longo de 
sua trajetória. Deduzimos, também, uma expressão para o trabalho de um binário 
de momento M aplicado a um corpo rígido durante uma rotação de um ângulo θ.
• A relação da energia de movimento de um corpo rígido no movimento plano é 
escrita como:
2
1
1 2U Md
θ
θ
θ→ = ∫ (1.8R)
(1.9R)
(10R)
(1.11R)
Em que o primeiro termo é a velocidade do centro de massa G do corpo, 
o segundo termo a sua velocidade angular e I seu momento de inércia em relação 
a um eixo G e perpendicular a um plano de referência. Notamos que a energia 
cinética de um corpo rígido no movimento plano pode ser decomposta em dois 
termos: (1) a energia cinética associada ao movimento do centro de massa G e (2) 
a energia cinética associada à rotação em torno de G.
• Considerando um corpo fixo girando em torno de um ponto fixo por um ponto 
O, com certa velocidade angular, vale a equação:
2
0
1
2
T I ω=
Reparamos que a solução anteriormente não se restringe ao movimento 
de placas planas ou corpos simétricos em comparação a um plano de referência. 
O resultado é válido, independentemente da forma do corpo ou da localização 
do eixo de rotação.
• Caso um corpo rígido ou um sistema de corpos rígidos esteja sujeito a forças 
conservativas, o princípio do trabalho e energia tolera ser evidenciada na forma:
1 1 2 2T V T V+ = +
Passando a ser denominado princípio da conservação da energia. 
Este princípio pode ser usado para resolver problemas envolvendo a força 
gravitacional ou a força de uma mola. Todavia, quando se deseja determinar uma 
força de reação, o princípio da conservação da energia deve ser suplementado 
pelo princípio de D’Alembert.
2 21 1
2 2
T mv Iω= +-
23
(1.12R)
• Acrescentamos o conceito sujeito a um binário de potência considerando a 
rotação de um corpo:
 Potência dU Md M
dt dt
θ ω= = =
Em que M é o modulo do momento do binário. 
24
1 Quando a velocidade do veículo mostrado na figura era de 9,00 m/s, 
aplicaram-se os freios bruscamente, fazendo com que as quatro rodas 
parassem de girar. Observou-se que o veículo derrapou 6,00 m antes de 
parar. Determine o módulo da reação normal e da força de atrito em cada 
roda enquanto o veículo derrapava.
2 A placa ABCD de 8,00 kg está sustentada pelas barras articuladas AE e DF e 
pelo fio B1L. Desprezando as massas de AE e DF, determine imediatamente 
após o corte de BII: 
a) a aceleração dt > centro de massa da placa; 
b) n força em cada barra.
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_
pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_
pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
AUTOATIVIDADE
1,2 m
1,5 m 2,1 mA
G
B
500 mm
30°
30°
200 mm
150 mmE
F
CD
A
H
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
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25
3 Uma roldana pesando 53,4 N e tendo raio de giração de 0,203 m está ligada a 
dois blocos, como ilustra a figura a seguir. Supondo que não exista atrito no 
eixo, determine a aceleração angular da roldana e aceleração de cada cilindro.
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_
pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
0,152 m
0,254 m
44,5 N
22,2 N
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
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26
27
TÓPICO 2
PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Usaremos neste tópico princípio do impulso e quantidade de movimento para 
estudar o movimento plano de corpos rígidos e de mecanismos de corpos rígidos. 
Na solução de problemas envolvendo tempo e velocidades foi mostrado 
que o método do impulso e quantidade de movimento é particularmente útil. 
Além disso, o princípio do impulso e quantidade de movimento fornece o único 
método viável para a solução de problemas envolvendo colisões. Bons estudos!
2 PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DO MOVIMENTO 
PLANO DE UM CORPO RÍGIDO
Lembremo-nos de que o sistema formado pelas quantidades de movimento 
dos pontos materiais no instante t1 e o sistema dos impulsos das forças externas 
aplicadas de t1 até t2 são, em conjunto, equipolentes ao sistema formado pelas 
quantidades de movimento dos pontos materiais no instante t2,, considerando 
mais uma vez um corpo rígido como composto por um enorme número de 
pontos materiais Pi. Como os vetores associados a um corpo rígido podem ser 
considerados como vetores deslizantes, segue-se que os sistemas de vetores 
ilustrados na Gráfico 4 não são somente equipolentes, mas verdadeiramente 
equivalentes, no sentido em que os vetores do lado esquerdo do sinal de igualdade 
podem ser transformados nos vetores do lado direito através da utilização das 
operações fundamentais. 
GRÁFICO 4 – PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
PARA UM CORPO RÍGIDO
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. 
Acesso em: 13 jun. 2019. 
y y y
0 a)
(viΔmi)1
(viΔmi)2∫F dt
b) c)0 0
x x x
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
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UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
28
Escrevemos, portanto:
Sist. Quant. Movimento1 + Sistema de Imp. Externos1→2 = Sist. Quant. 
Movimento2
Mas as quantidades de movimento vimi dos pontos materiais podem ser 
reduzidas a um vetor ligado a G, igual à soma deles:
n
i i
i 1
m
=
= ∆∑L v (1.17)
(1.18)
E a um vetor igual à soma dos momentos em relação a G:
n
G i i
i 1
' m
=
= × ∆∑ iH r v
Lembramos que L e HG definem, respectivamente, a quantidade de 
movimento e o momento angular em relação a G do sistema de pontos materiais 
que formam o corpo rígido. Observamos também da Equação que L = mv. Por 
outro lado, restringindo a presente análise ao movimento plano de uma placa 
rígida ou de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência, 
lembramos da equação que HG = Iω. 
IMPORTANT
E
Assim, concluímos que o sistema de quantidades de movimento vi∆mi 
é equivalente ao vetor quantidade de movimento mv ligado a G e ao vetor momento 
angular Iω.
O sistema das quantidades de movimento reduz-se ao vetor mv no caso 
particular de uma translação (ω = 0) e ao momento Iω, no caso particular de uma 
rotação baricêntrica (v = 0), verificamos uma vez mais que o movimento plano de 
um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência pode ser decomposto 
numa translação do centro de massa G e numa rotação em torno de G.
Substituindo o sistema das quantidades de movimento nas partes a e c 
do Gráfico 4 pelo vetor quantidade de movimento equivalente e pelo momento 
angular, obtemos os três diagramas ilustrados na Figura 5. Essa figura expressa 
graficamente a relação fundamental (1) no caso do movimento plano de uma 
placa rígida ou de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de referência.
TÓPICO 2 | PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE 
29
FIGURA 5 – PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
FONTE: <https://player.slideplayer.com.br/5/1596237/data/images/img4.jpg>.
Acesso em: 5 jun. 2019.
a) b) c)
mv1
mv2
Diagrama da
quantidade de
movimento incial
Diagrama de
quantidade de
movimento final
Diagrama
de impulso
∑∫ F dt
Três equações de movimento podem ser deduzidas da Figura 5. Duas 
equações são obtidas pela soma e comparação das componentes x e y das quantidades 
de movimento e impulsos e a terceira pela soma e comparação dos momentos 
desses vetores em relação a qualquer ponto dado. Os eixos coordenados escolhidos 
podem ser fixos no espaço ou podem mover-se com o centro de massa do corpo, 
mas mantendo direções fixas. Em ambos os casos, o ponto em relação ao qual os 
momentos são tomados deve manter a posição em relação aos eixos coordenados 
durante o intervalo de tempo considerado. Por exemplo, esta condição não se 
aplica ao centro de massa G1 do sistema, não é necessária em geral. 
Na dedução das três equações do movimento de um corpo rígido 
deve-se tomar cuidado para não somar indiscriminadamente quantidades de 
movimento e momentos angulares. Para evitar confusão basta lembrar que mvx e 
mvy representam as componentes de um vetor, vetor quantidade de movimento mv, 
enquanto Iù representa o módulo de um momento, momento angular Iù. 
Assim, a quantidade Iω deve ser adicionada somente ao momento da 
quantidade de movimento mv e nunca ao vetor em si ou as suas componentes. Todas as 
quantidades envolvidas serão expressas nas mesmas unidades, ou seja, N . m . s.
ATENCAO
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
30
• Giro não baricêntrico 
O movimento plano, nessa condição própria,o módulo da velocidade do 
centro de massa do corpo é v = rω, em que r representa a distância do centro de massa 
ao eixo fixo de rotação e ω a velocidade angular do corpo no instante considerado; o 
módulo do vetor quantidade de movimento ligado a G é, então, mv = mrω. 
FIGURA 6 – ROTAÇÃO NÃO BARICÊNTRICA
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf>. 
Acesso em: 13 jun. 2019. 
F2
F3
F4
F1
G
a) b)
G
Iα
Adicionando os momentos em relação a O do vetor quantidade de 
movimento e o momento angular (Figura 6) e utilizando o teorema dos eixos 
paralelos para os momentos de inércia, verificamos que o momento angular HG 
do corpo em relação a O tem o módulo:
(1.19)
(1.20)
Igualando os momentos em relação a O, da quantidade de movimento e 
dos impulsos, obtemos: 
2
1
0 1 0 0 2
t
t
I M dt Iω ω+Σ =∫
No caso geral do movimento plano de um corpo rígido simétrico em 
relação ao plano de referência, a Equação (1.20) pode ser utilizada em relação ao 
eixo instantâneo de rotação, sob certas exigências.
2
0( ) ( )I mr r I mr Iω ω ω ω+ = + =- - -
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TÓPICO 2 | PRINCÍPIO DE IMPULSO E QUANTIDADE 
31
Recomenda-se, contudo, que todos os problemas de movimento plano sejam 
resolvidos pelo método geral descrito anteriormente. A Equação (1.20), em geral, não é 
válida em relação ao eixo instantâneo de rotação.
IMPORTANT
E
3 SISTEMAS DE CORPOS RÍGIDOS
Aplicando o princípio do impulso e quantidade de movimento a cada 
corpo isoladamente é possível o estudo do deslocamento de muitos corpos 
rígidos. Todavia, na resolução de problemas que não envolvem mais do que três 
incógnitas (incluindo os impulsos e reações desconhecidas), torna-se muitas vezes 
mais conveniente aplicar o princípio do impulso e quantidade de movimento ao 
sistema como um todo. No entanto, algumas recomendações são necessárias:
1) Os diagramas da quantidade de movimento e do impulso são traçados para 
todo o sistema de corpos. 
2) Os diagramas das quantidades de movimento devem incluir um vetor 
quantidade de movimento, um momento angular, ou ambos, para cada parte 
móvel do sistema. 
3) Os impulsos das forças internas do sistema podem ser omitidos do diagrama de 
impulso, visto que ocorrem como pares de vetores opostos e de mesmo módulo. 
4) Somando e igualando sucessivamente as componentes x, as componentes y e os 
momentos de todos os vetores envolvidos, obtêm-se três relações que traduzem 
o fato de que as quantidades de movimento no instante t1 e os impulsos das 
forças externas formam um sistema equipolente ao sistema das quantidades de 
movimento no instante t2. 
Novamente deve-se ter cuidado para não somar indiscriminadamente 
quantidades de movimento e momentos angulares; cada equação deve ser verificada 
para se ter certeza de que utilizaram unidades consistentes. Observe que a soma H
A 
dos momentos, em relação a um ponto arbitrário A das quantidades de movimento dos 
pontos materiais de uma placa rígida, não é, em geral, igual a I
Aω.
ATENCAO
UNIDADE 1 | MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS
32
4 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR
Os impulsos das forças externas são inexistentes, caso nenhuma força 
externa aja ao longo de um corpo rígido ou um sistema de corpos rígidos, e o 
arranjo de quantidades de movimento no instante t1 é equipolente ao sistema de 
quantidades de movimento no instante t2. Somando e igualando sucessivamente 
as componentes x e as componentes y e os momentos das quantidades de 
movimento nos instantes t1 e t2, concluímos que a quantidade de movimento total 
do sistema é conservada em qualquer direção e que seu momento angular total 
é conservado em relação a qualquer ponto. Visto que não estamos tratando com 
um corpo rígido único, não podemos falar de sistemas equivalentes.
Há muitas aplicações em engenharia, entretanto, em que a quantidade de 
movimento não é conservada, embora o momento angular HO do sistema em relação a 
um dado ponto O se conserve: 
( ) ( )1 2O O=H H (1.21)
Tais casos ocorrem quando as retas de ação de todas as forças externas 
passam por O ou, mais geralmente, quando a soma dos impulsos angulares das 
forças externas em relação a O é nula.
Problemas que envolvem conservação do momento angular em relação ao 
ponto O podem ser resolvidos pelo método geral do impulso e quantidade de 
movimento, isto é, traçando os diagramas da quantidade de movimento e do 
impulso. A equação (1.21) é então obtida somando-se e igualando-se os momentos 
em relação a O.
33
(1.12R)
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Utilizamos o princípio do impulso e quantidade de movimento para um sistema 
de pontos materiais ao movimento de um corpo rígido. Podemos assim formular:
• Para certa placa rígida ou um corpo rígido simétrico em relação a um plano 
de referência, o sistema de quantidades de movimento dos pontos do corpo 
é semelhante a um vetor m com início no centro de massa G e a um vetor 
momento I . O vetor mv está associado à translação do corpo com a velocidade 
do centro de massa G, e igual à quantidade de movimento do corpo. 
• Somando e subtraindo, respectivamente, as componentes x, as componentes y e 
os momentos, em relação a um dado ponto dos vetores, obtemos três equações 
de movimento, que podem ser resolvidos.
• Nas questões contendo muitos corpos rígidos ligados, cada corpo pode ser 
analisado particularmente ou, se não há mais do que três incógnitas, o princípio 
do impulso e quantidade de movimento pode ser aplicada ao sistema como 
um conjunto, considerando somente os impulsos das forças externas.
• Sobre a conservação do momento angular, caso as retas de ação de quaisquer 
forças externas geradores num sistema de corpos rígidos atuarem por um dado 
ponto O, o momento angular do conjunto, em relação a O, se conservará.
Sist. Quant. Movimento1 + Sistema de Imp. Externos1→2 =
Sist. Quant. Movimento2
34
1 Certo bloco com 1,07 x 10 N de peso está pendurado por meio de um fio 
inextensível envolto em um tambor com 0, 381 m de raio, ligado severamente 
a um volante. O conjunto tambor-volante tem um momento de inércia 
baricêntrico l = 14,2 kg.m2. No instante considerado, a velocidade do bloco é 
de 1,83 m/s para baixo. Sabendo-se que o mancal em A está mal lubrificado 
e que o atrito produzido nele é equivalente a um binário de momento M 
com intensidade de 81,4 N.m, determine a velocidade do bloco após ter 
descido 1,22 m.
2 A engrenagem A tem uma massa de 10 kg e um raio de giração de 200 mm, 
enquanto a engrenagem B tem uma massa de 3 kg e um raio de giração de 
80 mm. O sistema está em repouso quando um momento M de módulo de 
6 N.m é aplicado na engrenagem B, desprezando o atrito, determine:
a) o número de revoluções executadas pela engrenagem B antes de sua 
velocidade angular atingir 600 rpm; 
b) a força tangencial que a engrenagem B exerce sobre A.
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_
pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_
pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019.
AUTOATIVIDADE
0,381 m
1,07 kN
TA = 250 mm
TB = 100 mm
B
A
M
https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_pdf
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35
3 Uma esfera, um cilindro e um anel, todos com a mesma massa e o mesmo raio, 
são liberados do repouso num plano inclinado. Determine a velocidade de cada 
corpo após ter rolado um intervalo equivalente a uma diferença k na altura.
FONTE: <https://kupdf.net/download/livro-mec-acirc-nica-vetorial-para-engenheiros-cinem-
aacute-tica-e-din-acirc-mica-5-ordf-edi-ccedil-atilde-o-beer_58e3e7afdc0d60496ada980e_
pdf>. Acesso em: 13 jun. 2019
C
ω
v
r
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36
37
UNIDADE 2
DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS 
EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• introduzir os métodos para a determinação dos momentos de inércia e 
dos produtos de inércia de um corpo em relação a vários eixos;
• mostrar como aplicam-se os princípios do trabalho e energia e da 
quantidade de movimento/momento angular a um corpo rígido em 
movimento tridimensional;
• desenvolver e aplicar as equações de movimento em três dimensões;
• estudar o movimento de um giroscópio e o movimento livre de torques.
Esta unidade está dividida em dois tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E 
 QUANTIDADE DE MOVIMENTO
TÓPICO 2 – MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO
38
39
TÓPICO 1
APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO
E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
UNIDADE 2
1 INTRODUÇÃO
Na Unidade 1 nos dedicamos ao movimento plano de corpos rígidos e de 
sistemas de corpos rígidos. Sobre o método da quantidade de movimento, nosso 
estudo limitou-se ao de placas planas e de corpos simétricos em relação a um plano 
de referência. Contudo, muitos resultados fundamentais obtidos permanecem 
válidos no caso do movimento de um corpo rígido em três dimensões. Como 
exemplo, temos as duas equações elementares:
(2.1)
(2.2)
F maΣ =
nas quais a análise do movimento plano de um corpo rígido foi baseada, 
permanecem válidas no caso mais geral de movimento de um corpo rígido. As 
equações nos dizem que o sistema de forças externas é equipolente ao sistema 
composto do vetor ma associado a G e do binário de momento HG.
FIGURA 1 – MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO
FONTE: <https://dokumen.tips/documents/aula-01-movimento-de-corpo-rigido-forcas-e-
aceleracao.html>. Acesso em: 5 jun. 2019.
F1
F4
F3
HG
ma
F2
G GM HΣ =
.
UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL
40
Deixa de ser válida no caso de movimento de corpos não simétricos ou 
movimentos tridimensionais, a equação HG = Iw, que nos possibilita estabelecer 
o momento angular de uma placa rígida e que desempenhava parte importante 
na solução dos problemas envolvendo movimento plano de placas e corpos 
simétricos em relação a um plano de referência.
Desenvolver-se-á, portanto, um método mais geral para o cálculo do 
momento angular HG de um corpo rígido, em três dimensões. Isto é, permanece 
válido o importante enfoque do tratamento do impulso e quantidade de 
movimento discutido anteriormente.
Avistamos ainda que o princípio do trabalho e energia e o princípio de 
conservação da energia também são utilizados no problema do movimento de 
um corpo rígido em três dimensões. Entretanto, a relação obtida para a energia 
cinética de um corpo rígido em movimento plano será substituída por outra, para 
o movimento de um corpo rígido em três dimensões.
No segundo tópico, analisaremos utilizando um sistema de referência em conexão 
em que os momentos e os produtos de inércia permanecem constantes, como estabelecer 
a derivada do momento angular H
G
 de um corpo rígido tridimensional. Mostraremos, assim, 
as equações (2.1) e (2.2) no modo de equações de diagrama de corpo livre, que podem ser 
aplicadas para esclarecer vários problemas envolvendo o movimento tridimensional de corpos 
rígidos. A última matéria é atenta ao aprendizado de um corpo simétrico com um ponto fixo, 
localizado no eixo de simetria, ou seja, do movimento de um giroscópio.
ESTUDOS FU
TUROS
Consideraremos o caso particular do movimento de um corpo simétrico 
sob a ação apenas de seu peso e da precessão estacionária de um giroscópio.
2 MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO TRIDIMENSIONAL
O momento angular HG de um corpo, em relação ao seu centro de massa 
G, será determinado a partir de sua velocidade angular (o, no caso do movimento 
tridimensional).
O momento angular do corpo em relação a G pode ser apresentado da 
seguinte maneira:
1
( ' ' )
n
G i i i
i
H r x v m
=
= ∆∑ (2.3)
TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
41
GRÁFICO 1 – SISTEMA DE REFERÊNCIA BARICÊNTRICO G
XYZ
FONTE: O autor
y
y'
z
z'
x
r'i
G
Pi
miVi
O
x'
Em que r´i e v`i representam, respectivamente, o vetor de posição e a 
velocidade do ponto material Pi de massa em relação ao sistema de referência 
baricêntrico Gxyz (Gráfico 1). Mas v’i = w x r`i, em que w é a velocidade angular do 
corpo no instante considerado. Combinando em (2.3), temos:
1
[ ' ( ' ) ]
n
G i i i
i
H r x x r mω
=
= ∆∑
A regra para o cálculo das componentes retangulares de um produto 
vetorial será aplicada para conseguirmos a seguinte relação para a componente x 
do momento angular:
1
1
2 2
[ ( ' ) ( ' ) ]
[ ( ) ( )]
( )
n
i i i i y i
i z
n
i x i y i i z i x i i
i
x i i i y i i i z i i i
i i i
Hx y x r z x r m
y y x z x z m
y z m x y m z x m
ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
=
=
= − ∆
= − − − ∆
= + ∆ − ∆ − ∆
∑
∑
∑ ∑ ∑
Trocando as somatórias por integrais, nesta relação e nas duas análogas 
obtidas em Hy e Hz, temos:
UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL
42
2 2
2 2
2 2
( )
( )
( )
x x y z
y x y z
z x y z
H y z dm xy dm xz dm
H xy dm z x dm yz dm
H zx dm yz dm x y dm
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
= + − −
= − + + −
= − − + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
Distinguimos que as integrais que contêm quadrados consistem 
os momentos de inércia baricêntricos (ou centrais) do corpo em relação, 
respectivamente, aos eixos x, y e z. Denotamos:
2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )x y zI y z dm I z x dm I x y dm= + = + = +∫ ∫ ∫
As integrais que contêm produtos de coordenadas consistem nos produtos 
de inércia baricêntricos (ou centrais) do corpo. Indicamos:
xy yz zxI xy dm I yz dm I zx dm= = =∫ ∫ ∫
Trocando (2.5) e (2.6) em (2.4), conseguimos as componentes do momento 
angular HG do corpo em dependência ao seu centro de massa G:
GRÁFICO 2 – TRANSFORMAÇÃO DO VETOR W NO VETOR H
G
FONTE: <https://dokumen.tips/documents/capitulo-2-analise-dinamica-do-movimento-de-
rotacao2.html>. Acesso em: 5 jun. 2019.
Z
O
Y
y ω
X
z
x
HG
x xy x zx x y z
yx y yzy x x z
zy zy zz x y z
H I I I
H I I I
H I I I
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
= + − −
= − + −
= − − +zx
https://dokumen.tips/documents/capitulo-2-analise-dinamica-do-movimento-de-rotacao2.htmlhttps://dokumen.tips/documents/capitulo-2-analise-dinamica-do-movimento-de-rotacao2.html
TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
43
(2.8)
(2.9)
(2.10)
As equações (2.7) indicam que o procedimento que converte o vetor w no 
vetor HG (Gráfico 2) é discernida pela matriz de momentos e produtos de inércia:
x xy xz
yx y yz
zx zy z
I I I
I I I
I I I
− −
− −
− −
A matriz (2.8) retrata o tensor de inércia do corpo relacionado ao seu centro 
de massa G. Caso um sistema de eixos distintos fosse empregado, conseguiria ser 
obtida uma matriz diferente, de momentos e produtos de inércia. A transformação 
caracterizada por esta nova matriz, entretanto, seria ainda a mesma. 
É evidente que para uma dada velocidade angular w, o correspondente 
momento angular HG é independente da escolha dos eixos de coordenadas.
 Como foi mostrado, é sempre possível escolher um sistema de eixos Gx`’y’z` 
chamados eixos principais de inércia, em relação aos quais todos os produtos 
de inércia de um dado corpo são nulos. A matriz (2.8) toma então a forma 
diagonalizada:
'
'
'
0 0
0 0
0 0
x
y
z
I
I
I
Em que Ix, Iy, e Iz representam os momentos centrais de inércia do corpo 
e as relações (2.7) reduzem-se a:
' ' '' ' ' ' ' 'x y zx x y y z zH I H I H Iω ω ω= = =
Notemos que, se os três momentos centrais de inércia Ix, Iy, e Iz são similares, 
as componentes Hx` Hy` e Hz` dos momentos angulares em comparação a G são 
proporcionais às componentes wx, wy, wz das velocidades angulares, e os vetores HG 
e w são colineares. Porém, em maior parte, os momentos centrais de inércia serão 
distintos, e os vetores HG e w apresentarão direções diferentes, salvo quando ocorrer 
que duas das três componentes de w fiquem nulas, isto é, quando w for voltado ao 
longo de um dos eixos coordenados. Assim, o momento angular HG de um corpo 
rígido e sua velocidade angular w têm a mesma direção se, e somente se, w está 
orientado ao longo de um eixo principal de inércia. Como esta condição é satisfeita 
no caso do movimento plano de um corpo rígido simétrico em relação ao plano de 
referência, podemos representar o momento angular HG de tal corpo por um vetor w.
UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL
44
Devemos compreender, porém, que este resultado não pode ser estendido 
ao caso do movimento plano de um corpo não simétrico ou ao caso do movimento 
tridimensional de um corpo rígido. A não ser na qual w está disposto ao longo de um eixo 
dominante de inércia, o momento angular e a velocidade angular de um corpo rígido têm 
direções desiguais, e a relação (2.7) ou (2.10) deve ser usada para estabelecer H
G
 a partir de w.
ATENCAO
GRÁFICO 3 – MOMENTO ANGULAR DO CORPO EM RELAÇÃO A G
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
HG
Z
O
r
Y
L = mv
X
O Gráfico 3 nos mostra uma diminuição das quantidades de movimento 
e dos momentos angulares dos pontos materiais de um corpo rígido a um vetor 
quantidade de movimento e a um momento em dependência a G. O sistema 
formado pelas quantidades de movimento e pelos momentos angulares dos vários 
pontos materiais de um corpo rígido pode ser reduzido a um vetor L com origem 
no centro de massa G do corpo, representando a quantidade de movimento total, 
e a um momento HG, representando o momento angular do corpo em relação a G. 
Estamos agora em condições de determinar o vetor L e o momento H no 
caso mais geral de movimento tridimensional de um corpo rígido. Como no caso 
plano, a quantidade de movimento L é igual ao produto da massa total m pela 
velocidade v do centro de massa G.
TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
45
O momento angular H
G
, entretanto, nunca mais consegue ser achado 
através do produto da velocidade angular w pelo escalar I, é preciso, nesta ocasião, usar 
as equações (2.7) ou (2.10).
ATENCAO
É recomendado observar, ainda, que nos determinados mv e HG, o momento 
angular H0 do corpo em relação a um ponto fixo O pode ser obtido pela equação:
O GH H r x mv= + (2.11)
(2.12)
GRÁFICO 4 – CORPO RÍGIDO QUE GIRA NUM ESPAÇO TRIDIMENSIONAL
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
y
ω
ω x ri
a) b)
HO
ω
y
z z
x x
Momento Angular de um Corpo Rígido com um Ponto Fixo: na situação 
especial de um corpo rígido que gira num espaço tridimensional em volta de um 
ponto fixo O (Gráfico 4a) é algumas vezes útil determinar o momento angular H0 
do corpo em relação a esse ponto fixo O. Lembrando a Equação (14.7), escrevemos:
1
( )
n
O i i i
i
H r x v m
=
= ∆∑
Em que r e vi consistem, por essa ordem, o vetor de posição e a velocidade 
do ponto material em relação ao sistema imóvel Oxyz. Substituindo vi = w x ri e 
após manipulações análogas às utilizadas, verificamos que as componentes do 
momento angular H0 (Gráfico 4b) são dadas pelas relações:
UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL
46
(2.13)
(2.14)
Assim os momentos de inércia Ix, Iy e Iz e os produtos de inércia Izy Iyz e Ixz 
são determinados em relação ao sistema Oxyz com origem no ponto fixo O.
3 APLICAÇÕES DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE 
DE MOVIMENTO AO MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL DE UM 
CORPO RÍGIDO 
Dantes de conseguirmos utilizar a equação fundamental (2.2) para 
a resolução de questões que incluem movimento tridimensional de um corpo 
rígido, precisaremos saber determinar a derivada do vetor Ho. 
Relembrando que o modelo composto pelas quantidades de movimento 
dos pontos materiais de um corpo rígido reduz-se ao vetor quantidade de 
movimento mv associado ao centro de massa G do corpo e a um momento angular 
HG. Representamos graficamente a relação fundamental:
Sist. Quant. Movimento1 + Sist. Imp. Ext.1→2 = Sist. Quant. Movimento2
por meio dos três diagramas ilustrados na figura a seguir:
FIGURA 2 – TRÊS DIAGRAMAS
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
mv1
a) b) c)
(HG)1 ∫F dt (HG)2
mv2
Para estabelecer um determinado problema podemos utilizar esses 
diagramas para elaborar as equações da componente adequada e do momento, 
sabendo que as componentes do momento angular HG são relacionadas às 
componentes da velocidade angular w pelas equações (2.7) precedentes.
x x x xy y xz z
y yx x y y yz z
z zx x xy y z z
H I I I
H I I I
H I I I
ω ω ω
ω ω ω
ω ω ω
= + − −
= − + −
= − − +zy
TÓPICO 1 | APLICAÇÃO DO PRINCÍPIO DO IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO
47
(2.14)
Será mais adequado, na solução de questões que abordam do movimento 
de um corpo em rotação, em torno de um ponto fixo O, retirar o impulso de 
reação em O escrevendo-se uma equação que compreenda os momentos das 
quantidades de movimento e impulsos em relação a O. Observamos neste 
contexto que o momento angular H0 do corpo em relação ao ponto fixo O pode 
ser obtido diretamente das equações (2.13) ou indiretamente pela Equação (2.11).
4 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO EM TRÊS 
DIMENSÕES 
Analisemos um corpo rígido de massa m em movimento tridimensional. 
A soma da velocidade v do centro de massa G do corpo e da velocidade v`i de 
cada ponto material em relação a um sistema Gxyz fixo em G e de orientação fixa, 
expressada como a velocidade absoluta vi de cada ponto material P do corpo 
(Gráfico 5), a energia cinética do sistema de pontos materiais que formam o corpo 
rígido pode ser escrita da seguinte forma: 
GRÁFICO 5 – CORPO RÍGIDO EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL
FONTE: Adaptado de <https://pt.scribd.com/document/199563405/Beer-Dinamica-
5%C2%AAed>. Acesso em: 15 jun. 2019.
v'i=ω x r'i
Pi
Z
Y
y ω
XO
z
x
Em que o último termo representa a energia cinética T do corpo em relação 
ao sistema baricêntrico Gxyz. Como vi = w x r`i, escrevemos:
2 2
1
1 1 ( ) '
2 2
n
i i
i
T mv m v
=
= + ∆∑_
UNIDADE 2 | DINÂMICA DOS CORPOS RÍGIDOS EM MOVIMENTO TRIDIMENSIONAL