06.1 Lista 6

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MAE 229 - Introduc¸a˜o a` probabilidade e Estat´ıstica II Lista 6
Lista 6 - Estimac¸a˜o intervalar e testes de hipo´teses
1. Com base em uma amostra aleato´ria de 12 latas de ervilhas de uma determinada
marca, o peso me´dio obtido foi 159,7 gramas e a variaˆncia foi de S˜2X= 0,224.
Suponha que o peso das latas de ervilhas X segue um modelo Normal, obtenha
um intervalo de 95% de confianc¸a para a verdadeira variaˆncia do peso das latas.
2. Uma linha de montagem produz pec¸as cujos pesos, em gramas, seguem um mo-
delo Normal com variaˆncia 30 g2. Os equipamentos foram modernizados e, para
verificar se o processo continua sob controle, foi tomada uma amostra de 23 pec¸as,
que forneceu S˜2X = 40 g
2. Existem evideˆncias indicando que a variaˆncia mudou,
considerando α = 5%?
3. Observou-se a produc¸a˜o mensal de uma indu´stria durante va´rios anos e foi verifi-
cado que ela obedecia uma distribuic¸a˜o Normal, com variaˆncia σ2=300. Foi ado-
tada uma nova te´cnica de produc¸a˜o e, durante 24 meses, observou-se a produc¸a˜o
mensal. Apo´s esse per´ıodo, constatou-se que x¯ = 10000 e S˜2X = 400. Ha´ razo˜es
para se acreditar que a variaˆncia mudou? Considere α = 10%.
4. A experieˆncia mostra que a proporc¸a˜o de complicac¸o˜es, associadas a um pro-
cedimento ciru´rgico, e´ de 0,20. Com o objetivo de reduzir essa proporc¸a˜o, um
pesquisador desenvolveu um novo procedimento e o aplicou a uma amostra de pa-
cientes. Note que X ∼ Binomial(n, p), X = “nu´mero de complicac¸o˜es associadas
a um procedimento ciru´rgico dentre um grupo de tamanho n”.
(a) Se ele usar a nova te´cnica em 100 pacientes, qual deveria ser a proporc¸a˜o
limite para que ele conclua que a nova te´cnica e´ melhor que a anterior? Fixe
o n´ıvel de significaˆncia em 5%.
(b) Se a verdadeira proporc¸a˜o de complicac¸o˜es associada a` nova te´cnica for 0,08;
qual e´ a probabilidade de que, em uma amostra de tamanho 100, ele na˜o
consiga rejeitar a hipo´tese nula?
(c) Suponha que o pesquisador mantenha α = 5% e deseje β0,1 = 0, 05. Qual
deve ser o tamanho da amostra para isso acontecer?
5. Em um programa de dimunuic¸a˜o da poluic¸a˜o sonora em cidades grandes, realizou-
se uma campanha educativa durante 2 meses. A tabela abaixo apresenta os ı´ndices
alcanc¸ados antes e apo´s a campanha em 10 pontos da cidade sorteados ao acaso.
Pontos da Cidade
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Antes 23 44 56 34 25 67 21 23 73 58
Depois 21 30 45 35 26 50 23 22 57 46
Suponha que a varia´vel poluic¸a˜o sonora em cidades grandes segue um modelo Nor-
mal. Verifique se a campanha surtiu efeito, ao n´ıvel de 4%. Indique as hipo´teses
e suposic¸o˜es necessa´rias.
6. O sala´rio de rece´m formados em Cieˆncias Conta´beis foi amostrado em duas ci-
dades. Na cidade A, 10 profissionais foram sorteados e na cidade B, 15. Os
resultados, em sala´rios mı´nimos sa˜o apresentados a seguir:
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Cidade A: 7,3; 6,6; 6,8; 7,4; 8,3; 6,5; 7,9; 8,7; 8,1; 8,5.
Cidade B: 6,5; 7,8; 8,2; 6,9; 7,9; 9,7; 9,1; 9,5; 7,4; 8,0; 6,9; 7,9; 8,4; 9,3; 9,5.
Admitindo que a variabilidade do sala´rio seja a mesma nas duas cidades e que
o modelo Normal e´ adequado, verifique se a cidade B paga, em me´dia, melhor
do que A. Obtenha o n´ıvel descritivo e tome sua decisa˜o utilizando um n´ıvel de
significaˆncia de α = 5%.
7. O desempenho de duas turmas de Estat´ıstica esta´ sendo comparado atrave´s do
resultado dos 10 melhores alunos de cada turma.
Turma Notas
I 8,5 7,5 7,0 6,5 8,5 9,5 9,0 9,0 8,5 10,0
II 7,0 7,5 8,5 9,5 9,0 8,5 8,0 8,5 9,5 9,5
Admitindo que as variabilidades das turmas sa˜o iguais e o modelo Normal e´
adequado, pode ser dito que elas teˆm o mesmo desempenho me´dio? Fac¸a as
suposic¸o˜es necessa´rias e utilize α = 2%
8. Uma escola esta´ interessada em saber se dois de seus professores preparam seus
alunos da mesma forma em uma disciplina. Para testar esta hipo´tese, 70 alunos
foram divididos aleatoriamente em duas turmas de 35 cada uma e cada grupo teve
aulas com um dos professores durante o semestre. No final do curso, os alunos
foram avaliados mediante uma prova, com os seguintes resultados
Aula Professor 1 Aula Professor 2
x¯ 72,6 74,0
S˜2X 6,6 6,2
(a) Teste se as variaˆncias sa˜o iguais.
(b) Poder´ıamos concluir que os dois professores na˜o preparam os alunos da
mesma forma para os exames? Use o resultado obtido em (a) e um n´ıvel
de significaˆncia de 5%. Apresente a hipo´tese nula, a hipo´tese alternativa e o
p-valor resultante.
9. Para um particular produto, com base em uma amostra de 10 lojas, a me´dia
estimada de vendas no u´ltimo ano por loja foi de 3.425,00 reais, com desvio
padra˜o de S˜X=200,00 reais. Para um produto concorrente, em uma amostra de
12 lojas os resultados foram respectivamente de 3.250,00 e S˜Y =175,00. Assuma
normalidade para os dados dos dois produtos.
(a) Teste se as variaˆncias sa˜o iguais.
(b) Utilizando o resultado de (a) teste a igualdade entre o n´ıvel me´dio de vendas
para os dois produtos.
10. Um antibio´tico para pneumonia foi injetado em 100 pacientes com mal funciona-
mento dos rins e em 100 pacientes sem este problema. Alguma reac¸a˜o ale´rgica
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foi desenvolvida em 38 dos pacientes com problemas renais e em 21 dos pacien-
tes sauda´veis. Note que X ∼ Binomial(100, p) e Y ∼ Binomial(100, p), em que
X=“nu´mero de pacientes com reac¸o˜es ale´rgicas entre os 100 pacientes com mal
funcionamento dos rins”e Y=“nu´mero de pacientes com reac¸o˜es ale´rgicas entre os
100 pacientes sem problemas nos rins”. Teste a diferenc¸a entre as proporc¸o˜es das
populac¸o˜es (use um n´ıvel de significaˆncia 10%.)
11. Uma amostra aleato´ria de n1 = 12 vendedores foi inserida em um sistema de in-
centivo enquanto uma amostra de n2 = 16 vendedores foi inserida em um segundo
sistema de incentivo. Foi estabelecido um determinado per´ıodo e observou-se para
cada vendedor a venda semanal me´dia durante o per´ıodo. Para o primeiro sis-
tema de incentivo, a me´dia das vendas semanais dos 12 vendedores foi igual a
R$5500,00 e, para o segundo sistema de incentivo, a me´dia das vendas semanais
dos 16 vendedores foi igual a R$6800,00. Deseja-se saber se existe diferenc¸a entre
as me´dias das vendas semanais para os dois sistemas de incentivo. De pesquisas
anteriores similares, sabe-se que vendedores submetidos ao primeiro sistema de in-
centivo apresentam vendas semanais com distribuic¸a˜o Normal com desvio padra˜o
igual a R$1000,00 e o segundo sistema de incentivo resulta em vendas semanais
tambe´m com distribuic¸a˜o Normal, pore´m com desvio padra˜o igual a R$1200,00.
(a) Formule as hipo´teses do teste estat´ıstico apropriado.
(b) Conclua com base no n´ıvel descritivo, adotando um n´ıvel de significaˆncia de
4%.
12. Para se estudar o desempenho de treˆs corretoras de ac¸o˜es, selecionou-se de cada
uma delas amostras aleato´rias das ac¸o˜es negociadas. Para cada ac¸a˜o selecionada,
computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante um per´ıodo fixado de
tempo. Os dados esta˜o apresentados a seguir.
Corretora A Corretora B Corretora C
43 61 54 57 62 56 62 55 45 46
62 66 70 48 53 66 51 47 54
37 49 62 59 51 60 56 42 57
53 58 55 64 52 54 58 52
54 59 48 57 57 48 41 39
64 55 63 51 58 47 39 47
(a) Identifique a varia´vel resposta de interesse e o fator com seus respectivos
n´ıveis.
(b) Escreva o modelo de ana´lise de variaˆncia adequado para este problema, es-
pecificando as suposic¸o˜es.
(c) Verifique a validade da suposic¸a˜o de homocedasticidade. Adote α = 5%.
(d) O que voceˆ pode dizer sobre o desempenho das corretoras? Existe alguma
melhor ou pior? Se sim, quais sa˜o? Adote n´ıvel de significaˆncia global de5%.
13. Uma empresa de propaganda deseja verificar o efeito de quatro tipos de propa-
ganda de uma determinada goma de mascar nas crianc¸as. Para isso, 89 crianc¸as
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foram selecionadas e, aleatoriamente, foram distribu´ıdas em 4 salas diferentes.
Em cada uma das salas, foram exibidos os mesmos desenhos animados com inter-
valos regulares em que as propagandas foram inseridas. Cada tipo de propaganda
foi exibido em apenas uma sala, de forma que cada crianc¸a teve acesso a apenas
um dos quatro tipos de propaganda. Apo´s a sessa˜o, as crianc¸as foram entrevis-
tadas por psico´logos, que atribu´ıram ı´ndices de assimilac¸a˜o a cada crianc¸a. Esse
ı´ndice foi definido de forma que, quanto maior o ı´ndice, maior seria a lembranc¸a
do produto pela crianc¸a. Os resultados esta˜o apresentados na tabela a seguir.
Propaganda Nu´mero de Crianc¸as Me´dia do ı´ndice Variaˆncia do ı´ndice
Tipo 1 22 8,66 1,11
Tipo 2 22 11,12 1,08
Tipo 3 24 13,16 0,82
Tipo 4 21 15,82 1,13
TOTAL 89
(a) Identifique a varia´vel resposta de interesse e o fator com seus respectivos
n´ıveis.
(b) Escreva o modelo de ana´lise de variaˆncia adequado para este problema, es-
pecificando as suposic¸o˜es.
(c) Fac¸a a ana´lise de variaˆncia completa, adotando n´ıvel de significaˆncia global
de 10%. Interprete os resultados.
OBS 1: o separador decimal utilizado e´ a v´ırgula.
OBS 2: S˜2X =
1
n−1
n∑
i=1
(Xi − X¯)2.
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