AULA 1 MARKOV MATRIZES vr 2018

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MODELAGEM DE SISTEMAS DISCRETOS
José Antonio Moreira Xexéo
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10/02/2018
CADEIAS DE MARKOV
VETORES E MATRIZES
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MODELAGEM DE SISTEMAS DISCRETOS
José Antonio Moreira Xexéo
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Um vetor u é uma n-upla de números u = (u1, u2, u3, ....un)
 
Os ui são as componentes de u.
 
Se todos os ui = 0, então u é o vetor 0.
 
ku = (ku1, ku2, ........ kun) é um múltiplo escalar de u.
 
Dois vetores são iguais se todas as suas componentes forem iguais.
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VETORES
 
Um vetor u é uma n-upla de números u = (u1, u2, u3, ....un)
 
Os ui são as componentes de u.
 
Se todos os ui = 0, então u é o vetor 0.
 
ku = (ku1, ku2, ........ kun) é um múltiplo escalar de u.
 
Dois vetores são iguais se todas as suas componentes forem iguais.
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Matrizes
Matriz é um arranjo retangular (uma tabela retangular com números reais ou complexos) com elementos da forma
Ordem da matriz: a matriz com m linhas e n colunas é de ordem m x n
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Matrizes - exemplos
A ordens são 2x2; 3x3 e 3x1. 
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Igualdade entre matrizes: A matriz A é igual à matriz B se somente se A e B forem de mesma ordem e suas células correspondentes forem iguais, isto é, A(i,j) = B(i,j) para todo i e todo j.
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=
?
=
?
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Soma de matrizes: A soma de matrizes só é definida para matrizes de mesma ordem e seu resultado é dado pela expressão: C (i,j) = A(i,j) + B(i,j) 
		 +		= 			 = 
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Multiplicação por um escalar: Seja a matriz A (m x n) e k um escalar. Então k.A é a matriz m x n cujos elementos são resultado do produto de cada elemento de A por k.
	3 . 			= 
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Multiplicação de matrizes: Seja A uma matriz m x n e B uma matriz n x p. O produto AB de A por B é uma matriz m x p na qual a célula (i,j) é dada por
	AB (i,j) = A(i,1)B(1,j) + A(i,2)B(2,j) + ....+ A(i,n)B(n,j), para 1 ≤ i ≤ m ; 1 ≤ j ≤ p
			 =					 = 								 
Importante: O produto AB só existe se A for m x n e B for n x p. A matriz produto AB será uma matriz m x p.
Importante: O resultado do produto entre matrizes AB nem sempre é igual ao produto BA.
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Exercícios
		 =
 	 =
 	Dê exemplo para mostrar que k(A+B) = kA + kB
 	Dê exemplo para mostrar que (p + q)A = pA + qA
	Dê exemplo para mostrar que (AB)C = A(BC)		
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Matrizes Especiais
Matriz Identidade: A matriz quadrada n x n cujos componentes a (i,i) = 1 e os componentes a(i,j) = 0 para i ≠ j é a matriz identidade I.
Propriedade de I: dada A, matriz quadrada (m = n), então, AI = IA = A
		 =			 = 		
		 = 		VERIFIQUE!
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Exercícios
Seja A = 		 calcule AI e IA
Seja A = 	 calcule B tal que AB = I	
Dada A	 =	 calcule A.A = A2		 
Se A é quadrada, pode-se calcular as potências de A: A2 = AA; A3 = AA2 ; A4 = AA3
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Vetor fixo ou ponto fixo
Se A é uma matriz e se u é um vetor com n componentes, o produto uA também é um vetor com n componentes.
O vetor u, diferente de 0, é um vetor fixo ou ponto fixo de A se u não se alterar quando for multiplicado por A, isto é:
				uA = u
Nesse caso, para qualquer escalar k, teremos: (ku)A = k(uA) = ku. 
Logo:
Se u é um vetor fixo de uma matriz A, então qualquer ku, não nulo, também é. 
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Vetor fixo ou ponto fixo – exemplo
u = (2, -1) é vetor fixo de A =		porque (2, -1) = (2.1+(-1).0; 2.0+(-1).1) = (2, -1)	 
2u = (4, -2) também é vetor fixo de A = porque
(4, -2) = (4, -2)
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Vetores de probabilidade
Um vetor u = (u1, u2, ....nn) é chamado de vetor de probabilidade se seus componentes são não negativos e somam 1.
Exemplos
 
u = (1/3, 1/5, -1/7, 2/5) não é vetor de probabilidade.
v = (1/4, 1/4 , 0, 1/2) é um vetor de probabilidade.
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Matrizes estocásticas
Uma Matriz quadrada é chamada de matriz estocástica se cada uma das suas linhas for um vetor de probabilidade
Exercício
Qual das matrizes abaixo é estocástica? Por que?
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Matrizes estocásticas - Teorema
Se A e B são matrizes estocásticas, então o produto AB também é. Consequentemente, as potências An também.
Exercício: Sejam as matrizes abaixo. São estocásticas? E o produto?
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Matrizes estocásticas regulares
Uma matriz estocástica P é regular se todas as entradas de alguma potência Pn forem positivas.
Exemplo:
P = 		 	é estocástica e regular porque regular porque suas linhas são 				vetores de probabilidade e 
P2 =				 = 					
				
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Pontos fixos e matrizes estocásticas regulares
Teorema: Seja P uma matriz estocástica regular, então:
	
P tem um único vetor fixo de probabilidade (t) e os componentes de t são todos positivos.
As entradas (células) das potências P, P2, ..Pn, convergem para entradas correspondentes da matriz T, cujas linhas são todas iguais ao vetor fixo t.
Se p é um vetor de probabilidade qualquer, então a sequência de vetores p.P; p.P2, ..p.Pn converge para o ponto fixo t.
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Pontos fixos e matrizes estocásticas regulares
Exemplo: Seja P uma matriz estocástica regular 	
Qual é o vetor fixo de probabilidade de P ? 
(x, 1-x) = (x, 1–x). Logo: x = 1/3 e o vetor fixo é (1/3; 2/3)			
Qual é a matriz T ? 
Exercício: calcule P2, P4 e P8
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