Eletromagnetismo P3 2015 Poli

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PTC-3213 - Eletromagnetismo 3a. Prova - 27/11/2015 
Prova sem consulta! Qualquer tentativa de cola será punida com nota zero! NOTAS: 
Duração: 100 min. 1a. (3,5) 
No. USP: Nome: 2a. (3,0) 
 3a. (3,5) 
Assinatura: TOTAL 
 1a. Questão (3,5) Um cabo triaxial está esquematizado na figura ao
lado. Para a sua caracterização em termos de capacitâncias
parciais o seguinte procedimento foi realizado para um
comprimento de 100 m de cabo:
• Aplicou-se uma tensão de 100 V entre o condutor 1 e a
blindagem, mantendo-se os outros dois condutores no
potencial zero (aterrados à blindagem);
• Nessas condições determinou-se que a carga total do
condutor 1 era Q1=400 nC e a do condutor 2 era
Q2=– 60 nC.
 a)(0,5) Utilizando-se da simetria do problema, determine a
matriz de capacitâncias parciais para um comprimento de 100
m.
 
C ' 11=
Q1
V 1|V 2=V 3=0=400 nC100 V =4 nF C ' 21=Q2V 1|V 2=V 3=0=−60 nC100 V =−0,6 nF
Por simetria, C ' 11=C ' 22=C ' 33 e C ' 21=C ' 32=C ' 13 .
Por reciprocidade: C ' 12=C ' 21 , C ' 13=C ' 31 ,C ' 23=C ' 32
Portanto:
C=[ 4 −0,6 −0,6−0,6 4 −0,6−0,6 −0,6 4 ] nF
 b)(0,5) No modelo de capacitâncias abaixo, determine os valores de C30 e C23, também para um 
comprimento de 100 m.
C30=4−0,6−0,6=2,8 nF
C 23=−C ' 23=0,6 nF 1 2
3
C
13
C
12 C23
C
10
C
20
C
30
C30 =_2,8_ nF C23 =__0,6__ nF
1/7
32
1
120120
 c) (0,5) Aplicando-se 1 kV, simultaneamente, aos três condutores em relação à blindagem, qual o valor da 
energia armazenada nesse cabo?
[Q1Q2Q3]=[
4 −0,6 −0,6
−0,6 4 −0,6
−0,6 −0,6 4 ] [111]×10−6=[2,82,82,8]μC
W E=
1
2∑i V iQ i=
3
2
×2,8×10−6×103=4,2 mJ
WE = _____4,2_________ mJ
 d)(1,0) Na situação do item anterior (1 kV em todos os condutores), obtém-se, por simulação, que se o 
condutor 1 for deslocado de 1 mm para cima, a sua carga aumenta de ΔQ1=+0,3 nC e a carga dos 
outros condutores aumentam de ΔQ2=ΔQ3=+0,03 nC cada. Com base nessa informação, estime a 
força que age para cima, sobre o condutor 1.
ΔW E=
1
2∑i=1
3
V iΔQi=
1
2
1000 (0,3+0,03+0,03)×10−9=1,8×10−7 J
Como o deslocamento é a tensão constante:
F=
ΔW E
Δ l
=1,8×10
−7
10−3
0,18 mN
F = _____0,18_______mN (para cima)
 e) (1,0) Admitindo-se que o dielétrico desse cabo apresente perdas, sendo caracterizado por ε=20 pF/m e
σ=0,03 μS/m, quais serão os potenciais dos 3 condutores se uma fonte de corrente contínua de 5 mA 
for ligada entre o condutor 1 e a blindagem, mantendo-se os outros condutores desconectados?
Dicas: 
1 - utilize o modelo de condutâncias parciais e a analogia entre campos de corrente e eletrostático.
2 - [ 6 −0,9 −0,9−0,9 6 −0,9−0,9 −0,9 6 ]
−1
=[ 0,176 0,0311 0,03110,0311 0,176 0,03110,0311 0,0311 0,176 ]
Por analogia, a matriz de condutâncias será, G = C x 3x10-8 / (20x10-12), ou seja
G=[ 6 −0,9 −0,9−0,9 6 −0,9−0,9 −0,9 6 ]μ S e sua inversa
R=[ 0,176 0,0311 0,03110,0311 0,176 0,03110,0311 0,0311 0,176 ]×106Ω .
Assim, [V 1V 2V 3]=[
0,176 0,0311 0,0311
0,0311 0,176 0,0311
0,0311 0,0311 0,176 ] [500]×103=[ 0,880,15550,1555]×103
V1 = __0,880______ kV V2 = ___0,156_____kV V3 = ___0,156_____ kV 
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 2a. Questão (3,0) A estrutura ferromagnética da figura tem um entreferro e=π /10 cm. Admita que a
permeabilidade magnética do material ferromagnético seja μ=0,005 H/m, que o fator de empilhamento
valha 1, que não exista espraiamento no entreferro, e que não exista dispersão de fluxo, ou seja, as linhas de
campo ficam confinadas ao entreferro e à estrutura ferromagnética. Pede-se:
2 6 4 6 2
2
e
N
1
=500
2
2
5
N
2
=100
i
2
todas as dimensões em cm
i
1
 a)(1,0) Qual o valor da relutância do circuito magnético visto pela bobina 1 de 500 espiras?
R= e
μ0S1
+
L1
μf S1
+ 1
2
L2
μ f S2
Mas e= π10
×10−2 m, μ0=4 π× 10
−7 H
m e S1=8×10
−4m2
L1 = 99,68 x 10-3 m , L2 = (9 + 10 + 9) 10−2 m = 28 X 10−2 m e S2=4×10
−4m2
Logo R = 3.6327e+006 A/Wb
R = __3.6327e+006__ A/Wb
 b)Qual deve ser o valor da corrente i1 para que a indução magnética no entreferro seja igual a 0,2 T?
 NI = RΨ = RBS logo I = 1.16A 
3/7
i1 = ________________ A
 c) (0,5) Qual o valor da indutância própria da bobina de 500 espiras? 
L1 = _______________ H
 
 d)(0,5) Qual o valor da mútua com sinal entre as duas bobinas? Justifique.
M = _______________ H
 
 e) (0,5) Uma aproximação utilizada para o cálculo de circuitos magnéticos quando da fase de anteprojeto é a
adoção da seguinte hipótese: a permeabilidade do material ferromagnético é infinita. Qual impacto nos
itens a, b e c desta hipótese? As "novas" relutâncias, correntes e indutâncias próprias aumentam ou
diminuem? Justifique qualitativamente, não é necessário refazer as contas.
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 3a. Questão (2,0) O circuito magnético da Fig. (a) possui seção transversal circular constante de 4 cm2 e é
composto de três partes: 
• um ímã permanente de comprimento 8 cm e curva B-H dada na Fig. (b);
• dois trechos de aço iguais, com 10 cm cada, e permeabilidade relativa que pode ser considerada
constante e igual a 5000;
• um entreferro de 1 mm.
 
(a) (b)
Admitindo que fluxo disperso e espraiamento são desprezíveis, pede-se calcular os itens a seguir.
 a)(1,0)Utilizando a equação do circuito magnético, obtenha a equação da reta que relaciona a indução
magnética e o campo magnético no ímã, traçando-a na Fig. (b).(Dica: deixe tudo em função de μ0 )
Sf = Se =Si , ψf = ψe =ψi ==>> Bf = Be =Bi
Uaço + Uent + Uima = 0 ==>> Hf lf + He e + Hi li = 0
B f
μrμ0 l f +
Be
μ0 e+H i li=0 
Bi
μrμ0
l f+
Bi
μ0
e+H i li=0
Bi
H i
=−μ0
li
(
l f
μr+e)
Bi
H i
=−μ0
8
( 20
5000
+0,1)
 
Bi
H i
=−79,6μ0=tanθ
Resposta: 
B i
H i
= -79,6 μ0 
 b)(0,5) Determinar a densidade de fluxo magnético no entreferro.
Do gráfico, ponto P: Bi= 1,13 T==>> Be = Bi = 1,13 T ( Bi= 112,5 e-7 Hi +1,25)
Be = ______1,13_________ T
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1,0 mm
10 cm 10 cm
8 cm
N S
 c) (0,5) Esboçar na figura abaixo as linhas de B e de H em todo o circuito magnético, indicando o sentido
dos dois vetores nas três regiões (ferro, ímã e entreferro). Usar linha cheia para H e tracejada para B.
- - - - - - B
_______ H
N S
 Bf = Be = Bi = B 
Ímã: H i=−
B
79,6μ0
B
Entreferro: H e=
B
μ0
B
Aço: H f=
B
5000μ0
B
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 4a. Questão (1,5) Um toroide delgado de seção transversal
de 20 cm2 e comprimento médio de 30 cm tem núcleo
constituído de material ferromagnético, cujo ciclo de
histerese está indicado na figura ao lado. 
 a)(1,0) Considerando que o mesmo é alimentado por
uma fonte de tensão senoidal de frequência 60 Hz,
qual será a potência dissipada por histerese no seu
núcleo?
W = Área do laço de histerese  Volume
do toroide
W = 2002(20e430e2) = 0,24 J
T = 1/60 s
P = 0,24/(1/60) ==>> P = 14,4 W
Ph = ___14,4___ (W)
 b) (0,5) Considere que, além da perda por histerese calculada no item acima, o núcleo do toroide esteja
sujeito também a uma perda Foucault (correntes parasitas) de 20 W naquela frequência. Caso esse toroide
seja colocado em operação em outro país, cuja frequência de operação da rede é de 50 Hz, o que ocorrerá
com as perdas totais no núcleo desse toroide? De quanto será essa variação? (Admita que a máxima
densidade de fluxo no núcleo não sofrerá alteraçãosignificativa.)
PTot (60 Hz )=PH+P f=14,4+20=34,4W
Ph=ητBm
n f
P f=K τBm
2 f 2
 
Ph=K1 f
P f=K 2 f
2
P 'Tot (50 Hz )=P ' H+P ' f=14,4×(
50
60
)+20×( 50
60
)
2
=25,9 W
P(50Hz) – P(60Hz) = 25,9-34,4 = -8,5 W redução de 8,5 W 
P(50 Hz) – P(60 Hz) = _____-8,5_____ W
7/7