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Sorger – Resolução de Exercícios Capítulo 5 Exercício 5.1 · Utilidade Instantânea: · Espaços: · Fator de preferência temporal: . · O único output da economia é produzido com inputs de capital e trabalho , por meio da função de produção O output pode ser utilizado para consumo no período ou investimento, a ser utilizado como capital em . · Uma vez que o capital é instalado, não pode ser consumido e sofre uma depreciação . · Formule o problema de otimização para o crescimento ótimo, tanto na forma primitiva, quanto reduzida. · Identifique o espaço estado, a função transição de estado e a utilidade na forma reduzida. Consideremos o problema de otimização maximizar a utilidade total do indivíduo, restrita aos valores que as variáveis podem assumir. Assim, queremos maximizar o somatório das utilidades de cada período, descontadas pela taxa de preferência temporal. Além disso, note que o capital no período será dado pelo capital do período depreciado acrescido do output subtraído do consumo , ou seja, aquilo que não consumimos do output. Assim, temos · Problema de otimização na forma primitiva: · Função transição de estado: · Espaço estado: · Espaço controle: · Função utilidade reduzida: invertemos a função transição de estado, de tal forma que · Espaço estado de transição: · Problema de otimização na forma reduzida: Exercício 5.2: Considere uma fazenda de árvores com área igual a . As árvores vivem por períodos. Árvores de idade são ditas novas, enquanto as de idade , velhas. A área é coberta por árvores velhas ao início do período é denominada , enquanto a área restante é coberta por árvores novas. Em cada período , os seguintes eventos ocorrem: 1. Todas as árvores velhas são cortadas, pois irão morrer de qualquer forma. 2. O fazendeiro limpa uma área de tamanho de árvores novas variável controle. 3. O fazendeiro planta novas árvores (de idade 0) em toda a área restante (isso é, a área das árvores antigas acrescida de ), de tal forma que no período seguinte, , tais árvores serão ditas novas, de idade 1. Uma área de árvores velhas retorna uma quantidade de madeira. Uma área de árvores novas, retorna uma quantidade de madeira, onde . O fazendeiro possui uma função utilidade instantânea se ele produzir unidades de madeira no período . Assumimos que tal função é continuamente diferenciável, estritamente crescente e estritamente côncava. O fator de preferência temporal do fazendeiro é e a área inicialmente coberta com árvores velhas é . a) Formule o problema de maximização da utilidade do fazendeiro com um horizonte temporal infinito, com como a variável de estado. Identifique o espaço estado, a função de transição, o espaço estado de transição e a utilidade na forma reduzida. · Problema de otimização na forma primitiva: · Espaço controle: No mínimo, não corta árvores novas. No máximo, corta todas as árvores novas. · Espaço estado: No mínimo, não há árvores velhas. No máximo, toda a fazenda está coberta por árvores velhas. · Função transição de estado: · Espaço estado de transição: · Produção total de madeira: · Problema de otimização na forma reduzida: b) Derive a Equação de Euler para esse problema. Sob quais condições a Equação de Euler possui um ponto fixo? Prove que sob essas condições, todo é um ponto fixo da Equação de Euler. Qual desses pontos fixos da Equação de Euler corresponde a uma trajetória ótima constante? · Equação de Euler: · Encontrando as condições para o ponto fixo (): Assim, se , todo é um ponto fixo. Contudo, perceba que se , não é possível que uma trajetória factível seja constante, uma vez que o espaço estado de transição é dado por . Assim, se , por exemplo, , portanto, o valor máximo de é 0,4, que é diferente dos de e, portanto, a trajetória não é constante. Portanto, para que uma trajetória seja factível e constante, é necessário que e . Exercício 5.3: Considere um problema de otimização dinâmica na forma reduzida de espaço estado , com , e . a) Derive a Equação de Euler e reescreva-a como uma equação em diferenças linear autônoma. · Equação de Euler: · Equação em diferenças: Assim, tome b) Assuma . Encontre todas as trajetórias factíveis a partir de que satisfaçam a Equação de Euler. Qual dessas trajetórias satisfaz a condição de transversalidade? · Se , · Calculando autovalores · Encontrando autovetores associados: · Tomando , · Tomando · Solução geral da Equação de Euler: Tome , Assim, Tomando a condição de transversalidade, Uma vez que , temos que Assim, Contudo, perceba que isso é válido apenas quando , pois, caso contrário, os termos relacionados com seriam ilimitados. Assim, Portanto, a única solução que satisfaz a Equação de Bellman e a Condição de Transversalidade é dada por Ou seja, Exercício 5.4: Considere um indivíduo de vida infinita que quer maximizar a utilidade total de sua vida. O indivíduo é dotado de uma unidade de tempo por período que ele pode gastar trabalhando ou acumulando capital humano para o próximo período (estudando). Denotamos por a fração de tempo gasto trabalhando e, portanto, por a fração de tempo gasto estudando. Além disso, denote por o capital humano do indivíduo no início do período . O capital humano se acumula da seguinte forma: onde é um parâmetro exógenos e é um capital humano inicial. Se o indivíduo no período possui capital humano e gasta uma fração de tempo trabalhando, ele recebe e consome . Sua função de utilidade instantânea é dada por . O indivíduo possui um fator de preferência temporal . Assumimos . a) Formule o problema de maximização da utilidade como um problema de otimização dinâmica “stationary discounted”. (uma função utilidade que dependa do tempo apenas por ) Na forma reduzida, considere O espaço estado de transição será dado por Assim, b) Resolva o problema de otimização utilizando abordagem da Equação de Euler ou o Lagrangiano. A Equação de Euler é dada por: Tome Encontrando os autovetores associados: · · Assim, Portanto, Temos que Assim, Perceba que Analisando a condição de transversalidade, Perceba que, uma vez que , . Assim, Assim, para que a condição de transversalidade seja válida, é necessário que . Portanto, nossa solução ótima é dada por c) Mostre que é ótimo gastar uma fração constante de tempo trabalhando. Calcule e interprete a dependência de e . Temos que Considerando a trajetória ótima para encontrarmos , temos que Note que diminui com o aumento de e . Exercício 5.6: Considere o problema de maximização do tipo “stationary discounted” abaixo onde e são números positivos, com . O espaço estado é . a) Encontre a função linear da forma que satisfaz a Equação de Bellman. A Equação de Bellman é dada por Encontrando o máximo da função, considerando : CPO: Avaliando função nesse ponto, queremos encontrar algo da forma . Assim, Assim, temos que e De , Portanto, a função valor é dada por b) Assumindo que a função derivada no item (a) seja a função valor ótima, determine a função política ótima, assim como uma trajetória ótima, partindo de . Temos o valor ótimo de e de , assim, Portanto, temo que a função política ótima é dada por Portanto, a trajetória ótima será dada por Exercício 5.7: Considere o modelo de crescimento ótimo onde é um fator de preferência temporal, é o estoque de capital humano no período e é uma constante positiva e a função utilidade instantânea é dada por . Considere , onde é um parâmetro. a) Reescreva o problema como um problema de otimização “stationary discounted” na forma reduzida. (uma função utilidade que dependa do tempo apenas por ) Função transição Definindo o espaço estado de transição Problema de otimização b) Realize os primeiros passos do método de iteração, partindo de definida por . Tente conjecturar a forma das funções e verifique sua conjectura. Compute o limite e verifique que essa função de fato satisfaz a Equação de Bellman. Por que não podemos aplicar o Teorema 5.12 e o Lema 5.3? Para solucionarmos o problemapelo método de iteração, determinemos a função do tipo Para isso, partiremos de . Aplicando o operador de Bellman , temos Perceba que maximiza . Portanto, é válido . Seguimos o raciocínio: Perceba que maximiza . Portanto, é válido . Para , Perceba que maximiza . Portanto, Com esses termos, temos que CPO:
