Mecanica1 UVA Aula 5 2015 1

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Profº Orlando Sodré Gomes 
M
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a
 
1
 
Aula 5 
2015.1 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
“Se um corpo sujeito à ação de duas forças está em 
equilíbrio, as duas forças devem ter igual intensidade, 
igual linha de ação e sentidos opostos.” 
Considere uma cantoneira sujeita à ação de duas forças F1 e F2 
aplicadas em A e B, respectivamente. 
Se essa placa estiver em equilíbrio, a soma dos momentos em 
relação a A. 
Como o momento de F1 é sem dúvida igual a zero, o momento de 
F2 deve também ser zero, e a linha de ação de F2 deve passar por A. 
Se várias forças forem aplicadas em dois pontos A e B, as forças 
aplicadas em A podem ser substituídas por sua resultante F1 e as em 
B, por sua resultante F2 . 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE DUAS 
FORÇAS 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Portanto, um corpo sujeito à ação de duas forças pode ser 
definido, como um corpo rígido sujeito à ação de forças que atuam 
apenas em dois pontos. As resultantes F1 e F2, portanto, devem ter 
igual linha de ação, igual intensidade e sentidos opostos. 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE DUAS 
FORÇAS 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
“Um corpo rígido sujeito à ação de três forças, ou, um corpo rígido 
sujeito à ação de forças aplicadas somente em três pontos.” 
Considere um corpo rígido sujeito à ação de um sistema de forças 
que pode ser reduzido a três forças F1, F2 e F3 aplicadas nos pontos A, 
B e C, respectivamente. 
Se o corpo estiver em equilíbrio, as linhas de ação das três forças 
devem ser concorrentes ou paralelas. 
Como, o corpo rígido está em equilíbrio, a soma dos momentos 
de F1, F2 e F3 em relação a qualquer eixo deve ser zero. 
Supondo que as linhas de ação de F1 e F2 se interceptam, e 
representando seu ponto de interseção por D, somamos os 
momentos em relação a D são iguais a zero, o momento de F3 em 
relação a D deve também ser zero, e a linha de ação de F3 deve 
passar por D . 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Essa propriedade de resolver problemas relativos a corpos rígidos 
sujeitos à ação de três forças, pode ser utilizada, gráfica ou 
matematicamente, a partir de relações trigonométricas ou 
geométricas simples. 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
Um homem levanta uma viga de 
sustentação de 10 kg e 4 m de 
comprimento puxando-a com uma 
corda. 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
1º EXERCÍCIO 
Encontre a tração T na corda e a reação em 
A. 
DIAGRAMA DE CORPO LIVRE. 
A viga de sustentação é um corpo rígido sujeito à ação de três 
forças, pois sobre ele atuam três forças: seu peso W, a força T 
exercida pela corda e a reação R do solo em A. Observamos que: 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
1º EXERCÍCIO - continuação 
CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS FORÇAS 
Como a viga é um corpo rígido sujeito à ação de 
três forças, as forças que atuam sobre ela deveriam ser 
concorrentes. A reação R, portanto, vai passar pelo 
ponto de interseção C das linhas de ação do peso W e 
da força de tração T. Esse fato será usado para 
determinar o ângulo α que R forma com a horizontal. 
Traçando-se a vertical BF por B e a horizontal CD 
por C, observamos que: 
AF = BF = (AB) cos 45º = (4 m) cos 45º = 2,828 m 
CD = EF = AE = 1/2(AF) = 1,414 m 
BD = (CD) cotg (45º + 25º) = (1,414 m) tg 20º = 0,515 m 
CE = DF = BF – BD = 2,828 m – 0,515 = 2,313 m 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
1º EXERCÍCIO - continuação 
Temos: 
tg 
Agora sabemos a direção de todas as forças que 
atuam sobre a viga. 
Aplicando a LEI DOS SENOS, temos: 
sen sen sen 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
A haste AB é suportada por um pino e um 
suporte em A e apoia sem atrito numa cavilha 
em C. 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
2º EXERCÍCIO 
Determine: 
a) As reações em A e C quando a força vertical de 
170 N é aplicada em B. 
A reação em A deve passar por D na mesma 
interseção de C e a força de 170 N. 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
2º EXERCÍCIO - continuação 
Notamos que o triangulo ABD é isósceles 
(desde que AC = BC. 
Também, desde que CD é perpendicular a C 
B, a reação C forma um angulo de α = 28,07º com 
a horizontal. 
SISTEMA DE FORÇAS 
Notamos que A forma um angulo de 2α com a 
vertical. Portanto A e C forma um angulo: 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3 EQUILÍBRIO DE UM CORPO SUJEITO À AÇÃO DE TRÊS 
FORÇAS 
2º EXERCÍCIO - continuação 
SISTEMA DE FORÇAS 
O sistema de forças é um triângulo 
isósceles, e temos: 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS 
Tipos de Vigas 
1. VIGAS ESTATICAMENTE 
DETERMINADAS – São vigas 
apoiadas de modo que as 
reações aos seus apoios 
externos podem ser 
calculadas apenas pelos 
métodos da estática. 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS 
Tipos de Vigas 
2. VIGAS ESTATICAMENTE 
INDETERMINADAS – São vigas 
que tenham mas apoios do 
que os necessários reações 
aos seus apoios externos 
podem ser calculadas apenas 
pelos métodos da estática. 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS 
Cargas Distribuídas 
Para uma distribuição de carga mais geral, ou seja, a figura 
abaixo, devemos começar com um incremento diferencial de força 
dR = wdx. A carga total R é, então, o somatório das forças 
diferenciais: 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS 
Cargas Distribuídas 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS 
Cargas Distribuídas 
A resultante R está localizada no CENTRÓIDE da área em 
consideração. A coordenada x desse CENTRÓIDE é determinada 
pelo princípio dos momentos. 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
1º EXERCÍCIO – Determine as cargas concentradas equivalentes e as 
reações externas para a viga com apoio simples que está submetida à 
carga distribuída : 
2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS 
C 
UNIDADE 2 – ESTÁTICA DO CORPO RÍGIDO 
2º EXERCÍCIO – Determine a reação no apoio de A da viga em balanço 
carregada. 
2.3.1 VIGAS – EFEITOS EXTERNOS 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
No movimento de translação de 
um corpo, um de seus pontos, à 
medida que o tempo passa, sofre o 
mesmo deslocamento que qualquer 
outro, de tal maneira que o 
movimento de uma partícula 
representa o movimento de todo o 
corpo. Mas, mesmo quando o corpo 
roda ou vibra, enquanto se desloca, 
há um ponto no corpo, chamado de 
CENTRO DE MASSA, que se desloca da 
mesma maneira que se deslocaria 
uma única partícula, sujeita ao mesmo 
sistema de forças externas. 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA 
Observe que, se a faca da figura abaixo, estivesse se movendo 
em translação simples, todos os seus pontos experimentariam o 
mesmo deslocamento que o CENTRO DE MASSA. Por esta razão, o 
MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA de um corpo é chamado de 
movimento de translação do corpo. 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
Há um ponto, denominado CENTRO DE MASSA dosistema, que 
se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada 
nele, e as forças externas atuantes sobre o sistema estivessem 
agindo exclusivamente sobre ele. 
O movimento de qualquer corpo, ou qualquer sistema de 
partículas, pode ser descrito em termos do movimento do CENTRO 
DE MASSA. 
C 
xcm 
x2 
x1 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
O CENTRO DE MASSA do sistema é definido como um ponto C á 
distância xcm da origem, sendo xcm dada por: 
O CENTRO DE MASSA é a Média 
Ponderada das posições, tendo as massas 
como pesos. 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
EXEMPLOS 
1º EXERCÍCIO 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
Para um grande número de partículas coplanares ou distribuídas 
no espaço, o CENTRO DE MASSA estará em xcm, ycm e zcm, dados por: 
xcm = 
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 
m1 + m2 + m3 
ycm = 
m1 y1 + m2 y2 + m3 y3 
m1 + m2 + m3 
zcm = 
m1 z1 + m2 z2 + m3 z3 
m1 + m2 + m3 
xcm = 
Σ mi xi 
Σ mi 
ycm = 
Σ mi yi 
Σ mi 
zcm = 
Σ mi zi 
Σ mi 
ycm = Σ mi yi 
M 
1 
xcm = Σ mi xi 
M 
1 
zcm = Σ mi zi 
M 
1 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
2º EXERCÍCIO 
Determine o CENTRO DE MASSA do sistema constituído por três 
partículas 
2,3 m 
rcm 
0,90 m 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
Pela notação vetorial, cada partícula do sistema pode ter sua 
posição definida pelo vetor posição ri em um sistema de referência 
particular e o CENTRO DE MASSA pode ser definido pelo vetor 
posição rcm. Estes valores são relacionados a xi, yi, zi e xcm, ycm, zcm nas 
equações a seguir: 
ri = xi i + yi j + zi k 
rcm = xcm i + ycm j + zcm k 
Então, as três equações escalares, xcm, ycm, zcm podem ser 
substituídas por uma única equação vetorial: 
rcm = Σ mi ri 
M 
1 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
3º EXERCÍCIO 
Determine o CENTRO DE MASSA do sistema constituído por três 
partículas m1 = 1,0 kg, m2 = 2,0 kg e m3 = 3,0 kg localizadas nos vértices 
de um triângulo equilátero de 1,0 m de lado. 
xcm = 
1,0 kg . 0 + 2,0 kg . 1,0 m + 3,0 kg . 0,5 m 
1,0 kg + 2,0 kg + 3,0 kg 
xcm = 0,5833 m 
ycm = 
1,0 kg . 0 + 2,0 kg . 0 + 3,0 kg . 0,866 m 
1,0 kg + 2,0 kg + 3,0 kg 
ycm = 0,433 m 
x(m) 
y (m) 
1 
m2 
0,866 
m1 
m3 
0 0,5 
0,5833 
0,433 
rcm 
C 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
Portanto, CENTRO DE MASSA é a posição média de toda a massa 
do corpo ou sistema. Num corpo homogêneo e simétrico o CENTRO 
DE MASSA esta no centro geométrico. 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
EXEMPLOS 
 Partículas de massas iguais. Formando um triângulo. 
C 
UNIDADE 3 – CENTRÓIDES E BARICENTROS 
3.1 CENTRO MASSA 
CENTRO DE MASSA 
 Introdução à Engenharia. Florianópolis: UFSC, 2000. 
Referências Bibliográficas 
• BEER, F. P. e JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 9ª. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2012. 
• HALLIDAY, D. e RESNICK, R. Física 1. 4ª. Ed. Rio de Janeiro: LTC, 1984.