Hamiltoniano

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Hamiltoniano
https://www.youtube.com/watch?v=ZhYTkUOnLWo
https://www.youtube.com/watch?v=senlRCc99hU
A metodologia utilizada para resolver problemas dinâmicos é conhecida como cálculo de variações. Há dois grandes grupos em que essa metodologia se divide:
· Dynamic Programming – Bellman: utilizado em soluções de problemas com tempo discreto.
· Maximum Principle of Optimal Control – Potryagin: utilizado para encontrar a solução ótima de um problema com múltiplas restrições de uma variável de estado. 
Problema Típico:
onde
· é o valor da função objetiva avaliada no tempo .
· é uma taxa de desconto média entre os períodos e .
· é o último período, que pode ser finito ou infinito.
· é a variável de estado em função do tempo.
· é a variável controle em função do tempo.
· é a função objetiva da integral, representando a utilidade instantânea entre os períodos e e é dependente de , e .
· é uma equação diferencial em . Ela relaciona a escolha da variável controle com a variável de estado . é dita equação de movimento, de transição. 
· Note que apesar de termos apenas uma função de transição, temos uma restrição para cada período entre e ).
Note que a última restrição, , impõe que, em um período finito, , contanto que seja positivo e finito. Se representa a vida de uma pessoa e , seus ativos totais, essa restrição implica que não é possível morrer com dívidas.
Derivação Heurística das Condições de Primeira Ordem:
Kuhn-Tecker Theorem propõe o seguinte lagrangiano:
onde 
· é o multiplicador de Lagrange associado à restrição da função de transição, . 
· Note que como há uma restrição de transição para cada período, haverá um multiplicador associado em cada período.
· Esses multiplicadores são chamados de multiplicadores de Lagrange dinâmicos.
· Eles representam os “preços sombra”, ou seja, é o preço de uma unidade extra de estoque de capital no tempo , em termos da utilidade no tempo .
· é o multiplicador associado à restrição do PV de , .
Uma vez que a restrição é nula, temos que a segunda integral é nula
Para encontrar o conjunto de restrições de primeira ordem, seria necessário maximizar em relação a e para todo entre e . O problema com essa abordagem é que não sabemos derivar em relação a . Para solucionar esse problema, podemos integrar por partes o termo , de tal forma que teremos
Se observarmos a primeira integral
podemos encontrar a função Hamiltoniana em seu interior
Um agente consome e recebe de capital no instante . Essas duas variáveis afetam a utilidade por meio do consumo, e a função de transição , afetando o estoque de capital. O valor das alterações no estoque de capital é dado por . Assim, para um dado preço sombra , o Hamiltoniano captura a contribuição total da escolha de para a utilidade. Podemos reescrever o lagrangiano da seguinte forma:
Tome e como as trajetórias ótimas para as variáveis de controle e estado, respectivamente. Se desviarmos da trajetória ótima com um termo de perturbação , podemos gerar uma trajetória
Quando é perturbado, deve haver uma perturbação correspondente em e que satisfaça a restrição orçamentária:
Se as trajetórias iniciais são ótimas, então a derivada do lagrange em relação a deveria ser nula. Por conveniência, reescrevamos o lagrangiano na seguinte forma
Assim,
Pela regra da cadeia, 
Assim, rearranjando e utilizando dos resultados encontrados, temos
Essa equação só é consistente se (condições de primeira ordem)
Ou seja, se e são a solução do problema dinâmico, então a derivada do Hamiltoniano em relação ao controle é para todo . (Maximum Principle).
Condição de Transversalidade
As condições de primeira ordem de Kuhn-Tucker no problema estático dizem que se uma restrição non-binding, ou seja, no ponto se mantém como uma desigualdade estrita, o preço sombra associado é nulo. Num problema dinâmico em questão há uma restrição de desigualdade acerca do fato de o PV do estoque de capital ser positivo, . Uma condição derivada dessa restrição é que
Das condições de primeira ordem, temos que . Assim, 
Essa é a condição de transversalidade. Ela afirma que
Comportamento do Hamiltoniano ao longo do tempo
Tomemos a derivada total do Hamiltoniano:
Das condições de primeira ordem, e . Assim, 
Uma vez que , , de tal forma que
Se a função objetiva e as restrições não dependem do tempo, a derivada do Hamiltoniano em relação ao tempo e, portanto, o Hamiltoniano desse problema é constante ao longo do tempo. 
Condições Suficientes
· Kuhn-Tucker: 
· Em um problema estático, de função objetiva concava e com as restrições gerando um conjunto convexo, as condições necessárias de Kuhn-Tucker são suficientes.
· Mangasarian: 
· Em um problema dinâmico, se e são concavas em e , então as condições necessárias de Kuhn-Tucker são suficientes.
· Arrow-Kurz: 
· Tome como o máximo de em relação a , dados e . 
· Se é concavo em , para e dados, então as condições necessárias de Kuhn-Tucker são suficientes. 
· A concavidade de e é necessária, mas não suficiente, para que a condição de Arrow-Kurz seja satisfeita. 
· A desvantagem desse resultado geral é que checar as propriedades de uma função derivada tende a ser mais difícil do que checar as propriedades de e .
Horizontes Infinitos
As condições de primeira ordem permanecem as mesmas, com a diferença que agora se aplicam a um horizonte de tempo infinito. A grande diferença reside na condição de transversalidade:
Isso implica que
· Se 
· Seé assintóticamente positivo, deve ser assintóticamente nulo.
· Se
· Secresce indefinidamente,deve ir para 0 mais rapidamente.
Caso geral