Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (28)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 29: O Problema do Consumidor
Marcos Y. Nakaguma
29/11/2017
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O Problema do Consumidor
2
O Problema do Consumidor
Considere o problema de um consumidor que deseja escolher
quantidades de dois bens, x1 e x2, de forma a maximizar a sua
utilidade sujeito à restrição orçamentária.
Formalmente, o indivíduo resolve o seguinte problema:
max
x1,x2
U (x1, x2) � xα1 x1�α2
sujeito a
p1x1 + p2x2 = w ,
onde p1 e p2 são os preços dos bens 1 e 2, w é a renda do consumidor
e α é um parâmetro da função de utilidade, com 0 < α < 1.
A função U (x1, x2) � xα1 x1�α2 é conhecida como função de utilidade
Cobb-Douglas.
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O Problema do Consumidor
A função Lagrangiana associada ao problema acima é:
L = xα1 x1�α2 � λ (p1x1 + p2x2 � w)
As condições de primeira ordem em relação a x1, x2 e λ são:
∂L
∂x1
= 0 ) αxα�11 x1�α2 � λp1 = 0 (1)
∂L
∂x2
= 0 ) (1� α) xα1 x�α2 � λp2 = 0 (2)
∂L
∂λ
= 0 ) p1x1 + p2x2 � w = 0 (3)
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O Problema do Consumidor
Note que as duas primeiras equações podem ser re-escritas como:
αxα�11 x
1�α
2 = λp1
(1� α) xα1 x�α2 = λp2
Dividindo uma pela outra, obtemos:
αxα�11 x
1�α
2
(1� α) xα1 x�α2
=
λp1
λp2
) α
(1� α)
x2
x1
=
p1
p2
Assim, segue que:
x2 =
(1� α) p1
αp2
x1 (4)
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O Problema do Consumidor
Substituíndo a expressão acima na restrição orçamentária, obtemos:
p1x1 + p2
�
(1� α) p1
αp2
x1
�
= w ) p1x1 + (1� α)
α
p1x1 = w ,
o que implica que:
αp1x1 + (1� α) p1x1 = αw
e portanto:
x�1 =
αw
p1
(5)
Utilizando a expressão acima para resolver para x2, temos:
x2 =
(1� α) p1
αp2
�
αw
p1
�
) x�2 =
(1� α)w
p2
(6)
6
O Problema do Consumidor
Finalmente, usando as duas expressões anteriores em conjunto com a
equação (1), podemos resolver para λ, assim obtendo:
α
�
αw
p1
�α�1 � (1� α)w
p2
�1�α
= λp1
) λ� =
�
α
p1
�α �1� α
p2
�1�α
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O Problema do Consumidor
Portanto, a solução do problema do consumidor é dada por:
x�1 (w , p1, p2) =
αw
p1
e
x�2 (w , p1, p2) =
(1� α)w
p2
,
com λ� (w , p1, p2) =
�
α
p1
�α �
1�α
p2
�1�α
.
As soluções x�1 (w , p1, p2) e x
�
2 (w , p1, p2) são chamadas funções
demanda.
Note que, no caso em que a função utilidade é Cobb-Douglas, o
indivíduo gasta uma fração α da sua renda no bem 1 e uma fração
1� α da sua renda no bem 2.
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O Signi…cado do Multiplicador de Lagrange
O valor da função utilidade do agente na solução é dado por:
V (w , p1, p2) � U (x�1 (w , p1, p2) , x�2 (w , p1, p2))
= x�1 (w , p1, p2)
α
x�2 (w , p1, p2)
1�α
=
�
αw
p1
�α � (1�α)w
p2
�1�α
=
�
α
p1
�α �
1�α
p2
�1�α
w
onde V (w , p1, p2) é denominada função utilidade indireta.
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O Signi…cado do Multiplicador de Lagrange
Assim, o efeito de um aumento marginal na renda sobre a utilidade
do agente é:
∂V (w , p1, p2)
∂w
=
�
α
p1
�α �1� α
p2
�1�α
= λ�
Portanto, λ� mede o valor (em termos de utilidade) de um
"relaxamento" da restrição orçamentária, p1x1 + p2x2 = w ("). É
comum referir-se a λ� como o preço-sombra da riqueza.
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Paul Samuelson
A interpretação econômica do multiplicador de Lagrange foi primeiro
proposta por Paul Samuelson em seu livro "Foundations of Economic
Analysis" publicado em 1947.
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O Signi…cado do Multiplicador de Lagrange
De forma geral, o multiplicador de Lagrange mede a sensibilidade do
valor da função objetivo no ponto de ótimo a variações no parâmetro
"a" da restrição. Considere o seguinte problema:
V (a) � max
x ,y
f (x , y)
sujeito a
h (x , y) = a
Teorema: Sejam f (�) e h (�) funções C 1 de duas variáveis. Para
qualquer valor …xo do parâmetro a, seja (x� (a) , y � (a)) a solução do
problema anterior com multiplicador correspondente λ�. Suponha que
x� (a) , y � (a) e λ� (a) são funções C 1 de a e que a QRND vale em
(x�, y �,λ�) . Então,
λ
� (a) =
dV (a)
da
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Extra: Otimização com Várias
Restrições de Igualdade
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Otimização com Várias Restrições de Igualdade
De forma mais geral, considere o problema de maximizar uma função
f (x1, ..., xn) de n variáveis sujeito a m restrições de igualdade:
max
x1,...,xn
f (x1, ..., xn)
sujeito a
h1 (x1, ..., xn) = c1
h2 (x1, ..., xn) = c2
...
hm (x1, ..., xn) = cm
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Otimização com Várias Restrições de Igualdade
Neste caso, a função Lagrangiana é dada por:
L (x1, ..., xn,λ1, ...,λm) = f (x1, ..., xn)� λ1 (h1 (x1, ..., xn)� c1)�
� λ2(h2 (x1, ..., xn)� c2)� ...� λm(hm (x1, ..., xn)� cm)
onde λ1, λ2, ..., λm são os m multiplicadores de Lagrange desse
problema.
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Otimização com Várias Restrições de Igualdade
As condições de primeira-ordem com relação a x1, ..., xn e λ1, ...,λm
são dadas por:8>>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>>:
∂L(�)
∂x1
= 0
...
∂L(�)
∂xn
= 0
∂L(�)
∂λ1
= 0
...
∂L(�)
∂λm
= 0
)
8>>>>>>>>>>>>>>>><
>>>>>>>>>>>>>>>>:
∂f (�)
∂x1
� λ1 ∂h1(�)∂x1 � ...� λm
∂hm (�)
∂x1
= 0
...
∂f (�)
∂xn
� λ1 ∂h1(�)∂xn � ...� λm
∂hm (�)
∂xn
= 0
h1 (�)� c1 = 0
...
hm (�)� cm = 0
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Exercício Resolvido
Exemplo: Considere o seguinte problema:
max f (x , y , z) = xyz
sujeito a:
h1(x , y , z) � x2 + y2 = 1
e
h2(x , y , z) � x + z = 1
I A função Lagrangiana associada ao problema acima é dada por:
L = xyz � λ1(x2 + y2 � 1)� λ2 (x + z � 1)
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Exercício Resolvido
(Cont.)
I As condições de primeira-ordem são as seguintes:
∂L
∂x
= 0 ) yz � 2λ1x � λ2 = 0 (7)
∂L
∂y
= 0 ) xz � 2λ1y = 0 (8)
∂L
∂z
= 0 ) xy � λ2 = 0 (9)
∂L
∂λ1
= 0 ) x2 + y2 � 1 = 0 (10)
∂L
∂λ2
= 0 ) x + z � 1 = 0 (11)
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Exercício Resolvido
(Cont.)
I Das equações (8) e (9), segue que:
xz � 2λ1y = 0 ! λ1 = xz2y
e
xy � λ2 = 0 ! λ2 = xy
I Substituíndo as expressões acima em (7), obtemos:
yz � 2
�
xz
2y
�
x � xy = 0 $ y2z � x2z � xy2 = 0 (12)
I Em seguida, usando as equações (10) e (11), temos que:
x2 + y2 � 1 = 0 ! y2 = 1� x2
e
x + z � 1 = 0 ! z = 1� x
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Exercício Resolvido
(Cont.)
I Substituíndo as expressões acima na equação (12), obtemos:
(1� x2) (1� x)� x2 (1� x)� x(1� x2) = 0
Note que podemos expressar esta expressão como:
3x3 � 2x2 � 2x + 1 = 0
) (x � 1)
�
x � 1
6
(�1+
p
13)
��
x � 1
6
(�1�
p
13)
�
= 0,
I As raízes desta equação cúbica são: x
0
= 1, x
00 ' 0, 4343 e
x
000 ' �0, 7676.
I Assim, são possíveis soluções:
(x = 1, y = 0, z = 0)
(x = 0, 4343, y = �0, 9008, z = 0, 5657)
(x = �0, 7676, y = �0, 6409, z = 1, 7676)
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Exercício Resolvido
(Cont.)
I Substituíndo cada um desses pontos na função objetivo, obtemos:
f (x = 1, y = 0, z = 0) = 0
f (x = 0, 4343, y = 0, 9008, z = 0, 5657) = 0, 221
f (x = 0, 4343, y = �0, 9008, z = 0, 5657) = �0, 221
f (x = �0, 7676, y = 0, 6409, z = 1, 7676) = �0, 869
f (x = �0, 7676, y = �0, 6409, z = 1, 7676) = 0, 869
I Portanto, o ponto de ótimo local é:
(x = �0, 7676, y = �0, 6409, z = 1, 7676)
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