Quarta Lista de Exercícios de Física 1 (Com Soluções) - UnB

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Universidade de Brasília
Instituto de Física
Quarta Lista de Exercícios de Física 1
Questão 1
Um barco está navegando contra a correnteza de um rio, no
sentido positivo de um eixo x a 15km/h em relação à água
do rio. A água do rio está correndo a 8, 0km/h em relação à
margem. Uma criança dentro do barco caminha da parte de
trás para a parte da frente da embarcação a 4, 0km/h em re-
lação à embarcação. Calcule: (a) o módulo e a orientação da
velocidade do barco em relação à margem e (b) o módulo e a
orientação da velocidade da criança em relaç ao à margem.
Solução
(a) Vb/m = Vb/a + Va/m Vb/m = 15− 8 Vb/m = 7km/h
(b) Vc/m = Vc/b + Vb/m Vc/m = 4 + 7 = 11km/h
Questão 2
Uma pedra é arremessada do ponto P com uma velocidade
de 10m/s numa direção que forma um ângulo 45o com a ho-
rizontal, atingindo o ponto Q conforme indicado no esquema.
Considerando que a resistência do ar é desprezível, a distância
d indicada no esquema, em metros, é um valor mais próximo
de: (a) 2, 4 (b) 7, 1 (c) 12 (d) 14 (e) 24
Solução
Sendo um movimento bidimensional, é conveniente decompor em
duas direções: vertical (Y ) e horizontal (X). Na direção Y , temos
um MRUV com as seguintes equações:
y = yo + voyt+
1
2
at2
y = yo + vo. sin(θ)t+
1
2
at2
com a = g = −10m/s2, temos
y = 2, 5 + 10. sin(45o).t− 1
2
.10.t2
y = 2, 5 + 7, 07.t− 5.t2
Para determinar qual o instante t em que a pedra chega ao solo,
basta fazer y = 0. Então
y = 2, 5 + 7, 07.t− 5.t2
0 = 2, 5 + 7, 07.t− 5.t2
5.t2 − 7, 07.t− 2, 5 = 0
t = 1, 707s
O deslocamento horizontal (d na figura), nada mais é que o deslo-
camento na direção x (em MRU) durante t = 1, 707s, logo:
∆x = vx.∆t
∆x = vo. cos(θ).∆t
∆x = 10. cos(45o).1, 707
∆x = 12, 07m
Resposta: (c)
Questão 3
A função horária da velocidade de um carro é dada por vx(t) =
a + b.t2, onde a = 3m/s2 e b = 0, 1m/s3. Calcule (a) a ace-
leração média no intervalo de tempo t = 0s até t = 5s, (b) a
aceleração instantânea para t = 0s e t = 5s e (c) desenhe o
gráfico da velocidade em função do tempo e da aceleração em
função do tempo entre t = 0s e t = 5s
Solução
Substituindo t na função, encontramos que vx(5) = 5, 5m/s e
vx(0) = 3m/s e em seguida substituindo na expressão de aceleração
média, encontramos que
am =
v(5)− v(0)
5− 0 = 0, 5m/s
2
e
ax(t) =
dv(t)
dt
= 0, 2t = 1m/s2
para t = 5s, e para t = 0s temos que
ax(0) = 0s
Questão 4
Um pósitron sofre um deslocamento ∆~r = 2, 0ˆi− 3, 0jˆ+ 6, 0kˆ e
termina com o vetor posição ~r = 3, 0jˆ − 4, 0kˆ, em metros, qual
era o vetor posição inicial do pósitron?
Solução
Definimos o vetor deslocamento como sendo a diferença entre o vetor
final e o vetor inicial, podendo, também, analisar cada eixo separa-
damente. Vamos analisar o vetor como um todo. Sendo assim,
temos:
∆~r = ~rf − ~ri
2, 0ˆi− 3, 0jˆ + 6, 0kˆ = 3, 0jˆ − 4, 0kˆ − ~ri
~ri = 3, 0jˆ − 4, 0kˆ − 2, 0ˆi+ 3, 0jˆ − 6, 0kˆ
~ri = (−2, 0ˆi+ 6, 0jˆ − 10, 0kˆ)m
Questão 5
Um homem corre sobre uma esteira rolante levando 2, 5s para ir
de uma extremidade à outra. Quando chega ao final da esteira,
o homem decide voltar ao ponto de partida, levando 10, 0s para
efetuar o mesmo descolcamento. Qual é a razão entre a veloci-
dade do homem em relação à esteira e a velocidade da esteira
em relação ao solo?
Solução
Considerando L o comprimento da esteira, temos: Vh/s =
L
∆t
. Para
a ida, teremos: Vi =
L
2,5
e para a volta: Vv =
L
10
. Assim, temos
que:
L = 2, 5V i
e,
L = 10.Vx
Como na ida o tempo de deslocamento é o de menos, percebemos
que o sentido da velocidade da esteira é, nesse caso, o mesmo da
velocidade do homem. Na volta ocorre o inverso, portanto:
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Vi = Vh/e + Ve/s e Vv = Vh/e − Ve/s
Logo,
2, 5.(Vh/e + Ve/s) = 10.(Vh/e − Ve/s)
−3.Vh/e = −5.V e/s
Vh/e
Ve/s
=
5
3
Questão 6
Uma pedrinha A é abandonada (voA = 0) de um ponto situado
a uma altura h do solo. No mesmo instante, outra pedrinha B
é lançada horizontalmente da mesma altura h e com velocidade
voB . Considere TA e TB os instantes em que as pedrinhas atin-
gem o solo. Despreze a resistência do ar e considere g constante.
I) Pode-se afirmar que:
(a) TA = TB , (b) TA > TB ou (c) TA < TB
Solução
No lançamento horizontal, o movimento da componente vertical é
uma queda livre. Logo
TA = TB
Resposta: (a)
II) Sejam vA e vB as velocidades com que A e B atingem o
solo. Pode-se afirmar que:
(a) vA = vB , (b) vA > vB ou (c) vA < vB
Solução
De vB = 2
√
v2x + v2y e sendo vx = vA, resulta: vB > vA.
Resposta: (c)
Questão 7
Um carro é parado no semáforo, a função horária dele é
x(t) = bt2 − ct3, onde b = 2, 4m/s2 e c = 0, 12m/s2. Cal-
cule (a) a velocidade média do carro para o intervalo de tempo
de 0s a 10s, (b) a velocidade instantânea em 0, 5s e em 10s.
(c) Depois de quanto tempo o carro irá parar novamente?
Solução
Substituindo os valores de t na função do espaço, encontramos que:
x(o) = 0m e x(10) = 10m
Usando a fórmula da velocidade média Vm =
Vf−Vi
tf−ti encontramos
que a velocidade média é igual a 12m/s. A velocidade instantânea
é dada por:
v(t) =
dx(t)
dt
= 2bt− 3ct2
Substituindo os valores de t encontramos que v(0) = 0m/s; v(5) =
15m/s; v(10) = 12m/s. Para descobrir quando o carro irá parar no-
vamente, é só encontrarmos quando a velocidade será igual a zero,
ou seja, as raízes da equação v(t) = 2bt− 3ct2, que são 0 e 13, 3s.
Questão 8
O vetor posição do elétron é ~r = (5, 0m)ˆi− (3, 0m)jˆ+(2, 0m)kˆ.
Determine o módulo de ~r.
Solução
Sabese que o módulo de um vetor no plano xy é dado pela fórmula
r = sqrt((componentex)2 + (componentey)2), mas como calcular o
módulo de um vetor tridimensional? É simples, basta usarmos a
mesma fórmula, porém com as três componentes:
r = sqrt((componentex)2 + (componentey)2 + (componentez)2)
Temos então,
r = sqrt((5)2 + (−3)2 + (2)2) = sqrt(38) ≈ 6, 2m
Questão 9
Um rio flui ao sul a 2, 0m/s. Um homem cruza o rio no sentido
oeste-leste em uma lancha com velocidade relativa à água de
4, 2m/s. O rio tem 800m de largura. Responda (a) que velo-
cidade (módulo e direção) a lancha tem em relação à Terra?
(b) Quanto tempo ela leva para cruzar o rio? (c) A que dis-
tância ao sul de seu ponto de partida a lancha chegará a outra
margem?
Solução
(a) Fazendo o diagrama das velocidades, perdecebos que podemos
relacioná-las pelo Teorema de Pitágoras da seguinte maneira:
(Vl/t)
2 = (Vl/r)
2 + (Vr/t)
2
Vl/t = sqrt((2)
2 + (4, 2)2) = 4, 7m/s
Para descobrir o ângulo, podemos aplicar a tangente
arc tg(
Vr/t
Vl/r
) = α
arc tg(
2
4, 2
) = α
α = 25, 5o
(b) Como a única velocidade na direção leste-oeste é a velocidade
da lancha em relação ao rio, temos:
(800m)
(4, 2m/s)
= 190, 5s
(c) Como a única velocidade na direção norte-sul é a da água em
relação à Terra, temos:
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(2, 2m/s).(190, 5s) = 381m
Questão 10
Um Honda Civic viaja em linha reta ao longo de uma estrada.
O espaço percorrido é dado pela equação x(t) = at2−bt3, onde
a = 1, 5m/s2 e b = 0, 05m/s3. Calcule a velocidade média do
carro nos intervalos de tempo (a) 0 a 2s, (b) 0 a 4s e (c) 2 a 4s.
Solução
Substitindo os valores na função do espaço e depois na fórmula da
velocidade média, encontramos: (a) Vm = 2, 8m/s (b) Vm = 5, 2m/s
(c) Vm = 7, 6m/s
Questão 11
O vetor posição de um íon é inicialmente ~r = (5, 0m)ˆi −
(6, 0m)jˆ+(2, 0)kˆ e, 10 segundos depois, passa ser ~r = (2, 0m)ˆi+
(8, 0m)jˆ − (2, 0m)kˆ. Na notação de vetores unitários, qual é a
velocidade média ~v(med) durande os 10 segundos?
Solução
Velocidade média vetorial é definica como sendo o produto entre o
deslocamento e o tempogasto neste deslocamento. Temos, então, o
seguinte:
~v(med) =
[2, 0ˆi+ 8, 0jˆ − 2, 0kˆ]m− [5, 0ˆi− 6, 0jˆ + 2, 0kˆ]m
10s
~v(med) =
[−3, 0ˆi+ 14, 0jˆ − 4, 0kˆ]m
10s
= [−0, 3ˆi+ 1, 4jˆ − 0, 4kˆ]m/s
Questão 12
Uma bolinha A é lançada horizontalmente de uma altura
h = 5m e atinge o solo a uma disctância D = 3m da verti-
cal de lançamento. Despreze a resistência do ar e considere
g = 10m/s2. (a)Calcule a velocidade vo de lançamento. (b)No
mesmo instante em que a bolinha A é lançada horizontalmente,
outra bolinha B é lançada verticalmente com velocidade 3vo.
Calcule a distância dAB entre as bolinhas A e B no instante em
que a bolinha A atinge o solo.
Solução
(a)
s =
g.t2
2
⇒ h = g.t
2
q
2
⇒=
√
2h
g
tq =
√
2.5
10
→ tq = 1s
D = vo.tq ⇒ 3 = vo.1⇒ vo = 3m/s
(b) Altura H atingida pela esfera B no instante t = 1s:
s = 3vo.t− gt
2
2
⇒ H = 3.3− 10.1
2
2
⇒ H = 4m
d2AB = D
2 +H2 = 32 + 42 ⇒ dAB = 5m
Questão 13
A frente de um avião aponta para o sul e o velocímetro indica
35m/s. Há um vento de 10m/s que sopra em direção ao su-
doeste em relação à Terra. (a) Desenhe um diagrama de soma
tetorial que mostra a relação de Va/t. (b) Se x está em dire-
ção ao leste e y ao norte, obtenha as componentes de Va/t. (c)
Obtenha o módulo e o sentido de Vv/t
Solução
(a)
Onde Vp/e = velocidadedoavioemrelaoTerra(Va/T ) Vp/a =
velocidadedoavioemrelaoaoar Va/e = velocidadedoaremrelaoTerra
(b) Como o sudoeste faz 45o com o sul, temos que a componente
no leste e no norte da velocidade do avião em relação à Terra serão
dadas por:
x : −(10m/s) cos 45 = −7, 1m/s
y : −(35m/s)− (10m/s) sin 45 = −42, 1m/s
(c) √
(−7, 1m/s)2 + (42, 1m/s)2 = 42, 7m/s
α = arc tg(
−42, 1
−7, 1 ) = 80
o, sudoeste.
Questão 14
Um ponto material em MCU, numa circunferência horizontal,
completa uma volta a cada 10s. Sabendo-se que o raio da cir-
cunferência é 5cm, calcule (a) o período e a frequência, (b) a
velocidade angluar, (c) a velocidade escalar e (d) o módulo da
aceleração centrípeta.
Solução
(a) Do enunciado, o período é: T = 10s A frequência é f = 1
T
⇒
f = 1
10
= 0, 1Hz
(b) A velocidade angular ω
ω = 2pif = 2.pi.0, 1 = 0, 2pirad/s
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ω = 0, 2.3 = 0, 6rad/s
(c) A velocidade escalar
V = ωR⇒ V = 0, 6.5 = 3, 0cm/s
(d) O módulo da aceleração centrípeta
~acp = ω
2R
~acp = (0, 6)
2.5 = 1, 8cm/s2
Questão 15
Numa corrida de motos, uma moto correu as primeiras 10 mi-
lhas de um total d e20 milhas com a velocidade média de 8mi/h.
Qual deve ser a velocidade da moto nas próximas 10 milhas
para que a velocidade média total do percurso seja: (a) 4mi/h.
(b) 12mil/h. (c) Explique se é possível ou não que a velocidade
média do percurso seja de 16mil/h.
Solução
A velocidade média é a distância total percorrida dividida pelo
tempo gasto. A distância total percorrida é 20mi. Como a velo-
cidade média da primeira parte do percurso é 8mi/h, então o tempo
gasto é de
10mi
8mi/h
= 1, 25h. Com Uma velocidade média de 4mi/h
por 20mi, temos um tempo total de 5h. A segunda parte do per-
curso deve ser percorrida em 5h− 1, 25h = 3, 75h. Isto corresponde
a uma velocidade média de
10mi
3,75h
= 2, 7mi/h. Usando os mesmo
princípios do item anterior, encontramos que a velocidade média na
segunda aprte do percurso deve ser 24mi/h. Não é possível que a
velocidade média do percurso seja de 12mi/h, pois se for, a segunda
parte do trecho seria percorrida em 0h, o que sabemos que não é
possível.
Questão 16
Um trem com uma velocidade constante de 60, 0km/h se move
na direção leste por 40 minutos, depois em uma direção norte
por 20, 0 minutos, e finalmente, na direção oeste por mais 50, 0
minutos. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade
média do trem durante essa viagem?
Solução
1o deslocamento:
Velocidade: 60, 0km/h; tempo: 2
3
h. Com isso, calculamos o deslo-
camento de 40km;
2o deslocamento:
Velocidade: 60, 0km/h a 50, 0o com direção norte. Tempo: 1
3
h.
Com isso, calculamos o deslocamento de 20km (com ângulo de
50, 0o);
3o deslocamento:
Velocidade: 60, 0km/h; tempo: 5
6
h. Com isso, calculamos o deslo-
camento de 50km;
Deslocamento total horizontal = 40 + 20. cos 40o − 50 = 5, 32;
Deslocamento total vertical = sin40o.20 = 12, 86;
A posição final do trem é (5,32; 12,86), que pode ser representada
por um vetor, sendo que seu módulo nos dá o deslocamento total;
Deslocamento total = 13, 92km.
Velocidade média = 13,9211
6
= 7.59km/h.
Ângulo da velocidade média = arc tg( ∆y
∆x
) = 22, 5o a leste do norte.
Questão 17
Um piloto deseja voar em direção ao oeste. Um vento de
80km/h sopra em direção ao sul. (a) Se a velocidade do avião
em relação ao ar é de 320km/h, qual a direção deve tomar o
piloto? (b) Qual a velocidade do avião em relação ao solo?
Solução
Onde vp/w é a velocidade do vento em relação ao solo. Vp/w é a
velocidade do avião em relação ao vento, e Vp/g é a velocidade do
avião em relação à Terra.
(a) A velocidade em relação ao vento do avião deve ter uma compo-
nente na direção norte que compense o vento na direção sul. Esta
componetne deve ser 80km/h e a direção:
α = arc sin(
80
320
) = 14o, aonoroeste.
(b) √
(320km/h)2 − (80km/h)2 = 310km/h
Questão 18
Segundo o modelo simplificado de Bohr, o elétron do átomo de
hidrogênio executa um movimento circular uniforme, de raio
igual a 5, 0x10−11m, em torno do próton, com período igual a
2x10−15s. Com o mesmo valor da velocidade orbital do átomo,
a distância, em km, que esse elétron percorreria o espaço livre,
em linha reta, durante 10 minutos, seria da ordem de: (a) 102
(b) 103 (c) 104 (d) 105
Solução
O deslocamento d no movimento retilíneo uniforme corresponde ao
produto entre a velocidade v e o tempo decorrido em segundos
∆t(10.60 = 600s)
A velocidade v no movimento uniforme corresponde à seguinte ra-
zão:
v =
2pir
T
=
2.3.5.10−11
2.10−13
≈ 1, 5.105m/s
Assim,
d = v∆t = 1, 5.105.600 = 0, 9.108m ≈ 105km
Resposta: (d)
Questão 19
A velocidade de um objeto é mensurada através da função
v(t) = a − bt2, onde a = 4m/s e b = 2m/s2. O objeto parte
da origem. (a) Calcule a posição e a aceleração do objeto em
função do tempo. (b) Qual o maior deslocamento positivo do
objeto em relação a origem?
Solução
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Se integrarmos a função horária da velocidade, encontramos a fun-
ção do espaço, logo:
x(t) = 4t− 0, 667t3
a(t) = −4t
O valor máximo positivo de c(t) é quando V = 0 e a aceleração
a < 0 dada pela função a − bt2, resolvendo a equação encontramos
t = 1, 41s e substituindo na equação encontramos x(1, 41) = 3, 77m.
Questão 20
Um avião vai de São Paulo à Recife em 1 hora e 40 minutos.
A distância entre essas cidades é de aproximadamente 3000km.
Qual a velocidade média desenvolvida pelo avião?
Solução
Apenas para fixar: velocidade média é definida como sendo o pro-
duto entre o deslocamento e o tempo gasto neste deslocamento.
~vmed =
3000
1, 7
= 4500, 0km.h
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