Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (27)

Prévia do material em texto

EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 28: Otimização com Restrições de Igualdade (Cont.)
Marcos Y. Nakaguma
13/11/2017
1
Revisão
Na aula passada, estudamos como resolver problemas de otimização
sujeitos a uma restrição de igualdade do tipo:
max
x1,x2
f (x1, x2)
sujeito a:
h (x1, x2) = c
2
Revisão
Vimos que a escolha de um valor apropriado para o multiplicador de
Lagrange, λ = λ�, torna equivalente os seguintes problemas:
max
x1,x2
f (x1, x2)
s.a. h (x1, x2) = c
(�)
e
max
x1,x2
L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ� (h (x1, x2)� c) (��)
onde podemos interpretar o multiplicador de Lagrange como uma
penalidade aplicada a violações do problema.
3
Revisão
O método de Lagrange consiste no seguinte procedimento:
i . Forme a função Lagrangiana:
L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ (h (x1, x2)� c) ,
onde λ é denominado multiplicador de Lagrange.
ii . Derive a função lagrangiana em relação a x1, x2 e λ. As condições de
primeira-ordem associadas a este problema são:
∂L(x �1 ,x �2 ,λ�)
∂x1
= 0
∂L(x �1 ,x �2 ,λ�)
∂x2
= 0
∂L(x �1 ,x �2 ,λ�)
∂λ
= 0
)
∂f (x �1 ,x �2 )
∂x1
= λ� ∂h(x
�
1 ,x
�
2 )
∂x1
∂f (x �1 ,x �2 )
∂x2
= λ� ∂h(x
�
1 ,x
�
2 )
∂x2
h (x�1 , x
�
2 ) = c
iii . A solução desse sistema, (x�1 , x
�
2 ,λ
�), é tal que (x�1 , x
�
2 ) maximiza a
função L(x1, x2,λ�) e é a solução do problema de otimização inicial.
4
O Método do Multiplicador de Lagrange
Teorema: Sejam f (x1, x2) e h (x1, x2) funções C 1 de duas variáveis.
Suponha que x� = (x�1 , x
�
2 ) é uma solução do problema:
max
x1,x2
f (x1, x2)
sujeito a
h (x1, x2) = c
Suponha também que (x�1 , x
�
2 ) não é um ponto crítico de h (x1, x2).
Então, existe um número real λ� tal que (x�1 , x
�
2 ,λ
�) é um ponto
crítico da função Lagrangiana:
L (x1, x2,λ) = f (x1, x2)� λ (h (x1, x2)� c)
Em outras palavras, em (x�1 , x
�
2 ,λ
�) temos:
∂L (x�1 , x�2 ,λ�)
∂x1
= 0,
∂L (x�1 , x�2 ,λ�)
∂x2
= 0 e
∂L (x�1 , x�2 ,λ�)
∂λ
= 0
5
Quali…cação de Restrição Não-Degenerada (QRND)
Uma condição técnica para que o método de Lagrange possa ser
aplicado é a de que (x�1 , x
�
2 ) não seja um ponto crítico de h (x1, x2),
i.e. o teorema acima não é válido quando:
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x1
= 0
e
∂h (x�1 , x
�
2 )
∂x2
= 0
Neste caso, as condições de primeira-ordem do problema podem ser
expressas como:
∂f (x �1 ,x
�
2 )
∂x1
= λ� ∂h(x
�
1 ,x
�
2 )
∂x1
∂f (x �1 ,x �2 )
∂x2
= λ� ∂h(x
�
1 ,x
�
2 )
∂x2
h (x�1 , x
�
2 ) = c
)
∂f (x �1 ,x
�
2 )
∂x1
= 0
∂f (x �1 ,x �2 )
∂x2
= 0
h (x�1 , x
�
2 ) = c
6
Quali…cação de Restrição Não-Degenerada (QRND)
Assim, o multiplicador λ desaparece do problema, i.e. é como se
estivéssemos impondo que a "punição" λ seja igual a zero.
Neste caso, não há garantias de que as escolhas de x1 e x2 que
satisfazem:
∂f (x1, x2)
∂x1
= 0 e
∂f (x1, x2)
∂x2
= 0
também satisfaçam:
h (x1, x2)� c = 0.
Portanto, de forma geral, o sistema formado pelas condições de
primeira-ordem não terá solução.
7
Exemplo
Exemplo 2: Considere o seguinte problema:
max
x1,x2
f (x1, x2) = x
2
1 x2
sujeito a
h (x1, x2) � 2x21 + x22 = 3
I Para veri…car se a quali…cação de restrição é satisfeita, precisamos
calcular os pontos críticos de h (x1, x2). Note que:
∂h (x1, x2)
∂x1
= 4x1 = 0 ) x1 = 0
e
∂h (x1, x2)
∂x2
= 2x2 = 0 ) x2 = 0
I Assim, o único ponto crítico desta função é (0, 0), o qual não satisfaz a
restição 2x21 + x
2
2 = 3. Logo, (0, 0) não pode ser solução do problema
e, portanto, a quali…cação de restrição não-degenerada está satisfeita.
8
Exemplo
(Cont.)
I A função Lagrangiana associada ao problema acima é dada por:
L (x1, x2,λ) = x21 x2 � λ
�
2x21 + x
2
2 � 3
�
I Assim, obtemos as seguintes condições de primeira-ordem:
∂L
∂x1
= 2x1x2 � 4λx1 = 0 (1)
∂L
∂x2
= x21 � 2λx2 = 0 (2)
∂L
∂λ
= 2x21 + x
2
2 � 3 = 0 (3)
9
Exemplo
(Cont.)
I Note que a equação (1) pode ser escrita como:
2x1 (x2 � 2λ) = 0 ) x1 = 0 ou x2 = 2λ
I Considere cada um desses casos separadamente:
i . Se x1 = 0 , então da equação (3) segue que:
x22 � 3 = 0 ! x2 = �
p
3
Portanto, (0,
p
3) e (0,�p3) são duas possíveis soluções do problema.
ii . Se x2 = 2λ , então da equação (2) segue que:
x21 � 2
� x2
2
�
x2 = 0 ! x21 = x22
Substituíndo esta expressão em (3), obtemos que:
3x21 � 3 = 0 ! x1 = �1
Portanto, (1, 1), (1,�1), (�1, 1) e (�1,�1) são mais quatro possíveis
soluções.
10
Exemplo
(Cont.)
I Pelo teorema de Lagrange, sabemos que, se o ponto de máximo
condicionado existe, então deve estar entre os seis candidatos
identi…cados acima.
I Para veri…car qual é a solução do problema, substituímos cada um
desses pontos em f (x1, x2):
f (0,
p
3) = f (0,�
p
3) = 0
f (1, 1) = f (�1, 1) = 1
e
f (1,�1) = f (�1,�1) = �1
I Portanto, (1, 1) e (�1, 1) são soluções do problema. Nestes casos,
tem-se que λ = 12 .
11
Exemplo
Observe que o grá…co da função f (x1, x2) = x21 x2 é dado por:
Portanto, (0,
p
3) é ponto de mínimo local e f (0,�p3) é ponto de
máximo local, mas nenhum deles é solução de máximo ou mínimo do
problema.
12
Exemplo
Observe que o grá…co da função f (x1, x2) = x21 x2 é dado por:
Portanto, (0,
p
3) é ponto de mínimo local e f (0,�p3) é ponto de
máximo local, mas nenhum deles é solução de máximo ou mínimo do
problema.
13
Exercício 18.2
Encontre as distâncias máxima e mínima da origem à elipse
x2 + xy + y2 = 3.
Respostas:
i . Soluções de máximo: (
p
3,�p3) e (�p3,p3).
ii . Soluções de mínimo: (1, 1) e (�1,�1).
14
Transformação Monótona
De…nição: Seja I � R um intervalo da reta real. Dizemos que
g : I ! R é uma transformação monótona de I se g (�) é uma função
estritamente crescente em I . Além disso, se g (�) é uma transformação
monótona e u (�) é uma função de n variáveis, então dizemos que
g � u : x 7�! g (u (x))
é uma transformação monótona de u (�) .
Se g (�) é uma função diferenciável e g 0 (x) > 0 para todo x 2 I ,
então g (�) é uma transformação monótona.
Intuitivamente, uma transformação monótona transforma um
conjunto de números em outro preservando a ordem original dos
números. Assim, g (�) é uma função monótona se para qualquer
x1,x2 2 R:
x1 > x2 $ g (x1) > g (x2)
15
Transformação Monótona
Considere os seguintes problemas:
max
x1,x2
f (x1, x2) (P1)
s.a. h (x1, x2) = c
e
max
x1,x2
g(f (x1, x2) ) (P2)
s.a. h (x1, x2) = c
onde g (�) é uma transformação monótona de f (x1, x2) .
Neste caso, se (x�1 , x
�
2 ) é solução do problema (P1), então (x
�
1 , x
�
2 )
também é solução do problema (P2).
16
Transformação Monótona
Exemplo: Suponha que x , y 2 R+. As seguintes funções são
transformações monótonas de f (x , y) = xy :
i . 3xy + 2
ii . (xy)2 (apenas se x , y 2 R+)
iii . (xy)3 + xy
iv . exy
v . ln (xy) = ln x + ln y (apenas se x , y 2 R+)
17