Cálculo II - Aula 5- Revisão Cônicas e Quádricas

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Cálculo II 
Aula 5: 
Professora: Mariah Rissi Leitão 
E-mail: rissi.mariah@gmail.com 
REVISÃO – CÔNICAS E QUÁDRICAS 
 
PLANOS 
Dado dois pontos P(x,y,z) e 𝑃0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) pertencentes a um 
plano e um vetor 𝑁 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) normal a este plano, tem-se que 
𝑃0𝑃. 𝑁 = 0, portanto , 
que é a equação geral do plano. 
CÔNICAS 
As cônicas são curvas planas obtidas por interseção de um cone circular reto com 
um plano. 
CIRCUNFERÊNCIA ELIPSE PARÁBOLA HIPÉRBOLE 
 
EQUAÇÃO REDUZIDA: 
CENTRO: C(a,b) 
EQUAÇÃO REDUZIDA: 
CENTRO: C(0,0) 
EQUAÇÃO REDUZIDA: 
EQUAÇÃO REDUZIDA: 
CENTRO: C(a,b) 
CILINDROS 
 
Uma superfície cilíndrica é uma superfície gerada por uma reta r (geratriz) que 
desliza sobre uma curva plana dada (diretriz) sempre paralela a uma reta f. 
 
Conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a 
superfície cilíndrica é chamada de circular, elíptica, hiperbólica ou parabólica. 
SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
 Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau em x, 
y e z. Tais superfícies são as análogas tridimensionais de elipses, parábolas 
e hipérboles. Sua forma mais geral é dada por 
 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 
 
onde A,B,C,D,E,F,G,H,I,J são constantes reais dadas. 
 
 Se alguma das constantes D, E e F forem não nulas, teremos uma 
superfície com eixos rotacionados. 
 Elipsóide 
QUÁDRICAS: ELIPSÓIDE 
QUÁDRICAS: HIPERBOLÓIDE 
 Hiperbolóide de uma folha: 
 
QUÁDRICAS: HIPERBOLÓIDE 
 Hiperbolóide de duas folha: 
 
QUÁDRICAS: PARABOLÓIDE 
 Parabolóide Elíptico 
QUÁDRICAS: PARABOLÓIDE 
Parabolóide Hiperbólico (sela) 
QUÁDRICAS: CÔNICA 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 
 Quando os coeficientes A, B e C da equação do segundo grau 
 
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 
 
forem iguais, completando o quadrado, obtemos a equação de uma 
esfera do tipo (𝑥 − 𝑥0) + (𝑦 − 𝑦0) + (𝑧 − 𝑧0) = 𝑟
2 onde o ponto O = 
(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) é o seu centro e r seu raio. 
QUÁDRICAS: ESFERA 
RESUMO 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
EXEMPLO 
EXEMPLO 
EXEMPLO