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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia Aula 27: Otimização Marcos Y. Nakaguma 10/11/2017 1 Otimização 2 Otimização com Restrições de Igualdade 3 Otimização com Restrições de Igualdade Nesta parte do curso, estudaremos problemas de otimização com restrições de igualdade do seguinte tipo: max x1,x2,...,xn f (x1, x2, ..., xn) sujeito a: 8>< >: h1 (x1, ..., xn) = c1 ... hm (x1, ..., xn) = cm 4 Exemplo Exemplo: Problema de Maximização de Utilidade do Consumidor I O problema do consumidor é escolher quantidades, x1 e x2, dos bens 1 e 2 de forma a maximizar a sua utilidade (bem-estar) sujeito à restrição orçamentária. I Formalmente, o consumidor resolve o seguinte problema: max x1,x2 U (x1, x2) sujeito a p1x1 + p2x2 = w onde p1 e p2 são os preços das mercadorias e w é a renda do consumidor. 5 Restrições de Igualdade: Caso Simples Uma maneira direta de resolver problemas de otimização com restrições de igualdade é substituir a restrição na função objetivo. Exemplo: Considere o seguinte problema: max x1,x2 f (x1, x2) = x1x2 sujeito a h (x1, x2) � x1 + 4x2 = 16 I Note que, da restrição acima, segue que: x1 + 4x2 = 16 ! x1 = 16� 4x2 6 Restrições de Igualdade: Caso Simples (Cont.) I Assim, substituíndo x1 na função objetivo, é possível transformar o problema anterior em um problema de otimização não-condicionada: max x2 16x2 � 4x 2 2 I A condição de primeira-ordem associada a esse problema é: ∂(16x2 � 4x 2 2 ) ∂x2 = 0 ! 16� 8x2 = 0, de onde segue que: x�2 = 2 e x�1 = 16� 4.2 = 8 7 Método do Multiplicador de Lagrange Existem, no entanto, casos mais complexos em que pode ser difícil substituir a restrição do problema diretamente na função objetivo. Considere, por exemplo, o seguinte problema: max x1,x2 f (x1, x2) = 3x1 + 2x2 sujeito a: x21 + x 2 2 = 1 Como proceder nesses casos? 8 Método do Multiplicador de Lagrange De forma geral, considere o seguinte problema com duas variáveis e uma restrição de igualdade: max x1,x2 f (x1, x2) sujeito a: h (x1, x2) = c 9 Método do Multiplicador de Lagrange Para ganhar intuição sobre o método de Lagrange, vamos pensar sobre o problema de uma maneira "econômica". Suponha que exista um indivíduo resolvendo este problema. Ao invés de "impor" que o indivíduo atenda a restrição h (x1, x2) = c , suponha que ele possa escolher x1 e x2 livremente, mas que seja obrigado a pagar uma "penalidade" λ por cada unidade violada. 10 Método do Multiplicador de Lagrange Assim, dado λ, o agente resolve o seguinte problema modi cado: max x1,x2 L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ (h (x1, x2)� c) , onde a função L (x1, x2,λ) é denominada função Lagrangiana e λ é conhecido como multiplicador de Lagrange. Note que transformamos o problema de maximização com restrição em um problema de maximização irrestrito! As condições de primeira-ordem associadas ao problema acima são: ∂L (x1, x2,λ) ∂x1 = 0 ) ∂f (x�1 , x � 2 ) ∂x1 = λ ∂h (x�1 , x � 2 ) ∂x1 e ∂L (x1, x2,λ) ∂x2 = 0 ) ∂f (x�1 , x � 2 ) ∂x2 = λ ∂h (x�1 , x � 2 ) ∂x2 11 Método do Multiplicador de Lagrange Observe que, para um valor arbitrário de λ, não existe garantia de que a solução acima constitua uma solução do problema original. Porém, através de uma escolha apropriada da penalidade λ, é possível induzir o agente a satisfazer a restrição h (x1, x2) = c , de modo que a solução do problema modi cado seja também solução do problema original. 12 Método do Multiplicador de Lagrange Devemos escolher λ� de modo que a restrição de igualdade seja satisfeita no ponto de ótimo. Assim, vamos impor a seguinte condição adicional: ∂L (x1, x2,λ) ∂λ = 0 ) h (x�1 , x � 2 )� c = 0 13 Método do Multiplicador de Lagrange Assim, (x�1 , x � 2 ,λ �) é a solução do sistema formado pelas equações: ∂L (x�1 , x � 2 ,λ �) ∂x1 = 0 ) ∂f (x�1 , x � 2 ) ∂x1 = λ� ∂h (x�1 , x � 2 ) ∂x1 ∂L (x�1 , x � 2 ,λ �) ∂x2 = 0 ) ∂f (x�1 , x � 2 ) ∂x2 = λ� ∂h (x�1 , x � 2 ) ∂x2 ∂L (x�1 , x � 2 ,λ �) ∂λ = 0 ) h (x�1 , x � 2 )� c = 0 onde (x�1 , x � 2 ) maximiza L(x1, x2,λ �) e satisfaz h(x1, x2) = c . 14 Método do Multiplicador de Lagrange O multiplicador de Lagrange λ� contém informação sobre como a restrição "distorce" o problema relativamente ao problema de maximização irrestrito. Intuitivamente, λ� mede o quão "apertada" é a restrição para o agente. 15 Método do Multiplicador de Lagrange Teorema: Sejam f (�) e h (�) funções C 1 de duas variáveis. Suponha que x� = (x�1 , x � 2 ) é uma solução do problema: max x1,x2 f (x1, x2) sujeito a h (x1, x2) = c Suponha também que (x�1 , x � 2 ) não é um ponto crítico de h (�). Então, existe um número real λ� tal que (x�1 , x � 2 ,λ �) é um ponto crítico da função Lagrangiana: L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ (h (x1, x2)� c) Em outras palavras, em (x�1 , x � 2 ,λ �) temos: ∂L (x�1 , x � 2 ,λ �) ∂x1 = 0, ∂L (x�1 , x � 2 ,λ �) ∂x2 = 0 e ∂L (x�1 , x � 2 ,λ �) ∂λ = 0 16 Método do Multiplicador de Lagrange Assim, existe uma escolha apropriada para o multiplicador de Lagrange, λ = λ�, que torna equivalentes os seguintes problemas: max x1,x2 f (x1, x2) s.a. h (x1, x2) = c (�) e max x1,x2 L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ� (h (x1, x2)� c) (��) onde podemos interpretar o multiplicador de Lagrange como uma "penalidade" aplicada a violações do problema. 17 Exemplos Exemplo 1: Considere o seguinte problema: max x1,x2 f (x1, x2) = x1x2 sujeito a h (x1, x2) � x1 + 4x2 = 16 I A função Lagrangiana associada a este problema é dada por: L (x1, x2,λ) = x1x2 � λ (x1 + 4x2 � 16) I As condições de primeira-ordem associadas: ∂L ∂x1 = x2 � λ = 0 (1) ∂L ∂x2 = x1 � 4λ = 0 (2) ∂L ∂λ = x1 + 4x2 � 16 = 0 (3) 18 Exemplos (Cont.) I Das equações (1) e (2), segue que: x1 = 4x2 I Substituíndo a expressão acima na equação (3), obtemos: 4x2 + 4x2 � 16 = 0 ) x � 2 = 2 e x�1 = 8 com λ� = 2. 19 Quali cação de Restrição Não-Degenerada (QRND) Uma condição técnica para que o método de Lagrange possa ser aplicado é a de que (x�1 , x � 2 ) não seja um ponto crítico de h (x1, x2), i.e. o teorema acima não é válido quando: ∂h (x�1 , x � 2 ) ∂x1 = 0 e ∂h (x�1 , x � 2 ) ∂x2 = 0 Neste caso, as condições de primeira-ordem do problema podem ser expressas como: ∂f (x �1 ,x � 2 ) ∂x1 = λ� ∂h(x � 1 ,x � 2 ) ∂x1 ∂f (x �1 ,x � 2 ) ∂x2 = λ� ∂h(x � 1 ,x � 2 ) ∂x2 h (x�1 , x � 2 ) = c ) ∂f (x �1 ,x � 2 ) ∂x1 = 0 ∂f (x �1 ,x � 2 ) ∂x2 = 0 h (x�1 , x � 2 ) = c 20 Quali cação de Restrição Não-Degenerada (QRND) Assim, o multiplicador λ desaparece do problema, i.e. é como se estivéssemos impondo que a "punição" λ seja igual a zero. Neste caso, não há garantias de que as escolhas de x1 e x2 que satisfazem: ∂f (x1, x2) ∂x1 = 0 e ∂f (x1, x2) ∂x2 = 0 também satisfaçam: h (x1, x2)� c = 0. Portanto, de forma geral, o sistema formado pelas condições de primeira-ordem não terá solução. 21
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