Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (10)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 10: Subespaços Associados a uma Matriz (Cont.)
Marcos Y. Nakaguma
01/09/2017
1
Revisão
Na aula passada, vimos que dada uma matriz de coe…cientes n�m:
A =
0
B@
a11 � � � a1m
...
. . .
...
an1 � � � anm
1
CA = � a1, ..., am �
o subconjunto de Rn gerado pelas colunas de A é denominado
espaço-coluna de A:
Col (A) = L[a1, ..., am ]
De…nição: Uma coluna de uma matriz A é uma coluna básica se a
coluna correspondente na sua forma escalonada por linhas Ar contém
um pivô.
Teorema: As colunas básicas de A constituem uma base de Col (A) .
2
Dimensão do Espaço-Coluna de A
Exemplo 2: Considere a matriz A e a sua forma escalonada Ar :
A =
0
@ 2 3 1 42 3 7 9
2 3 13 14
1
A e Ar =
0
@ 2 3 1 40 0 6 5
0 0 0 0
1
A
I A colunas básicas de A:0
@ 22
2
1
A e
0
@ 17
13
1
A
constituem uma base do espaço-coluna de A, Col (A).
I Por sua vez, os vetores 0
@ 20
0
1
A e
0
@ 16
0
1
A
constituem uma base do espaço coluna de Ar . Note que dimCol (A) =
dimCol (Ar ) = 2, porém Col (A) 6= Col (Ar ) .
3
Dimensão do Espaço-Coluna de A
(Cont.)
I Além disso, é possível mostrar que a quarta coluna de ambas as
matrizes pode ser expressa como uma combinação linear das bases do
espaço-coluna das respectivas matrizes. De fato, temos que:0
@ 49
14
1
A = 19
12
0
@ 22
2
1
A+ 5
6
0
@ 17
13
1
A
e 0
@ 45
0
1
A = 19
12
0
@ 20
0
1
A+ 5
6
0
@ 16
0
1
A
Note que os coe…cientes das combinações lineares associados à cada
uma das bases é idêntico.
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Dimensão do Espaço-Coluna de A
Teorema: Para qualquer matriz A de tamanho n�m :
dimCol (A) = posto A
I Prova:
dimCol (A) = no de vetores em uma base de Col (A)
= no de pivôs em Ar
= no de linhas não-nulas em Ar
= posto de A
�
5
O Papel do Espaço-Coluna de A
Seja A uma matriz de coe…cientes associada a um sistema de
equações lineares Ax = b.
Note que podemos re-expressar este sistema como:
b =
0
B@
a11 � � � a1m
...
. . . � � �
an1 � � � anm
1
CA
0
B@
x1
...
xm
1
CA
= x1
0
B@
a11
...
an1
1
CA+ ...+ xm
0
B@
a1m
...
anm
1
CA
= x1a1 + x2a2 + ...+ xmam
Desta forma, o sistema Ax = b possui solução se, e somente se,
b 2 Col (A) .
6
O Papel do Espaço-Coluna de A
Teorema: Seja A uma matriz de tamanho n�m.
i . O sistema de equações Ax = b tem uma solução para b 2 Rn se, e
somente se, b está no espaço-coluna Col (A) .
ii . O sistema Ax = b tem uma solução para qualquer b se, e somente se,
posto A = n.
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O Papel do Espaço-Coluna de A
Exemplo: Considere o sistema:0
BB@
2 6 0
3 1 3
1 0 0
4 8 1
1
CCA
0
@ x1x2
x3
1
A =
0
BB@
b1
b2
b3
b4
1
CCA
de quatro equações e três incógnitas, i.e. n = 4 e m = 3.
I Como n > m, então posto A < n (neste caso, pode-se veri…car que
posto A = 3).
I Assim, dimCol (A) = 3 e o conjunto dos vetores b para os quais existe
uma solução é um subespaço tridimensional de R4.
I Portanto, existirão muitos vetores b para os quais este sistema não
possui solução.
8
Espaço-Nulo
De…nição: O conjunto das soluções do sistema homogêneo Ax = 0 é
denominado espaço-nulo de A e é denotado por Nul (A) .
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Teorema Fundamental da Álgebra Linear
Teorema: Seja A uma matriz n�m. Então,
dimNul (A) = m� dimCol (A)
= m� posto A,
onde m é o número de variáveis/colunas do sistema.
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Teorema Fundamental da Álgebra Linear
Exemplo: Considere a matriz A e a sua forma escalonada Ar :
A =
0
@ 2 3 1 42 3 7 9
2 3 13 14
1
A e Ar =
0
@ 2 3 1 40 0 6 5
0 0 0 0
1
A
I Um vetor x pertece a Nul (A) se, e somente se, Ax = 0, i.e.:8<
:
2x1 + 3x2 + x3 + 4x4 = 0
2x1 + 3x2 + 7x3 + 9x4 = 0
2x1 + 3x2 + 13x3 + 14x4 = 0
I Dada a matriz escalonada Ar , sabemos que este sistema pode ser
re-expresso como:�
2x1 + 3x2 + x3 + 4x4 = 0
6x3 + 5x4 = 0
Portanto, Nul (A) = Nul (Ar ) . No sistema acima, iremos tratar x1 e
x3 como variáveis básicas e x2 e x4 como variáveis livres.
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Teorema Fundamental da Álgebra Linear
(Cont.)
I Re-arranjando o sistema acima de modo a escrever as variáveis básicas
em termos das variáveis livres, obtemos:
x3 = �
5
6
x4
e
x1 = �
3
2
x2 �
1
2
�
�
5
6
x4
�
� 2x4
= �
3
2
x2 �
19
12
x4
I Assim, cada solução x de Ax = 0 pode ser escrita como:0
BB@
x1
x2
x3
x4
1
CCA =
0
BB@
� 32 x2 �
19
12 x4
x2
� 56 x4
x4
1
CCA = x2
0
BB@
� 32
1
0
0
1
CCA+ x4
0
BB@
� 1912
0
� 56
1
1
CCA
12
Teorema Fundamental da Álgebra Linear
(Cont.)
I Os vetores: 0
BB@
� 32
1
0
0
1
CCA e
0
BB@
� 1912
0
� 56
1
1
CCA
formam uma base do espaço-nulo de A, de modo que dimNul (A) = 2.
I Esta conclusão é consistente com o teorema anterior, pois:
dimNul (A) = no de variáveis livres
= no de colunas � posto A
= 4� 2 = 2
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Exercício 1: 27.12(d)
Exercício: Calcule uma base do espaço-nulo da seguinte matriz:
A =
0
@ 4 1 �5 18 5 �10 8
�4 2 7 5
1
A
I O espaço-nulo de A é dado pelo conjunto de soluções do sistema de
equações homogêneo Ax = 0.
I Note que a matriz A em sua forma escalonada por linhas é dada por:
Ar =
0
@ 4 1 �5 10 3 0 6
0 0 2 0
1
A
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Exercício 1: 27.12(d)
(Cont.)
I Assim, o sistema Ax = 0 pode ser expresso como:8<
:
4x1 +x2 �5x3 +x4 = 0
3x2 +6x4 = 0
2x3 = 0
)
8<
:
x1 =
1
4 x4
x2 = �2x4
x3 = 0
onde x4 é a variável livre do sistema.
I Portanto, qualquer solução de Ax = 0 pode ser escrita como:
x =
0
BB@
x1
x2
x3
x4
1
CCA =
0
BB@
1
4 x4
�2x4
0
x4
1
CCA = x4
0
BB@
1
4
�2
0
1
1
CCA
e o vetor ( 14 ,�2, 0, 1) constitui uma base de Nul (A), de forma que
dimNul (A) = 1.
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Exercício 1: 27.12(d)
(Cont.)
I Assim como anteriormente, note que:
dimNul (A) = no de variáveis livres
= no de variáveis � posto A
= no de variáveis � Col (A)
= 4� 3 = 1
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Exercício 2: 27.14(a)
Exercício: Descreva o conjunto solução do sistema Ax = b, com:
A =
�
2 �1
4 �2
�
e b =
�
4
8
�
I O nosso objetivo é caracterizar os valores de x1 e x2 que satisfaçam o
seguinte sistema: �
2 �1
4 �2
��
x1
x2
�
=
�
4
8
�
I Primeiramente, gostaríamos de veri…car se o conjunto solução é ou não
vazio. Para tanto, considere a matriz ampliada:
bA = � 2 �1 4
4 �2 8
�
17
Exercício 2: 27.14(a)
(Cont.)
I Reduzindo a matriz ampliada a sua forma escalonada obtemos:�
2 �1 4
0 0 0
�
Assim, posto A = posto bA = 1 e, portanto, o sistema possui solução
(i.e. o conjunto solução é não vazio).
I Para caracterizar o conjunto solução de Ax = b, observe que x1 e x2
são solução do sistema se, e somente se:
2x1 � x2 = 4! x2 = 2x1 � 4,
onde x1 é uma variável livre do sistema.
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Exercício 2: 27.14(a)
(Cont.)
I Assim, para x1 2 R, toda solução do sistema deve possuir a seguinte
forma:
x =
�
x1
2x1 � 4
�
= x1
�
1
2
�
�
�
0
4
�
19