lista de exercícios Estatística 1 (3)

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MAE0121 - Introduc¸a˜o a` Probabilidade e Estat´ıstica II
Terceira Lista de Exerc´ıcios
Vanderlei da Costa Bueno
1. Defina um espac¸o amostral para cada um dos experimentos a seguir:
A) Lanc¸amento sucessivos de um dado, duas vezes, anotando-se a configurac¸a˜o obtida.
B) Lanc¸amento sucessivos de um dado, duas vezes, anotando-se a soma dos resultados.
C) Lanc¸amento sucessivos de um dado anotando o nu´mero de lanc¸amentos necessa´rios ate´ obter, sucessi-
vamente, duas faces iguais.
2. Sejam A, B e C treˆs eventos aleato´rios e arbitra´rios. Escreva as expresso˜es correspondentes a`s operac¸o˜es
abaixo:
A) Somente A ocorre;
B) A e B ocorrem,, mas C na˜o ocorre;
C) Pelo menos um dos treˆs eventos ocorre;
D) Pelo menos dois dos treˆs eventos ocorrem;
E) Um, e somente um, dos eventos ocorre;
F) No ma´ximo dois eventos ocorrem.
3. No lanc¸amento de dois dados seja A o evento de que a soma das faces voltadas para cima seja impar e
B o evento de que pelo menos um resultado seja igual a 3. Descreva os eventos A ∪ B, A ∩ B e A ∩ B.
Determine a probabilidade desses eventos admitindo que todos os 36 pontos do espac¸o amostral tenham
mesma probabilidade.
4. Cada pec¸a de domino´ e´ marcada por dois nu´meros. As pec¸as sa˜o sime´tricas de maneira que o par de
nu´meros na˜o e´ ordenado.Quantas pec¸as podem ser feitas usando-se os nu´meros 1,2, ..., 15?
5. Estando os nu´meros 1, 2, 3, ,20 dispostos em ordem aleato´ria, determine a probabilidade de que os d´ıgitos
1 e 2 aparec¸am como vizinhos nessa ordem. determine a probabilidade de que os d´ıgitos 1,2 e 3 aparec¸am
como vizinhos nessa ordem.
6. Treˆs indiv´ıduos A, B e C se alternam na disputa de um jogo de acordo com as regras seguintes:
A joga com B e o vencedor joga com C. O jogo continua ate´ que um dos indiv´ıduos ganhe dois jogos
sucessivos e e´ declarado vencedor.
A) Qual o espac¸o amostral dos resultados poss´ıveis?
B) Se a cada ponto do espac¸o amostral com k partidas atribuimos a probabilidade 1
2k
, mostre que a
probabilidade de A vencer e´ 514 e a probabilidade de C vencer e´
4
14 .
7. Se consideramos como espac¸o amostral Ω uma regia˜o plana, como um c´ırculo ou mesmo um quadrado
por exemplo, e adotamos que os pontos escolhidos nesta regia˜o sejam uniformemente distribuidos, a
probabilidade de que um ponto, escolhido ao acaso, esteja em uma regia˜o A j Ω e´ definida como
P (A) =
Area(A)
Area(Ω)
.
Um alvo e´ definido em um c´ırculo de raio unita´rio e centro na origem dividido em treˆs zonas circularesA,
B eC. A zona A e´ delimitada pelo 0 e pelo raio 14 , a zona B e´ delimitada pelos raios
1
4 e
3
4 e a zona C pelo
complementar de A ∪B em relac¸a˜o ao c´ırculo de raio unita´rio. Se atirarmos ao acaso nesse alvo
A) Qual a probabilidade de acertarmos em cada zona?
1
B) toda vez que acertamos a regia˜o A ganhamos R$3, 00, se acertamos B, ganhamos R$2, 00 e se acertamos
C, ganhamos R$1, 00. Se cada tiro custa R$1, 50 e atiramos duas vezes, qual a probabilidade de ganharmos
R$2, 00?
8. Um dado justo e´ lanc¸ado ate´ que pela primeira vez aparec¸a duas faces iguais de forma que cada resultado
com k lanc¸amentos tenha probabilidade 56
k−2 1
6 , k = 2, 3, 4, .... Sejam os eventos:
A: O experimento termina depois do de´cimo lanc¸amento;
B: Um nu´mero par de lanc¸amentos seja necessa´rio.
Qual a probabilidade do evento A, do evento B e do evento A∪B?
9. Suponha que temos duas urnas, A e B, cada uma com duas gavetas. A urna A tem uma moeda de ouro
em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta enquanto a urna B tem uma moeda de ouro em
cada gaveta. Uma urna e´ escolhida ao acaso e a seguir uma de suas gavetas e´ aberta aleatoriamente.
A) Qual a probabilidade da moeda ser de prata?
B) Verifica-se que a moeda e´ de ouro. Qual a probabilidade de ser proveniente da urna B?
10. Uma indu´stria utiliza componentes eletroˆnicos proveniente de duas fa´bricas A e B na proporc¸a˜o de 2
para 1. No entanto 1% dos componentes fabricados por A e 3% dos componentes fabricados por B sa˜o
defeituosos. Os componentes sa˜o sa˜o misturados em um depo´sito.
A) Ao escolhermos casualmente um componente no depo´sito qual a probabilidade de ser defeituoso?
B) Ao escolhermos casualmente um componente no depo´sito e verificarmos que e´ defeituoso, qual a pro-
babilidade de ser proveniente da fa´brica A?
11. Se 10 bolas sa˜o colocadas aleato´riamente em 10 urnas, qual a probabilidade de que exatamente uma urna
permanec¸a vazia?
12. Se 50 homens, entre os quais A e B esta˜o em uma fila, qual e´ a probabilidade de que existam exatamente
4 homens entre A e B?
13. Numa comunidade de 31 pessoas, uma pessoa conta um boato a uma segunda a qual, por sua vez, o repete
a uma terceira, etc. A cada passo a pessoa que recebe o boato e´ escolhida aleatoriamente entre as 30
pessoas dispon´ıveis. Ache a probabilidade de que o boato seja transmitido 15 vezes sem voltar a` primeira
pessoa que o contou? Ache a probabilidade de que o boato seja transmitido 15 vezes sem que seja repetido
a nenhuma pessoa?
14. Considere uma urna contendo 5 bolas pretas e 10 bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna sem reposic¸a˜o:
A) Obtenha os resultados poss´ıveis e suas respectivas probabilidades.
B) Qual a probabilidade de bolas pretas na primeira e segunda extrac¸o˜es?
C) Dado que a segunda extrac¸a˜o resultou em preta, qual a probabilidade condicional de que a primeira
foi preta?
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