Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (26)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 27: Otimização
Marcos Y. Nakaguma
10/11/2017
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Otimização
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Otimização com Restrições de Igualdade
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Otimização com Restrições de Igualdade
Nesta parte do curso, estudaremos problemas de otimização com
restrições de igualdade do seguinte tipo:
max
x1,x2,...,xn
f (x1, x2, ..., xn)
sujeito a: 8><
>:
h1 (x1, ..., xn) = c1
...
hm (x1, ..., xn) = cm
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Exemplo
Exemplo: Problema de Maximização de Utilidade do Consumidor
I O problema do consumidor é escolher quantidades, x1 e x2, dos bens 1
e 2 de forma a maximizar a sua utilidade (bem-estar) sujeito à restrição
orçamentária.
I Formalmente, o consumidor resolve o seguinte problema:
max
x1,x2
U (x1, x2)
sujeito a
p1x1 + p2x2 = w
onde p1 e p2 são os preços das mercadorias e w é a renda do
consumidor.
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Restrições de Igualdade: Caso Simples
Uma maneira direta de resolver problemas de otimização com
restrições de igualdade é substituir a restrição na função objetivo.
Exemplo: Considere o seguinte problema:
max
x1,x2
f (x1, x2) = x1x2
sujeito a
h (x1, x2) � x1 + 4x2 = 16
I Note que, da restrição acima, segue que:
x1 + 4x2 = 16 ! x1 = 16� 4x2
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Restrições de Igualdade: Caso Simples
(Cont.)
I Assim, substituíndo x1 na função objetivo, é possível transformar o
problema anterior em um problema de otimização não-condicionada:
max
x2
16x2 � 4x
2
2
I A condição de primeira-ordem associada a esse problema é:
∂(16x2 � 4x
2
2 )
∂x2
= 0 ! 16� 8x2 = 0,
de onde segue que:
x�2 = 2
e
x�1 = 16� 4.2 = 8
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Método do Multiplicador de Lagrange
Existem, no entanto, casos mais complexos em que pode ser difícil
substituir a restrição do problema diretamente na função objetivo.
Considere, por exemplo, o seguinte problema:
max
x1,x2
f (x1, x2) = 3x1 + 2x2
sujeito a:
x21 + x
2
2 = 1
Como proceder nesses casos?
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Método do Multiplicador de Lagrange
De forma geral, considere o seguinte problema com duas variáveis e
uma restrição de igualdade:
max
x1,x2
f (x1, x2)
sujeito a:
h (x1, x2) = c
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Método do Multiplicador de Lagrange
Para ganhar intuição sobre o método de Lagrange, vamos pensar
sobre o problema de uma maneira "econômica".
Suponha que exista um indivíduo resolvendo este problema.
Ao invés de "impor" que o indivíduo atenda a restrição h (x1, x2) = c ,
suponha que ele possa escolher x1 e x2 livremente, mas que seja
obrigado a pagar uma "penalidade" λ por cada unidade violada.
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Método do Multiplicador de Lagrange
Assim, dado λ, o agente resolve o seguinte problema modi…cado:
max
x1,x2
L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ (h (x1, x2)� c) ,
onde a função L (x1, x2,λ) é denominada função Lagrangiana e λ é
conhecido como multiplicador de Lagrange.
Note que transformamos o problema de maximização com restrição
em um problema de maximização irrestrito!
As condições de primeira-ordem associadas ao problema acima são:
∂L (x1, x2,λ)
∂x1
= 0 )
∂f (x�1 , x
�
2 )
∂x1
= λ
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x1
e
∂L (x1, x2,λ)
∂x2
= 0 )
∂f (x�1 , x
�
2 )
∂x2
= λ
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x2
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Método do Multiplicador de Lagrange
Observe que, para um valor arbitrário de λ, não existe garantia de
que a solução acima constitua uma solução do problema original.
Porém, através de uma escolha apropriada da penalidade λ, é possível
induzir o agente a satisfazer a restrição h (x1, x2) = c , de modo que a
solução do problema modi…cado seja também solução do problema
original.
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Método do Multiplicador de Lagrange
Devemos escolher λ� de modo que a restrição de igualdade seja
satisfeita no ponto de ótimo.
Assim, vamos impor a seguinte condição adicional:
∂L (x1, x2,λ)
∂λ
= 0 ) h (x�1 , x
�
2 )� c = 0
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Método do Multiplicador de Lagrange
Assim, (x�1 , x
�
2 ,λ
�) é a solução do sistema formado pelas equações:
∂L (x�1 , x
�
2 ,λ
�)
∂x1
= 0 )
∂f (x�1 , x
�
2 )
∂x1
= λ�
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x1
∂L (x�1 , x
�
2 ,λ
�)
∂x2
= 0 )
∂f (x�1 , x
�
2 )
∂x2
= λ�
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x2
∂L (x�1 , x
�
2 ,λ
�)
∂λ
= 0 ) h (x�1 , x
�
2 )� c = 0
onde (x�1 , x
�
2 ) maximiza L(x1, x2,λ
�) e satisfaz h(x1, x2) = c .
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Método do Multiplicador de Lagrange
O multiplicador de Lagrange λ� contém informação sobre como a
restrição "distorce" o problema relativamente ao problema de
maximização irrestrito.
Intuitivamente, λ� mede o quão "apertada" é a restrição para o
agente.
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Método do Multiplicador de Lagrange
Teorema: Sejam f (�) e h (�) funções C 1 de duas variáveis. Suponha
que x� = (x�1 , x
�
2 ) é uma solução do problema:
max
x1,x2
f (x1, x2)
sujeito a
h (x1, x2) = c
Suponha também que (x�1 , x
�
2 ) não é um ponto crítico de h (�).
Então, existe um número real λ� tal que (x�1 , x
�
2 ,λ
�) é um ponto
crítico da função Lagrangiana:
L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ (h (x1, x2)� c)
Em outras palavras, em (x�1 , x
�
2 ,λ
�) temos:
∂L (x�1 , x
�
2 ,λ
�)
∂x1
= 0,
∂L (x�1 , x
�
2 ,λ
�)
∂x2
= 0 e
∂L (x�1 , x
�
2 ,λ
�)
∂λ
= 0
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Método do Multiplicador de Lagrange
Assim, existe uma escolha apropriada para o multiplicador de
Lagrange, λ = λ�, que torna equivalentes os seguintes problemas:
max
x1,x2
f (x1, x2)
s.a. h (x1, x2) = c
(�)
e
max
x1,x2
L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ� (h (x1, x2)� c) (��)
onde podemos interpretar o multiplicador de Lagrange como uma
"penalidade" aplicada a violações do problema.
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Exemplos
Exemplo 1: Considere o seguinte problema:
max
x1,x2
f (x1, x2) = x1x2
sujeito a
h (x1, x2) � x1 + 4x2 = 16
I A função Lagrangiana associada a este problema é dada por:
L (x1, x2,λ) = x1x2 � λ (x1 + 4x2 � 16)
I As condições de primeira-ordem associadas:
∂L
∂x1
= x2 � λ = 0 (1)
∂L
∂x2
= x1 � 4λ = 0 (2)
∂L
∂λ
= x1 + 4x2 � 16 = 0 (3)
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Exemplos
(Cont.)
I Das equações (1) e (2), segue que:
x1 = 4x2
I Substituíndo a expressão acima na equação (3), obtemos:
4x2 + 4x2 � 16 = 0 ) x
�
2 = 2
e
x�1 = 8
com λ� = 2.
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Quali…cação de Restrição Não-Degenerada (QRND)
Uma condição técnica para que o método de Lagrange possa ser
aplicado é a de que (x�1 , x
�
2 ) não seja um ponto crítico de h (x1, x2),
i.e. o teorema acima não é válido quando:
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x1
= 0
e
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x2
= 0
Neste caso, as condições de primeira-ordem do problema podem ser
expressas como:
∂f (x �1 ,x
�
2 )
∂x1
= λ� ∂h(x
�
1 ,x
�
2 )
∂x1
∂f (x �1 ,x
�
2 )
∂x2
= λ� ∂h(x
�
1 ,x
�
2 )
∂x2
h (x�1 , x
�
2 ) = c
)
∂f (x �1 ,x
�
2 )
∂x1
= 0
∂f (x �1 ,x
�
2 )
∂x2
= 0
h (x�1 , x
�
2 ) = c
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Quali…cação de Restrição Não-Degenerada (QRND)
Assim, o multiplicador λ desaparece do problema, i.e. é como se
estivéssemos impondo que a "punição" λ seja igual a zero.
Neste caso, não há garantias de que as escolhas de x1 e x2 que
satisfazem:
∂f (x1, x2)
∂x1
= 0 e
∂f (x1, x2)
∂x2
= 0
também satisfaçam:
h (x1, x2)� c = 0.
Portanto, de forma geral, o sistema formado pelas condições de
primeira-ordem não terá solução.
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