Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (29)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 30 (Extra): Revisão
Marcos Y. Nakaguma
29/11/2017
1
Aviso
A prova …nal será realizada no dia 01/12 (sexta-feira) no horário
normal da aula. O exame cobrirá toda a matéria dada após a segunda
prova, a saber:
1. Autovalores e Autovetores
2. Equações Diferenciais de 1.a e 2.a Ordens
3. Sistemas de Equações Diferenciais
4. Equações a Diferenças
5. Estática Comparativa
6. Otimização com Restrição de Igualdade (Método de Lagrange)
2
Exercício Extra: Equações a Diferenças
Exercício: Resolva a seguinte equação a diferenças e determine se a
trajetória da solução é oscilatória ou não-oscilatória e convergente ou
divergente:
yt+1 =
1
3
yt + 6, com y0 = 1
Desenhe o diagrama de fases associado a esta equação.
I Note que, neste caso:
a =
1
3
b = 6,
de forma que o ponto de equilíbrio é dado por:
y =
b
1� a =
6
1� 13
= 9
3
Exercício Extra: Equações a Diferenças
(Cont.)
I A solução geral da equação a diferenças é dada por:
yt =
�
y0 � b
1� a
�
at +
b
1� a ,
ou seja:
yt = (y0 � 9)
�
1
3
�t
+ 9
I Dada a condição inicial y0 = 1, temos a seguinte solução particular é a
seguinte:
yt = �8
�
1
3
�t
+ 9
4
Exercício Extra: Equações a Diferenças
(Cont.)
I Note que
lim
t!∞yt = limt!∞� 8
�
1
3
�t
+ 9 = 9
Assim, a trajetória é convergente. Além disso, como a > 0, temos que
a trajetória é não-oscilatória.
I Neste caso, o diagrama de fases possui a seguinte aparência:
5
Exercício Extra: Estática Comparativa
Exercício: Considere o sistema de equações:
x2 + y = uv
xy = �u2 + v2
Suponha que x e y são variáveis endógenas e u e v são variáveis
exógenas. O ponto (x , y , u, v) = (1,�1, 1, 0) satisfaz o sistema.
Calcule ∂x
∂u
e ∂y
∂u
em torno desse ponto.
I O sistema acima de…ne soluções x� e y� como função dos parâmetros
u e v :
x� = x (u, v)
y� = y (u, v)
I Substituindo essas soluções no sistema acima, obtemos:
(x (u, v))2 + y (u, v)� uv � 0
x (u, v) y (u, v) + u2 � v2 � 0
6
Exercício Extra: Estática Comparativa
(Cont.)
I Derivando as expressões acima em relação a u, obtemos:
2x
∂x
∂u
+
∂y
∂u
� v = 0
∂x
∂u
y + x
∂y
∂u
+ 2u = 0
I Queremos resolver este sistema para ∂x
∂u e
∂y
∂u . Para tanto, expresse as
equações acima em forma matricial:�
2x 1
y x
� "
∂x
∂u
∂y
∂u
#
=
�
v
�2u
�
7
Exercício Extra: Estática Comparativa
(Cont.)
I Pela Regra de Cramer, segue que:
dx (u, v)
du
=
���� v 1�2u x
�������� 2x 1y x
���� =
vx + 2u
2x2 � y
e
dy (u, v)
du
=
���� 2x vy �2u
�������� 2x 1y x
���� = �
4ux + vy
2x2 � y
I Portanto, em torno do ponto (x , y , u, v) = (1,�1, 1, 0), temos:
dx (1, 0)
du
=
2
3
> 0
e
dy (1, 0)
du
= �4
3
< 0
8
Exercício Extra: Minimização de Custo
Considere uma empresa que produz quantidades (Y ) de um
determinado produto, através da função de produção Y = 10K
3
4 L
1
4 .
Sabendo-se que os preços dos insumos capital (K ) e trabalho (L) são
respectivamente PK = 32 e PL = 2 e que a empresa planeja produzir
por mês Y = 500 unidades do produto, resolva o problema de
minimização de custo da …rma.
I Primeiramente, note que a função custo e a função de produção da
…rma são dadas, respectivamente, por:
C (K , L) = 32K + 2L
e
Y = 10K
3
4 L
1
4
9
Exercício Extra: Minimização de Custo
(Cont.)
I O problema de minimização de custo da …rma é dado por:
min
K ,L
32K + 2L
sujeito a
10K
3
4 L
1
4 = 500
I A função Lagrangiana associada a este problema é dada por:
L = 32K + 2L� λ
�
10K
3
4 L
1
4 � 500
�
10
Exercício Extra: Minimização de Custo
(Cont.)
I Assim, as condições de primeira-ordem são dadas por:
32� λ103
4
K�
1
4 L
1
4 = 0 (1)
2� λ101
4
K
3
4 L�
3
4 = 0 (2)
10K
3
4 L
1
4 = 500 (3)
I Dividindo as duas primeiras condições, obtemos a relação ótima entre
K e L:
32
2
=
λ1034K
� 14 L
1
4
λ1014K
3
4 L�
3
4
$ 16 = 3 L
K
)
) L = 16
3
K (4)
11
Exercício Extra: Minimização de Custo
(Cont.)
I Substituindo a expressão acima na restrição do problema, obtemos:
10K
3
4
�
16
3
K
� 1
4
= 500 $ K = 3
1
4
2
50 )
) K � = 25 4
p
3 (5)
I Da relação ótima entre os insumos, obtemos que:
L =
16
3
�
25
4
p
3
�
) L� = 400
3
4
p
3 (6)
12
Exercício Extra: Minimização de Custo
(Cont.)
I Finalmente, note que, da equação (1), o multiplicador de Lagrange
deve ser tal que:
λ10
3
4
K�
1
4 L
1
4 = 32 $ λ30
4
�
L
K
� 1
4
= 32
Como no ponto de ótimo, LK =
16
3 , temos que:
λ
30
4
�
16
3
� 1
4
= 32 $ λ 30.2
4. 4
p
3
= 32 )
) λ� = 64
4
p
3
30
=
32
5
4
p
33
(7)
13
Exercício Extra: Minimização de Custo
(Cont.)
I Qual é a interpretação do multiplicador de Lagrange, neste caso? Seja
C � (q) o valor da função custo no ponto de ótimo:
C � (q) � min
K ,L
32K + 2L
sujeito a
10K
3
4 L
1
4 = q,
onde q é o número de unidades produzidas.
I Note que o multiplicador de Lagrange sempre satisfaz a seguinte
relação:
dC � (q)
dq
= λ�, (�)
ou seja, o multiplicador de Lagrange mede o custo de produzir uma
unidade extra a partir de q.
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Exercício Extra: Minimização de Custo
(Cont.)
I Portanto, λ� = 32
5
4p
33
é o custo marginal de produção quando q = 500.
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Exercício 18.2
Encontre as distâncias máxima e mínima da origem à elipse
x2 + xy + y2 = 3.
I Note que a distância de um ponto qualquer (x , y) à origem, pode ser
expresso como:
d =
p
x2 + y2
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Exercício 18.2
(Cont.)
I Logo, realizando uma transformação monótona na função objetivo,
podemos expressar o problema de otimização como:
max
x ,y
f (x , y) � x2 + y2
sujeito a:
x2 + xy + y2 = 3
I A função Lagrangiana associada a este problema é dada por:
L = x2 + y2 � λ
�
x2 + xy + y2 � 3
�
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Exercício 18.2
(Cont.)
I As condições de primeira-ordem do problema são as seguintes:
2x � 2λx � λy = 0 (8)
2y � λx � 2λy = 0 (9)
x2 + xy + y2 = 3 (10)
I Dividindo a primeira condição pela segunda, obtemos:
2x
2y
=
λ (2x + y)
λ (x + 2y)
$ x (x + 2y) = y (2x + y) $
$ x2 = y2 ) x = �y
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Exercício 18.2
(Cont.)
I Note que se x = y , então, da restrição do problema, segue que:
x2 + x2 + x2 = 3 ) x� = �1
Portanto, (1, 1) e (�1,�1) são pontos críticos do problema.
I Neste caso, o multiplicador de Lagrange é dado por:
2x � 2λx � λy = 0 ) λ� = 2
3
19
Exercício 18.2
(Cont.)
I Se, por outro lado, x = �y , então, da restrição do problema, segue
que:
x2 � x2 + x2 = 3 ) x� = �
p
3
Portanto, (
p
3,�p3) e (�p3,p3) são pontos críticos do problema.
I Neste caso, o multiplicador de Lagrange é dado por:
2x � 2λx � λy = 0 ) λ� = 2
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Exercício 18.2
(Cont.)
I Pelo teorema de Lagrange, sabemos que os pontos de máximo e
mínimo condicionado, caso existam, devem estar entre os pontos
críticos identi…cados acima.
I Em particular, note que:
f (1, 1) = f (�1,�1) = 2
e
f (
p
3,�
p
3) = (�
p
3,
p
3) = 6
Portanto, (
p
3,�p3) e (�p3,p3) são pontos de máximo e (1, 1) e
(�1,�1) são pontos de mínimo.
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Exercício 19.1
Com base na solução do exercício anterior, "estime" o quadrado da
distância máxima da origem à elipse x2 + xy + y2 = 3, 3.
I Seja V (a) o valor máximo da distância ao quadrado da origem à elipse
x2 + xy + y2 = a, i.e.:
V (a) � max
x ,y
x2 + y2
sujeito a:
x2 + xy + y2 = a,
com a 2 R+.
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Exercício 19.1
(Cont.)
I No exercício anterior, vimos que se a = 3, então os pontos de máximo
são os seguintes: �
(
p
3,�p3)
(�p3,p3), com λ
� = 2
Logo, segue que:
V (3) = (
p
3)2 + (
p
3)2 = 6
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Exercício 19.1
(Cont.)
I O presente exercício nos pede para "estimar" o valor de V (3, 3). Note
que sabemos que:
dV (a)
da
= λ�,
de forma que podemos realizar a seguinte aproximação:
V (a+ ε) � V (a) + λ�ε,
para um ε pequeno.
I Logo, segue que:
V (3, 3) = V (3) + λ�.0, 3 = 6+ 2.0, 3 = 6, 6
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