Lista de Integrais

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Lista de Exerc´ıcios - Ca´lculo Fundamental
Prof. Hamilton Araujo
19 de setembro de 2017
Questa˜o 1 Qual a a´rea limitada pelo gra´fico da func¸a˜o f(x) = x−1 e pelas retas x = 1
e x = 3? Esboce o gra´fico pra ajudar. Calcule a integral
∫ 3
0 (x − 1)dx. O valor da a´rea
coincide com a integral calculada? Porque? Existe uma func¸a˜o cujo valor da integral
coincide com essa a´rea?
Questa˜o 2 Prove a desigualdade abaixo, sem calcular a integral do meio, e interprete
(esboc¸ando o gra´fico) o resultado em termos de a´reas.
√
2pi
24
≤
∫ pi/6
pi/4
cos(x)dx ≤
√
3pi
24
.
Questa˜o 3 Seja f : [0, 2] → R uma func¸a˜o dada por f(x) =
{
0, se 0 ≤ x < 1
1, se 1 ≤ x ≤ 2. Sabe-
mos que toda func¸a˜o cont´ınua e´ integra´vel. Essa func¸a˜o e´ cont´ınua? E´ integra´vel? Qual
valor da integral? A func¸a˜o f possui primitiva? Ache a func¸a˜o F (x) =
∫ x
0 f(t)dt. Como
voceˆ explica F? Fac¸a o gra´fico das duas func¸o˜es.
Questa˜o 4 Qual a derivada das func¸o˜es abaixo:
(a) g(x) =
∫ x
1 ln t dt (b) h(x) =
∫ 1/x
2 arctgθ dθ
Questa˜o 5 Propriedade: Se f e g sa˜o integra´veis e f(x) ≤ g(x), para a ≤ x ≤ b,
enta˜o
∫ b
a f(x)dx ≤
∫ b
a g(x)dx. Considere a func¸a˜o f(x) = sec
2x e verifique que f(x) ≥ 1.
Como voceˆ explica as contas abaixo:∫ pi
0
sec2xdx = tgx|x=1x=0 = tg(pi)− tg(0) = 0− 0 = 0
Questa˜o 6 Defina as func¸o˜es senh(x) =
ex − e−x
2
e cosh(x) =
ex + e−x
2
para qualquer
valor x ∈ R. Tais func¸o˜es sa˜o chamadas de seno e cosseno hiperbo´lico. Calcule agora as
seguintes integrais: ∫
senhx dx e
∫
coshx dx
1
Questa˜o 7 Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(a)
∫
tg(x) dx (b)
∫
x5
√
1 + x2 dx (c)
∫
sen(t)sec2(cos(t)) dt
Questa˜o 8 A propriedade abaixo e´ verdadeira ou falsa? Deˆ um exemplo.∫ b
a
f(x)g(x) dx =
∫ b
a
f(x) dx
∫ b
a
g(x) dx
Questa˜o 9 Voceˆ esta´ projetando uma coluna de sustentac¸a˜o de concreto, com 3m de
altura; 1m de diaˆmetro no pe´ da coluna e 2m de diaˆmetro no topo, com o design dado
pelo gra´fico da func¸a˜o f(x) =
1
x2
− 1. Veja a situac¸a˜o na figura abaixo. Qual o volume,
em metros cu´bicos, de concreto a ser utilizado neste trabalho?
Questa˜o 10 Calcule as integrais abaixo:
(a)
∫
x senh(kx) dx, onde k ∈ R.
(b)
∫
sen(t)sec2(cos(t)) dt
(c)
∫ pi/4
0
1
(senx+cosx)2
dx
(d)
∫
sen(ln(x)) dx
2