Resumo calculo 2

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RESUMÃORESUMÃO
Cálculo 2
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y = r sen ( )
CÔNICAS CLÁSSICAS ( IR2) =
P1
APROXIMAÇÃO LINEAR DE TAYLOR:
(x-x0)2 + (y-y0)
2 = R2
(x-x0)
2 + (y-y0)
2 = 1
a2 b2
(x-x0)
2 - (y-y0)
2 = 1
a2 b2
QUÁDRICAS ( IR3) =
L(x,y,z) = f(x0,y0,z0) + f(x0,y0,z0)x (x-x0,y-y0,z-z0)
z
c
x2
a2
y2
b2= +
z2
c2
x2
a2
y2
b2+ + =1
z2
c2
x2
a2
y2
b2+
y2
b2+
- =1
z2
c2
x2
a2
y2
b2+ - =0
z2
c2
x2
a2+=1
z
c
x2
a2
y2
b2= -
Parabolóide (Elíptico ou de Revolução)
Círculvo
Elipse
Hipérbole
Parabolóide Hiperbólico (”SELA”)
Elipse
Hiperboloide (1 folha)
Hiperboloide (2 folhas)
Cone (Elíptico ou de Revolucão)
*Hiperboloide Degenerado
f(x0,y0,z0)= (x0,y0,z0),F
x
(x0,y0,z0),F
y
(x0,y0,z0)F
z( )
Gradiente de f(x,y,z) no ponto (x0,y0,z0) 
P2
REGRA DE CADEIA:
g F
x
Seja uma g(u,v) 
Ex: g(t) = f(x(t), y(t), z(t))
gt = fx . xt + fy . yt + fz . zt
f(x(u,v), y(u,v)): 
x yf
y
= . + .
g
t
y
t
F
x
x
t
f
y
= . + +.
P3
)
)(
(
( )
APROXIMAÇÃO QUADRÁTICA DE TAYLOR
ROTAÇÃO DE QUADRÁTICAS 
Q(x,y,z) = f(x0,y0,z0) + f(x0,y0,z0) . (x-x0,y-y0,z-z0)+
Hessiana de f(x,y,z) no ponto (x0,y0,z0) 
1
2
. (x-x0,y-y0,z-z0) . H(f (x-x0,y-y0,z-z0)). x-x0
y-y0
z-z0
H(f (x-x0,y-y0,z-z0)) fxx(x0,y0,z0)
fyx(x0,y0,z0)
fzx(x0,y0,z0)
fxy(x0,y0,z0)
fyy(x0,y0,z0)
fzy(x0,y0,z0)
fxz(x0,y0,z0)
fyz(x0,y0,z0)
fzz(x0,y0,z0)
ax2+by2+cz2+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j=0
(x y z) a d e
d b f
f e c )( xyz
)( xyz )( xyz)( x’y’z’
)( xyz. +(g h i) +j = 0
= P . )( x’y’z’
)( x’y’z’ )( x’y’z’
= Pt . 
(x y z) . P = (x’y’z’)
(x’y’z’) . D . + (g h i) . P . + j = 0
P é uma matriz de autovetores de A, Pt é sua transposta
D é a matriz diagonal dos autovalores de A.
A = 1 . H(f(x,y,z))
2
Seja ax2+by2+cz2+2dxy+2exz+2fyz+gx+hy+iz+j = f(x,y,z)
x = p . sen( ) . cos( )
x = r cos ( )
x = r cos ( )
MUDANÇAS DE COORDENADAS EM INTEGRAIS:
f(x,y).dx.dy = f(r, ) . r . dr . d
POLARES:
f(x,y,z).dx.dy.dz = f(r, ,z) . r . dr . d . dz
CILÍNDRICAS:
V V
f(x,y,z).dx.dy.dz = f(p, , ) . p2 . sen( ) . dp . d . d
ESFÉRICAS:
V V
z = z
y = p . sen( ) . sen( )
z = p . cos( ) 
Cálculo 2
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