MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2ª ordem

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Modelagem Com Equações Diferenciais de Segunda Ordem 
1.Sistema Massa-Mola Vertical 
 
A posição x da massa é uma função do tempo, isto é x(t). Podemos provar 
que esta posição obedece ao PVI: 
mx’’(t) + cx’(t) + Kx(t) = f(t) (1) 
x(0) = a e x’(0) = velocidade inicial = b. 
Na equação acima, temos que: 
m = massa , m > 0 ; 
c = constante de amortecimento, c é múltiplo da velocidade, c > 0 ; 
k = constante da mola, k = força/deslocamento da mola, k > 0. 
Consideraremos x > 0 quando a massa estiver abaixo da posição de equilíbrio 
e x < 0 quando a massa estiver acima da posição de equilíbrio. 
 
1.1 Sistema Massa-Mola : Movimento Livre/Movimento Forçado 
 Se f(t) = 0 em (1) temos um movimento livre e f(t) ≠ 0 temos um movimento 
forçado. Em alguns movimentos livres é dado uma força que é usada somente 
para calcular a constante da mola. Não confundir esta força com a força 
externa. 
 
1.2 Sistema Massa-Mola : Movimento Livre sem Amortecimento e 
Movimento Livre Amortecido 
 Nos movimentos livres sem amortecimento temos que em (1) c = 0. Para 
movimentos livres amortecidos temos que em (1) c ≠ 0. 
 
 
 
1.3 Sistema Massa-Mola: Movimento Livre Amortecido 
 Podemos classificar os movimentos livres amortecidos nos três tipos 
abaixo. 
 Sistema superamortecido. Ocorre quando em (1) b² - 4mk > 0. Temos 
um movimento suave e não oscilatório. 
 Sistema criticamente amortecido. Ocorre quando em (1) b² - 4mk = 0. 
Neste caso qualquer diminuição da constante de amortecimento c, 
teremos um movimento oscilatório. 
 Sistema subamortecido. Ocorre quando em (1) b² - 4mk < 0. Temos um 
movimento oscilatório, mas as amplitudes das oscilações tendem a zero 
quando o tempo vai para infinito. 
 
2.Circuito Em Série RLC 
 
A carga elétrica q sobre o capacitor em um circuito RLC é uma função do 
tempo, isto é q(t). Podemos provar que esta carga obedece ao PVI: 
).()(1)(')('' tEtqCtRqtLq  
q(0) = a e q’(0) = corrente elétrica inicial= b. 
Na equação acima, temos que: 
L = indutância ; 
R= resistência; 
C= capacitância; 
E(t) = voltagem. 
 
3. Exemplos 
3.1 Uma mola com uma massa de 2kg tem comprimento natural de 0,5 m (isto 
significa que o conjunto massa-mola está na posição de equilíbrio). Uma força 
de 25,6 N é necessária para mantê-la esticada a um comprimento de 0,7 m. 
Esta força não atua constantemente no sistema, ela será usada somente para 
o cálculo da constante da mola. Se esta mola for esticada com comprimento 
0,9 m e for solta com velocidade igual a zero, determine a posição da massa 
em qualquer instante. Classifique o movimento como movimento livre não 
amortecido ou movimento livre amortecido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Uma mola com uma massa de 2kg tem comprimento natural de 0,5 m (isto 
significa que o conjunto massa-mola está na posição de equilíbrio). Uma força 
de 25,6 N é necessária para mantê-la esticada a um comprimento de 0,7 m. 
Esta força não atua constantemente no sistema, ela será usada somente para 
o cálculo da constante da mola. O sistema massa-mola está mergulhado num 
fluído com constante de amortecimento 40. Considere que a massa inicia o 
movimento na posição de equilíbrio e tem um empurrão para baixo com 
velocidade inicial de 0,6 m/s. Determine a posição da massa em qualquer 
instante. Temos um movimento livre amortecido, classifique este movimento 
como superamortecimento, amortecimento crítico ou subamortecimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.3 Um circuito em série consiste de um resistor com R = 20 Ω, um indutor 
L = 1 H, um capacitor C = 0,002 F e uma pilha de 12V. Se a carga inicial e a 
corrente inicial forem iguais a zero, determine a carga e a corrente no 
instante t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Um circuito em série consiste de um resistor com R = 40 Ω, um indutor L = 
1 H, um capacitor C = 16.10-4 F e uma fonte E(t) = 100cos(10t) V. Se a carga 
inicial e a corrente inicial forem iguais a zero, determine a carga e a corrente no 
instante t.