Eletromagnetismo P3 2016 Poli

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PTC 3213 – ELETROMAGNETISMO – Terceira Prova – 02/12/2016 – 
16:00 
Ass.: TURMA/PROF. 
Q1 / 3,5 Q2 / 3,5 Q3 / 3,0 Total /10 
 
QUESTÃO 1 [3,5] Considere o capacitor cilíndrico da figura abaixo, com placas concêntricas, 
com raios internos a = 1 cm e b = 2 cm, e raio externo c = 4 cm. O dielétrico, de εr = 6, existente 
à direita, é fixo na placa cilíndrica interna maior (de raio b). Todo o conjunto interno (composto 
pelas placas cilíndricas de raios a e b e pelo dielétrico) representa um êmbolo, ou seja, uma 
peça móvel que pode se deslocar livremente segundo a direção horizontal (x) apenas (sem 
atrito). Uma tensão V0 = 10 
kV é aplicada entre a placa 
interna e o êmbolo. 
Desprezando a dispersão 
de campo, pede-se: 
 
(a) [1,0] Calcular a 
Capacitância do sistema 
para uma posição 
intermediária do êmbolo, x, 
em função das dimensões 
a, b, c e L, e em seguida 
seu valor numérico para x = 
1 m. 
 
 
 
 
 
Simetria cilíndrica: C = 2πεL/ln(b/a) C(x) = C1(x) // C2(x) 
C(x) = C1(x) + C2(x) 
C1(x) = 2πε0(L-x)/ln(c/a) C2(x) = 2πεrε0x/ln(c/b) 
 
C(x) = 2πε0[ (L-x) / ln(c/a) + εrx / ln(c/b) ] 
 
C(x) = 0,08015 + x .0,4408 [nF] 
 
C(x= 1 m) = 0,08015 + 0,4408 = 0,521 nF 
 
 2πε0 { L / ln(c/a) + x [ εr / ln(c/b) – 1 / ln(c/b) ] } 0,521 n 
Resposta: C(x) = _________________________________________ C = ___________ F. 
⊕⊕⊕⊕⊕
⊕⊕⊕ 
 Fx 
ûx ⊖⊖⊖⊖⊖⊖
⊖⊖⊖ 
F result. no 
diel. 
+++++++++++
+++ 
+++++++++++
+++ 
 
1 
 
 2 
+++++++++++
+++ 
+++++++++++
+++ 
 
 
 
 
 
 
 
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16:00 (b) [1,0] Deduza (equacione) como calcular a força eletrostática F, que o campo exerce sobre o 
conjunto formado pelo condutor central mais o dielétrico, através do Balanço de Energia 
durante deslocamento virtual a carga constante e a tensão constante (despreze as perdas e a 
dispersão de campo, e não use valores numéricos). 
 Tensão constante Carga constante 
 
dWfonte = dWmec + dWe dWfonte = dWmec + dWe = 0 
 
dWfonte = p(t) dt = V . i(t) dt = V . dQ dWmec = − dWe 
 
We = ½ V . Q → dWe = ½ V. dQ dWmec = Fx . dx = − dWe 
 
dWmec = dWfonte − dWe = ½ V. dQ = dWe Fx = − dWe/ dx → We = ½ Q2 / C 
 
dWmec = Fx . dx = dWe Fx = − ½ Q2 d(1/C)/ dx 
 
Fx = dWe/ dx → We = ½ C V2 
 
Fx = ½ V2 dC/ dx 
 
 
 
 
 Fx = ½ V2 dC(x)/dx Fx = ½ [Q2 /C2] dC(x)/dx 
Resposta: 𝐹= _____________________ 𝐹= _______________________ 
(c) [1,0] Escolha um processo conveniente dentre os dois fornecidos no item anterior e, para x 
= 1 m, calcule a força F que atua sobre o sistema, em módulo, direção e sentido. (Obs.: se 
não resolveu o item b, use uma expressão conveniente do formulário.) 
C(x) = 0,08015 + x .0,4408 [nF] ==> dC(x)/ dx = 80,15 pF/m 
 
Fx = ½ V2 dC(x)/dx → Fx = ½ (104)2 0,08015 . 10-9 = 4 mN 
 
 
 Fx ûx = 4 ûx m 
𝐹= __________________________ N. 
 
(c) [0,5] Na figura do capacitor cilíndrico da pág. 1, indicar de forma clara: 
c.1) as cargas reais, com símbolos + e − ; 
c.2) as cargas de polarização (ou induzidas) relevantes no dielétrico, com símbolos 
e (simbologia diferente da anterior); 
− 
 
 
 
 
 
 
 
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16:00 c.3) onde agem as forças cuja resultante é F, que também deve ser indicada. 
 
QUESTÃO 2 A estrutura ferromagnética da 
figura ao lado tem um entreferro e = 0,5 cm. 
Admita que a permeabilidade magnética do 
material ferromagnético seja extremamente 
maior que µ0, ou seja, pode-se admitir µFe→ 
∞. Sabendo que o fator de empilhamento é 
igual a 1, que não existe espraiamento no 
entreferro e que não existe dispersão de 
fluxo, ou seja, todas as linhas de campo 
ficam confinadas ao entreferro e à estrutura 
ferromagnética, pede-se: 
 
(a) (0,5) Se a corrente na bobina 1 vale 4 A 
e a corrente na bobina 2 é nula, qual deve ser o valor da indução magnética no entreferro? 
Re = e/µ0Se = 0,005 / (4π10-7 × 0,0008) = 4973592 H-1; 
Φe = NI/Re = (500 × 4) / 4973592 = 400 µWb; 
B = Φe / Se = 0,0004 / 0,0008 = 0,5 T. 
 
Resposta: ____________________________ . 
(b) (0,5) Qual o valor da indutância própria (em mH) da bobina de 500 espiras? 
 
L1 = N1Φe / I = (500 × 0,0004)/4 = 50 mH. 
 
 
Resposta: L = ____________________________ . 
(c) (0,5) Qual o valor da mútua (em mH e com sinal) entre as duas bobinas? Justifique o sinal. 
M = +N2(Φe/2)/ I = +(100 × 0,0002)/4 = +5 mH. 
 
Resposta: M = ____________________________ . 
(d) (0,5) Admita que pela bobina de 500 espiras circule corrente igual a 100 mA. Caso a bobina 
2 não esteja energizada, qual o valor da energia magnética armazenada no dispositivo? 
Wm = LI2/2 = 0,05 × (0,12) / 2 = 0,25 mJ. 
Resposta: Wmag = ____________________________ . 
 
 
 
 
 
 
 
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16:00 (e) (0,5) Admita agora que exista espraiamento no entreferro. Qual deve ser o valor da indução 
magnética no entreferro para que o fluxo no entreferro seja igual a 0,4mWb? 
 
B = Φe / Se = 0,0004 / (2,5 × 4,5 × 10-4) = 0,356 T. 
 
 
 
 
 
Resposta: _____________________ 
 
(f) (1,0) Admita neste item que não exista espraiamento de fluxo no entreferro, mas que o 
material ferromagnético seja não linear, e que a sua curva de magnetização possa ser 
expressa na forma B = 1,5 H/(500 + H). Determine as três grandezas a seguir, quando a 
indução magnética no entreferro vale 0,5 T: 
f.1) o campo magnético no material ferromagnético; 
Be = Bf = 0,5 T ==> Hf = 500B/(1,5-B) = 500 × 0,5 / (1,5 – 0,5) = 250 A/m. 
 
 
Resposta: ____________________ 
f.2) a indutância própria da bobina 1 (dica: determine a corrente na bobina 1 necessária 
para isto); 
Be = 0,5 / (4π × 10-7) = 397887 A/m; Φe = BeSe = 0,5 × 0,0008 = 400 µWb; 
I = (Hf l + Hee)/N = (397887×0,005 + 250×0,32) / 500 = 4,14 A; 
L = 500 × 0,0004 / 4,14 = 48 mH. 
 
Resposta: ______________________ 
 
f.3) a mútua indutância (com sinal) entre as bobinas. 
 
M = +100 × 0,0002 / 4,14 = 4,8 mH. 
 
Resposta: ________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
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16:00 
QUESTÃO 3 Considere o circuito magnético da figura abaixo à esquerda. O núcleo tem 
formato toroidal, com seção transversal circular, raio interno 3,0 cm e raio externo 3,5 cm. Para 
o material do núcleo, vale a curva de histerese da figura abaixo à direita. No núcleo, está 
enrolada uma bobina de 2000 espiras. Na curva de histerese, são indicados 3 estados, ou 
pontos de operação. Para todos os cálculos abaixo, a dispersão pode ser desprezada. 
(a) (1,0) Calcule as correntes correspondentes aos pontos de operação 1 (B = 0; H = 500 
Ae/m), 2 (B = 1,1 T; H = 1050 Ae/m) e 3 (B = 1,0 T; H = 0). 
 
I1 = 500 × 2π × 0,0325 / 2000 = 51 mA; 
I2 = 1050 × 2π × 0,0325 / 2000 = 107 mA; 
I3 = 0. 
Resposta: I1 = _______________ A I2 = _______________ A I3 = ______________A 
(b) (1,0) Qual é a energia que deve ser fornecida ao núcleo para levá-lo do estado 1 ao estado 
3, percorrendo a sequência 1-2-3? 
W1-2-3 = τ × w1-2-3 = [(2π × 0,0325)(π × 0,00252)] × [(500+1050)×1,1/2 - 1050×0,1/2] = 
= (4×10-6 m3) × (800 J/m3) = 3,2 mJ; 
Resposta: W1-2-3 = ____________________________ . 
(c) (1,0) Suponha que o núcleo seja levado até o estado 3. Abre-se então um entreferro de 
espessura e. Qual deve ser o valor de e para que haja um fluxo noentreferro de 8 µWb? O 
espraiamento pode ser desprezado. 
Φe = 8 µWb => Be = Bf = 0,408 T; da curva de histerese: Hf = -296 A/m; 
NI = Hf l + Bee/µ0 = 0 <=> e = - µ0Hf l / Be = 0,191 mm. 
 
Resposta: e = ____________________________ . 
 
 
 
 
 
 
 
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16:00 𝐶=4𝜋𝜀𝑎𝑏𝑏−𝑎 𝑅=𝑏−𝑎4𝜋𝜎𝑎𝑏FORMULÁRIO 
𝛻×𝐻=𝐽+𝜕𝐷𝜕𝑡 𝛻Ŋ𝐵=0 𝛻×𝐴=𝐵 𝛻Ŋ𝐴=0 𝐵=𝜇𝐻 𝜇0=4𝜋10−7 H/m 𝜀0≃10−936𝜋 F/m 
𝛻×𝐸=−𝜕𝐵𝜕𝑡 𝛻Ŋ𝐷=𝜌 𝛻Ŋ𝐽=−𝜕𝜌𝜕𝑡 𝐷=𝜀𝐸 𝐽=𝜎𝐸 
𝜏𝐸𝑖Ŋ𝐽𝑑𝜏=𝜏𝐽2𝜎𝑑𝜏+𝜏𝐸Ŋ𝜕𝐷𝜕𝑡𝑑𝜏+𝜏𝐻Ŋ𝜕𝐵𝜕𝑡𝑑𝜏+𝑆𝐸×𝐻Ŋ𝑑𝑆𝐵𝑛1−𝐵𝑛2=0 𝐷𝑛1−𝐷𝑛2=𝜌𝑆 𝐽𝑛1−𝐽𝑛2=−𝜕𝜌𝑆𝜕𝑡 
𝐸𝑡1−𝐸𝑡2=0 𝐻𝑡1−𝐻𝑡2=𝐽𝑆×𝑛 
𝑅=𝑟−𝑟′ 𝐴𝑟=𝜇𝐽𝑟′4𝜋𝑅𝑑𝜏′ 𝐻𝑟=𝐼4𝜋𝛤𝑑𝑙×𝑅𝑅3fio:𝐻=𝐼2𝜋𝑟𝑢𝜙 
espira circular:𝐻𝑟=0=𝐼𝑎22𝑧2+𝑎232𝑢𝑧solenoide:𝐻𝑟=0=𝑁𝐼2𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃1−𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑢𝑧 
toroide:𝐻=𝑁𝐼2𝜋𝑅𝑢𝜙 𝛹=𝑆𝐵Ŋ𝑑𝑆=𝛤𝐴Ŋ𝑑𝑙 𝛹𝑗=𝐿𝑗𝐼𝑗+𝑖=1𝑖≠𝑗𝑛𝑀𝑗𝑖𝐼𝑖 
𝑊𝑚=12𝐵Ŋ𝐻𝑑𝜏 𝑊𝑚=12𝐴Ŋ𝐽𝑑𝜏𝑊𝑚=12𝛹𝐼 𝑊𝑚=12𝑖=1𝑛𝛹𝑖𝐼𝑖 
𝑊𝑚=12𝑖=1𝑛𝐿𝑖𝐼𝑖2+12𝑖=1𝑛𝑗=1𝑗≠𝑖𝑛𝑀𝑗𝑖𝐼𝑖𝐼𝑗 
𝐸=−𝛻𝜑 𝜑2−𝜑1=−12𝐸Ŋ𝑑𝑙 𝛻2𝜑=−𝜌𝜀𝜑=𝜌𝑙2𝜋𝜀𝑙𝑛𝑟2𝑟1 𝜑=𝑞4𝜋𝜀𝑟 
𝜑=𝑉0𝑙𝑛𝑏𝑎𝑙𝑛𝑏𝑟 𝜑=𝑉01𝑎−1𝑏1𝑟−1𝑏𝐸=𝜌𝑙2𝜋𝜀𝑟𝑢𝑟 𝐸=𝑞4𝜋𝜀𝑟2𝑢𝑟 
𝐸=𝑉0𝑟𝑙𝑛𝑏𝑎𝑢𝑟 𝐸=𝑉01𝑎−1𝑏𝑟2𝑢𝑟𝐶=2𝜋𝜀𝑙𝑙𝑛𝑟𝑒𝑥𝑡𝑟𝑖 𝑅=𝑙𝑛𝑟𝑒𝑥𝑡𝑟𝑖2𝜋𝜎𝑙 
𝑊𝐸=𝜏12𝐷Ŋ𝐸𝑑𝜏=𝜏12𝜀𝐸2𝑑𝜏=𝜏12𝜀𝐷2𝑑𝜏𝑊𝐸=12𝜑𝜌𝑑𝜏+12𝜑𝛾𝑑𝑆 
𝑊𝐸=12𝜏𝜑𝜌𝑑𝜏𝑊𝐸=12𝐶𝑉2=12𝑄2𝐶=12𝑄𝑉𝑊𝐸=12𝑖𝑉𝑖𝑄𝑖=12𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑉𝑖𝑉𝑗𝐹𝑙=𝜕𝑊𝐸𝜕𝑙 𝑉=𝑐𝑡𝑒=−𝜕𝑊𝐸𝜕𝑙 
𝑄=𝑐𝑡𝑒ℛ=𝐿𝜇𝑆 𝐿=𝑁𝜓𝐼 𝑀21=𝑁2𝜓21𝐼1 𝑆=𝑎+𝑒𝑏+𝑒