Aula de Matemática aplicada a Economia Nakagumma (12)

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EAE0207: Matemática Aplicada à Economia
Aula 12: Transformações Lineares (Cont.)
Marcos Y. Nakaguma
15/09/2017
1
Exercício Resolvido
Exercício: Calcule uma base do espaço-nulo da seguinte matriz:
A =
0
@ 1 2 0 �2 00 0 1 3 0
1 2 1 1 1
1
A
I O espaço-nulo de A é dado pelo conjunto de soluções do sistema de
equações homogêneo Ax = 0.
I Note que a matriz A em sua forma escalonada por linhas é dada por:
Ar =
0
@ 1 2 0 �2 00 0 1 3 0
0 0 0 0 1
1
A
2
Exercício Resolvido
(Cont.)
I Assim, o sistema Ax = 0 pode ser expresso como:8<
:
x1 +2x2 �2x4 = 0
x3 +3x4 = 0
x5 = 0
)
8<
:
x1 = �2x2 + 2x4
x3 = �3x4
x5 = 0
onde x2 e x4 são variáveis livres do sistema.
I Portanto, qualquer solução de Ax = 0 pode ser escrita como:
x =
0
BBBB@
x1
x2
x3
x4
x5
1
CCCCA =
0
BBBB@
�2x2 + 2x4
x2
�3x4
x4
0
1
CCCCA = x2
0
BBBB@
�2
1
0
0
0
1
CCCCA+ x4
0
BBBB@
2
0
�3
1
0
1
CCCCA
Os vetores (�2, 1, 0, 0, 0) e (2, 0,�3, 1, 0) formam uma base de
Nul (A), de forma que dimNul (A) = 2.
3
Exercício
(Cont.)
I Assim, temos que:
dimNul (A) = no de variáveis livres
= no de variáveis � posto A
= no de variáveis � Col (A)
= 5� 3 = 2
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Tranformações Lineares
Na aula passada, vimos que uma matriz de coe…cientes n� k de…ne a
seguinte função T : Rk ! Rn:2
6664
a11 a12 � � � a1k
a21 a22 � � � a2k
...
...
. . .
...
an1 an2 � � � ank
3
7775
2
6664
x1
x2
...
xk
3
7775 =
2
6664
y1
y2
...
yn
3
7775
A função T (x) = Ax é chamada de transformação linear.
Dada uma transformação linear T : Rk ! Rn, de…nimos:
i . Imagem de T:
Im (T ) = fy 2 Rn : T (x) = y para algum x 2 Rkg
ii . Núcleo de T:
Nul (T ) = fx 2 Rk : T (x) = 0g
5
Tranformações Lineares
De…nição: Uma transformação linear T : Rk ! Rn é injetora se, e
somente se, para quaisquer x1, x2 2 Rk :
T (x1) = T (x2) ) x1 = x2
De…nição: Uma transformação linear T : Rk ! Rn é sobrejetora se, e
somente se, Im (T ) = Rn.
6
Tranformações Lineares
Teorema: Uma transformação linear T : Rk ! Rn é injetora se, e
somente se, Nul (T ) = f0g .
Prova:
(() Suponha que Nul (T ) = f0g e considere x1, x2 2 R
k quaisquer com
T (x1) = T (x2)
Note que podemos re-escrever a expressão acima como:
T (x1) = T (x2) $ Ax1 = Ax2 $ A(x1 � x2) = 0
$ T (x1 � x2) = 0
Assim, como Nul (T ) = f0g, segue que:
x1 � x2 = 0 ) x1 = x2
Portanto, T é injetora.
7
Tranformações Lineares
(Cont.)
()) Suponha que T é injetora e considere x 2 Rk qualquer com
T (x) = 0
Note que podemos escrever:
T (x) = T (0)
Assim, como T é injetora, temos que:
x = 0
Portanto, Nul(T ) = f0g.
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Tranformações Lineares
Exemplo 1: Considere a transformação linear T : R3 ! R2, com:
T (x) =
�
1 0 0
0 1 0
� 24 x1x2
x3
3
5 ) � y1
y2
�
=
�
x1
x2
�
I Note que:
dim Im (T ) = 2
Portanto, Im (T ) = R2, o que implica que T é sobrejetora.
I Pelo teorema fundamental da álgebra, segue que:
dimNul (T ) = 3� 2 = 1
Assim, Nul (T ) 6= f0g, o que implica que T não é injetora.
9
Tranformações Lineares
Exemplo 2: Considere a transformação linear T : R2 ! R2, com:
T (x) =
�
1 3
2 1
� �
x1
x2
�
)
�
y1
y2
�
=
�
x1 + 2x2
2x1 + x2
�
I Note que:
dim Im (T ) = 2
Portanto, Im (T ) = R2, o que implica que T é sobrejetora.
I Pelo teorema fundamental da álgebra, segue que:
dimNul (T ) = 2� 2 = 0
Assim, Nul (T ) = f0g, o que implica que T é injetora.
I Se uma função é tanto injetora quanto sobrejetora, então dizemos que
ela é bijetora.
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Tranformações Lineares
Exemplo 3: A transformação linear T : R2 ! R3, com:
T (x) =
2
4 1 00 1
0 0
3
5 � x1
x2
�
)
2
4 y1y2
y3
3
5 =
2
4 x1x2
0
3
5
é um exemplo de uma transformação linear injetora, mas não
sobrejetora.
I Note que:
dim Im (T ) = 2
Portanto, Im (T ) � R3, de forma que que T é não é sobrejetora.
I Pelo teorema fundamental da álgebra, segue que:
dimNul (T ) = 2� 2 = 0
Assim, Nul (T ) = f0g, o que implica que T é injetora.
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Tranformações Lineares
Exemplo 4: A transformação linear T : R3 ! R3, com:
T (x) =
2
4 1 �1 01 0 �1
0 1 �1
3
5
2
4 x1x2
x3
3
5 )
2
4 y1y2
y3
3
5 =
2
4 x1 � x2x1 � x3
x2 � x3
3
5
é um exemplo de uma transformação linear que não é nem injetora,
nem sobrejetora.
I Note que, escalonando a matriz de coe…cientes, obtemos que:
dim Im (T ) = 2
Portanto, Im (T ) � R3, de forma que que T é não é sobrejetora.
I Pelo teorema fundamental da álgebra, segue que:
dimNul (T ) = 3� 2 = 1
Assim, Nul (T ) 6= f0g, o que implica que T é não é injetora.
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Geometria das
Transformações Lineares
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Transformações Lineares: Vetor Fixo
Dada uma transformação linear:
T : Rn ! Rn,
gostaríamos de determinar quais vetores x 2 Rn são "levados" neles
mesmos por esta transformação, i.e.:
T (x) = x $ Ax = x,
onde A é uma matriz quadrada n� n. Neste caso, dizemos que x é
um vetor …xo.
Note que o vetor nulo, x = 0, sempre é um vetor …xo, de modo que
vamos desconsiderá-lo de nossa análise.
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Transformações Lineares: Vetor Fixo
Exemplo 1: Transformação Identidade.
I Considere a seguinte transformação linear T : R2 ! R2 :
T (x) =
�
1 0
0 1
� �
x1
x2
�
)
�
y1
y2
�
=
�
x1
x2
�
I Logo, segue que:
T (x) = x,
de forma que todo x 2 R2 é um vetor …xo.
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Transformações Lineares: Vetor Fixo
Exemplo 2: Re‡exão no Eixo x.
I Considere a seguinte transformação linear T : R2 ! R2 :
T (x) =
�
1 0
0 �1
� �
x1
x2
�
)
�
y1
y2
�
=
�
x1
�x2
�
I Neste caso, os vetores …xos devem ser tais que:�
x1
x2
�
=
�
x1
�x2
�
! x2 = �x2 ) x2 = 0
I Portanto, todo vetor x 2 R2 pertencente ao eixo x, i.e.:
x =
�
x1
0
�
é mantido …xo pela transformação.
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Transformações Lineares: Vetor Fixo
Exemplo 3: Rotação de 90o .
I Considere a seguinte transformação linear T : R2 ! R2 :
T (x) =
�
0 �1
1 0
� �
x1
x2
�
)
�
y1
y2
�
=
�
�x2
x1
�
I Neste caso, os vetores …xos devem ser tais que:�
x1
x2
�
=
�
�x2
x1
�
!
�
x1 = �x2
x1 = x2
) x1 = x2 = 0
I Portanto, o único vetor …xo é o zero.
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