1. Modelos de Sobrevivência

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EAC 0424 Matemática Atuarial II 
Ciências Atuariais Noturno – FEA – USP 
Prof. Dr. Ricardo Pacheco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA ATUARIAL DE VIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade de São Paulo 
- 1º Semestre 2013- 
 
 
 
2 
 
 
Aula 1 : Modelos de Sobrevivência (27 de Fevereiro de 2013) 
 
 
1. Modelos de Sobrevivência 
 
A tábua de mortalidade – um modelo discreto de sobrevivência 
 
1.1 Dada a Tábua de Mortalidade hipotética: 
 
X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
lx 1.000 991 985 982 979 976 972 968 964 959 
dx 9 6 3 3 3 4 4 4 5 6 
 
Compute as seguintes probabilidades: 
 
(a) 05 p 
(b) 05 q 
(c) 124 q 
(d) 1p 
(e) 2q 
 
A teoria de modelos contínuos de sobrevivência 
 
1.2 Suponha que o tempo de vida X de um recém-nascido é uniformemente distribuído no intervalo [ ]100;0 . 
(a) Identifique a função densidade de probabilidade (fdp) 
(b) Identifique a função de distribuição cumulativa (fdc) 
(c) Calcule a probabilidade de a morte ocorrer entre as idades 60 e 80 
 
1.3 Suponha que o tempo de vida X de um recém-nascido é exponencialmente distribuído com média 75 anos. 
(a) Identifique a função densidade de probabilidade (fdp) 
(b) Identifique a função de distribuição cumulativa (fdc) 
(c) Calcule a probabilidade de a morte ocorrer entre as idades 60 e 80 
 
Propriedades-chave da função de sobrevivência 
 
1. )(xsX é contínua e não-crescente com 1)0( =Xs e 0)( =ωXs 
2. )(')()(1)( xsxfxFxs XXXX −=⇔−= 
3. )()()()Pr( bsasdxxfbXa XX
b
a
X −==≤≤ ∫ 
 
1.4 Suponha que o tempo de vida X de um recém-nascido é exponencialmente distribuído com média 75 anos 
(a) Identifique a função de sobrevivência )(xsX 
(b) Calcule a probabilidade de sobrevivência de que um recém-nascido ainda esteja vivo aos 100 anos 
(c) Calcule a probabilidade de que um recém-nascido morra entre as idades 60 e 75 
 
1.5 Suponha que o tempo de vida X de um recém-nascido é uniformemente distribuído no intervalo [ ]100;0 . 
(a) Identifique a função de (probabilidade de) sobrevivência )(xsX 
3 
 
(b) Identifique a função de tábua de mortalidade xl se 1000 =l 
 
Propriedades-chave da função de tábua de mortalidade 
 
1. Xl é o quantidade esperada de sobreviventes de idade x de um grupo de 0l recém-nascidos 
2. )(0 xsll Xx = é contínua e não-crescente com 0=ωl 
 
1.6 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é 
2)100(000.10 xlx −= para 1000 ≤≤ x . Identifique a 
função de distribuição cumulativa (fdc) e a função densidade de probabilidade para a associada variável de tempo 
de vida X. 
 
1.7 Suponha que há 1.000 vidas recém-nascidas cujo tempo de vida obedece a um modelo de sobrevivência 
2)100(000.10 xlx −= para 1000 ≤≤ x . Determine o intervalo que compreende dois desvios-padrão em 
torno de )10(L , a frequência aleatória de sobreviventes na idade 10. 
 
Propriedades-chave da força de mortalidade 
 
1. ( )[ ]
x
x
X
X
X
X
X
l
l
xs
xs
xs
xs
xf
x
'
')(ln)(
)('
)(
)()( −=−=−==µ 
2. 





−= ∫
x
X dyyxs
0
)(exp)( µ 
3. ( )xXxxXxx ≥∆+≤≈∆ Pr)(µ 
4. )(xµ é não-negativa e contínua parceladamente onde definida 
5. ∞=∫
ω
µ
0
)( dyy para que 0)( =ωXs 
 
1.8 Suponha que a força de mortalidade para um modelo de sobrevivência é dada pela fórmula: 
 
x
x
−
=
90
9,0)(µ para 900 ≤≤ x 
Calcule a função de sobrevivência. 
 
1.9 Suponha que a força de mortalidade para um modelo de sobrevivência dado pela fórmula: 
x
x
−
=
90
9,0)(µ para 900 ≤≤ x 
Calcule a probabilidade aproximada que uma vida de 40 anos morra dentro de uma semana. 
 
Probabilidades-padrão em um modelo contínuo de probabilidade de sobrevivência 
 
1. Probabilidade de que uma vida atualmente com idade x sobreviva t anos 
( )
( ) ( )xXtxXxX
txX
xs
txs
l
lp
X
X
x
tx
xt >+>=
>
+>
=
+
==
+ Pr
Pr
Pr
)(
)(
 
2. Probabilidade de que uma vida atualmente com idade x morra nos próximos t anos 
( ) ( )
( ) ( )xXtxXxX
txXxX
l
llq
x
txx
xt >+≤=
>
+>−>
=
−
=
+ Pr
Pr
PrPr
 
4 
 
3. Probabilidade de que uma vida atualmente com idade x sobreviva s anos mas morra nos seguintes t anos 
( )xXtsxXsx
l
llq
x
tsxsx
xts >++≤<+=
−
=
+++ Pr 
 
1.10 Suponha que a força de mortalidade para um modelo de sobrevivência dado pela fórmula: 
x
x
−
=
90
9,0)(µ para 900 ≤≤ x 
Calcule as seguintes probabilidades: 
(a) 205.2 p 
(b) 205.2 q 
(c) 205.2 q 
 
Propriedades-chave entre as probabilidades-padrão 
 
1. 1=+ xtxt qp 
2. sxtxsxts ppp ++ ×= 
3. xsxtsxtsxssxtxsxts qqppqpq −=−=×= +++ 
4. 11 ... −++ ×××= nxxxxn pppp quando n é inteiro 
5. xnxxxn qqqq 110 ... −+++= quando n é inteiro 
 
O tempo de vida futuro contínuo depois da idade x 
 
Tempo de vida futuro: xXxXxT >−=)( 
 
( ) )(
)()(Pr)()(
xs
txs
l
lptxTts
X
X
x
tx
xtxT
+
===>= + (uma vez que )(0 xsll Xx = ) 
 
1.11 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é 2)100(000.10 xlx −= para 1000 ≤≤ x . 
(a) Calcule a função de sobrevivência para vida recém-nascidas. 
(b) Calcule a função de sobrevivência para vidas atualmente com a idade 20. 
 
1.12 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é 2)100(000.10 xlx −= para 1000 ≤≤ x . 
(a) Calcule a função de distribuição para o tempo de vida futuro de uma vida com idade 20. 
(b) Calcule a função densidade para o tempo de vida futuro de uma vida com idade 20. 
 
Resultados-chave com respeito à relação das distribuições de X e T(X) 
 
1. ( ) )(
)()(Pr)()(
xs
txs
l
lptxTts
X
X
x
tx
xtxT
+
===>= + 
2. 
)(
)()()(1)( )()(
xs
xFtxF
tsqtF
X
XX
xTxtxT
−+
=−==
 
3. )()(
)()()( txp
xs
txf
tf xt
X
X
xT +=
+
= µ 
 
O tempo de vida futuro curtado depois da idade x 
 
5 
 
[ ])()( xTIntxK = é o valor inteiro do tempo de vida futuro. 
 
[ ] [ ]
x
kx
xkxK l
dqkxTkkxKkf +==+≤≤=== 1)(Pr)(Pr)()( para 1,...,1,0 −−= xk ω 
x
kx
xkxK l
lpks 11)( )( +++ == para 1,...,1,0 −−= xk ω 
xkxkxK pqkF 11)( 1)( ++ −== para 1,...,1,0 −−= xk ω 
 
1.13 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é dada pela fórmula: 
 
xlx −=100 para 1000 ≤≤ x 
Calcule a função de probabilidade de K(75). 
1.14 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é dada pela fórmula: 
x
x el
015,0000.1 −= para 0≥x 
Calcule a função de probabilidade de K(75). 
 
1.15 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é dada pela fórmula: 
 
xlx −=100 para 1000 ≤≤ x 
 
Calcule a função de sobrevivência para K(75). 
 
 
 
1.16 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é dada pela fórmula: 
x
x el
015,0000.1 −= para 0≥x 
Calcule a função de sobrevivência para K(75). 
 
Expectativa de tempo de vida futuro de uma vida atualmente com idade x 
 
∫
+
=
1x
x
yx dylL 
 
11 ... −+ +++== ∫ ω
ω
LLLdylT xx
x
yx quantidade agregada de anos futuros vividos até a extinção da população 
Defina-se ∫=
ω
0
)()( dxxsXE X e ∫=
n
X dxxsnXE
0
)()^( 
 
Expectativa de vida completa 
[ ]
x
x
x
x
tx
x
T
x
Tx l
Tdt
l
ldttsdtttfxTEe ===== ∫∫∫
−
+
−− ωωω
000
0
)()()( 
[ ] ∫∫
−−
==
x
T
x
xT dtttsdttftxTE
ωω
00
)(
22 )(2)()( 
 
A expectativa de vida pode ser computada de três formas diferentes: 
6 
 
• O valor esperado da variável aleatória T(x)• A área debaixo do gráfico da função de sobrevivência 
• A taxa entre pessoas-anos vividos depois da idade x por grupo e o número de pessoas no grupo na idade x (um 
número médio de anos vividos por um membro do grupo de sobreviventes à idade x) 
 
Expectativa de vida completa temporária (anos esperados de vida nos próximos n anos) 
 
[ ]
x
nxx
n
x
tx
n
Tnx l
TTdt
l
ldttsnxTEe ++ −==== ∫∫
00
:
0
)(^)( 
nxxnnxx epee ++=
0
:
00
 
 
Expectativa de vida curtada (expectativa de vida de anos inteiros – a parte fracionária do último ano de vida não é 
considerada) a ser vivida pela vida (x) depois de seus x anos 
 
[ ] xxxxx
x
xxx
xk
x
k
x ppppl
llllqkxKEe 1321321
1
0
...
...)(
−−
−+++
−−
=
++++=
++++
=×== ∑ ωω
ω
 
[ ]
x
xxx
l
lll
xKE ...53)( 3212 +++= +++ 
[ ] xnxxxnx ppppnxKEe ++++== ...^)( 32: 
 
1.17 Compute a função xT para as seguintes funções de tábua de mortalidade: 
(a) xlx 10000.1 −= para 1000 ≤≤ x 
(b) 
x
x el
015,0000.1 −= para 0≥x 
 
1.18 Compute a expectativa de vida completa na idade x para as seguintes funções de tábua de sobrevivência: 
(a) xlx 10000.1 −= para 1000 ≤≤ x 
(b) 
x
x el
015,0000.1 −= para 0≥x 
 
1.19 Compute a expectativa de vida completa temporária a 10 anos na idade 50 para as seguintes funções de tábua de 
sobrevivência: 
(a) xlx 10000.1 −= para 1000 ≤≤ x 
(b) 
x
x el
015,0000.1 −= para 0≥x 
 
1.20 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é dada pela fórmula: 
 
xlx −=100 para 1000 ≤≤ x 
 
(a) Compute a expectativa de vida curtada para um recém-nascido. 
(b) Compute a expectativa de vida curtada temporária a 10 anos à idade 50. 
 
A taxa de mortalidade central 
 
A taxa central de mortalidade para n anos denotada por xn m computa a média ponderada da força de mortalidade de 
um intervalo que se estende da idade x para a idade x+n. 
 
7 
 
( )
11:
0
0
0
...)(
−+++ +++
=
−
==
+
=
∫
∫
nxxx
xn
nxx
xn
nx
xn
n
xt
n
xt
xn LLL
d
TT
d
e
q
dtp
dttxp
m
µ
 
xn m representa morte ocorridas entre as idades x e x+n em relação à exposição (número total de pessoas-anos vividos 
por lx vidas de idade x). 
 
Note a analogia entre probabilidade de morte e taxa central de mortalidade para 1 ano: 
 
x
x
x l
dq = 
 
x
x
x L
d
m = 
 
Observe-se ainda que a força de mortalidade )(xµ não é uma probabilidade, mas xx ∆)(µ é aproximadamente a 
probabilidade de que uma vida atualmente com idade x morrerá no instante seguinte x∆ . 
 
1.21 Suponha que a função de tábua de sobrevivência é dada pela fórmula: 
( ) 5,0100 xlx −= 
Calcule 50q , )50(µ e 50m . 
 
Leis de mortalidade 
 
A lei da força mortalidade constante 
 
µµ =)(x 
 
Não é adequado para um modelo de mortalidade humana. 
 
A decorrente função de sobrevivência é dada por: 
x
x
X edyxs
µµ −=






−= ∫
0
exp)( para 0>x 
A função densidade de probabilidade: 
 
x
XX exxsxf µµµ −== )()()( para 0>x 
 
E a fdp do tempo de vida futuro: 
 
x
x
tx
XTXT e
e
e
txtstf µµ
µ
µµµ −
−
+−
=×=+=
)(
)()( )()()( para 0>t 
 
O tempo de vida de um recém-nascido e o tempo futuro de vida depois da idade x seguiriam uma distribuição 
exponencial idêntica com média µ/1 . 
 
A lei de Gompertz 
8 
 
 
Sob a lei de Gompertz, a força de mortalidade é determinada pela fórmula: 
 
xBcx =)(µ onde 0,1,0 ≥>> xcB 
 
A fórmula apresenta uma força de mortalidade com crescimento geométrico para modelar o efeito do envelhecimento. 
 
Derivemos a função de sobrevivência: 
 
( ))1(exp)ln(
)1(
exp)ln(expexp)( 00
−−=





−
−=








−=







−= ∫
x
x
xyx
y
G cm
c
cB
c
BcdyBcxs 
 
Onde )ln(c
B
m = 
 
A lei de Makeham 
 
xBcAx +=)(µ onde 0,1,0, ≥>> xcBA 
 
A correspondente função de sobrevivência será: 
 
)()( xsexs GAxM −= (A é um coeficiente que capta “morte acidental” em complemento às “mortes naturais” por 
envelhecimento da lei de Gompertz) 
 
A lei de Weilbull 
 
nkxx =)(µ onde 0,0,0 ≥>> xnk 
 
A função de sobrevivência: 
 






+
−
=
+
1
exp)(
1
n
kx
xs
n
W 
Quando n=0, temos a lei da força de mortalidade constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Resolução Aula 1: 
 
1.1 
(a) 976,0
1000
976
5
0
5
0
===
l
lp (b) 004,0
1000
4
|5
0
5
0
===
l
dq (c) 991
8
991
968976
5|4
1
75
1
=
−
=
−
=
l
llq 
(d) 991
985
1
2
1
==
l
lp (e) 985
3
2
2
2
==
l
dq 
 
1.2 (a) ( ) 1000,100
1
≤≤= xxf
x 
(b)
 ( ) 1000,01,001,0)(
00
≤≤=== ∫∫ xxduduuxF
xx
x
X f 
(c) ( ) ( ) ( ) ( ) 20,0608001,060808060 =−××=−=≤≤ xFFxP xx 
 
1.3 (a) ( ) 0,75
1 75/ >= − xexf xx 
(b) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 75/75/075/
0
0
75/75/ 1
75
1 | xxxx uux eeeeduexF −−−−− −=−−−=−== ∫ 
(c) 10518,0)1()1()60()80()8060( 75/8075/6075/6075/80 =−=−−−=−=≤≤ −−−− eeFF eeXP xx 
 
1.4 (a) ( ) ( ) 0,1 75/ >=−= − xexx xxx Fs 
(b) 
( ) 2636,0100 75/100 == −esx 
(c) 
( ) ( ) ( ) 08145,075607560 75/7575/60 =−=−=<< −− eexP ss xx 
 
1.5 (a) ( ) ( ) ( ) ( ) 1000,01,0110001,001,0
100 100
≤≤−=−×===>= ∫ ∫ xxxduduuxXPx
x x
xx
fs 
(b) 
( ) ( ) 1000,10001,011000 ≤≤−=−×== × xxxxsll xx 
 
1.6 ( ) ( ) 1000,100
100
100000.10
)100(000.10
2
2
2
2
0
≤≤−=
×
−×
== x
xx
x
l
l
s
x
x 
( ) ( ) ( ) 1000,
100
10011 2
2
≤≤−−=−= xxxx sF xx 
( ) ( ) ( ) ( ) 1000,
000.5
100
100
1002
100
1001 22
2
≤≤−=−×=
′






−
−== ′ x
xxx
xx Ff xx 
 
1.7 L(10) obedece a uma distribuição binomial com: 
000.10 == lm 
( ) ( ) 81,0
100
1010010 2
2
=
−
== s xp 
Assim temos: 
 
( )[ ] 81081,0000.110 =×== mpLE
 ( )[ ] 90,153)81,01(81,0000.110 =−××== mpqLV
 
( ) 406,129,15310 ==Lσ 
 
Portanto, o intervalo requerido é: 
 
10 
 
[ ] [ ]81,834;19,785406,122810;406,122810 =×+×− 
1.8 ( ) ( ) =





−
−=





−= ∫∫
xx
x
dy
y
dyyxs
00 90
9,0
expexp µ 
( )[ ] 900,
90
90
90
90ln9,0exp|90ln9,0exp
9,0
0 ≤≤




 −
=










 −
=− x
xxy x 
1.9 Estabelecendo 365/7=Ax , a probabilidade requerida é: 
( ) 00035,0
365
7
4090
9,040 =×
−
=× xAµ 
 
1.10 A função da tábua de mortalidade é: 
( ) 900,
90
90 9,0
00 ≤≤




 −
×=×= x
x
x lsll xx 
Por simplicidade, escolhemos 
9,0
0 90=l 
( ) 9,090 xl x −= 
(a) 
( )
( ) 9678,02090
5,2290
9,0
9,0
20
5,22
205,2 =
−
−
==
l
lp 
(b) 0322,01 205,2
20
5,2220
205,2 =−=
−
= pq
l
ll
 
(c) 
( ) ( ) 01291,0
70
5,665,67
9,0
9,09,0
20
5,235,22
20|5,2 =
−
=
−
=
l
llq 
 
1.11 (a) ( ) ( )( ) 1000,100
100
0100000.10
100000.10 2
2
2
0
≤≤




 −
=
−
−
== x
xx
x
l
l
s
x
x 
 (b) ( )( ) ( )( )( ) 800,80
80
20100000.10
20100000.10 2
2
2
20
20
2020
≤≤




 −
=
−×
+−×
===
+ t
tt
tt l
lps tT 
 
1.12 (a) Nós já sabemos que: 
 ( )( ) 800,80
80 2
2020 ≤≤




 −
== t
t
tsp Tt 
 Portanto, a função de distribuição para T(20) é:( )( ) ( )( ) 800,80
8011
2
2020 ≤≤




 −
−=−= t
t
tstF TT 
 (b) ( ) ( ) ( )( )( ) 800,200.3
80
80
802
80
801 2
2
2020
≤≤−=−×=
′













 −
−=
′
= t
ttt
tFt TTf 
 Outra opção: 
 
( ) ( )txpt xttf +×= µ 
 ( ) xx −= 100
2µ 
 ( )( ) 200.3
80
20100
2
80
80 2
20
t
t
t
tf
T
−
=
−−
×




 −
=
 
 
1.13 A função de probabilidade para K(75) é: 
( )( ) ( ) ( )( ) 




=
−
−−−−−−
=
−
===
++++
25
1
75100
1751007510075
75
17575
75
75 kkkkP
l
ll
l
d kkk
 
Então K(75) tem 25 valores possíveis (0,1,2,3,...,24) que são igualmente prováveis de ocorrer. 
11 
 
 
1.14 ( )( ) ( )ee
e
ee
l
ll
l
d kkkkkkkkP 015,0015,075015,0
)17(015,0)75(015,0
75
17575
75
75 175 −−
×−
++−+−
++++
−=
−
=
−
=== 
Distribuição Geométrica 
 
 
1.15 ( ) ( ) 24,,2,1,0,25
24
75100
175100
75
175
751)75( K=
−
=
−
++−
===
++
+ k
kkpk
l
l
s
k
kK 
1.16 ( ) K,2,1,0,)1(015,0)75(015,0
)175(015,0
75
175
751)75( =====
+−
−
++−
++
+ kpk e
e
e
l
l
s
k
k
k
kK 
 
1.17 (a) ( ) ( ) ( )2
2
1002100
1005
2
)10000.1(
2
101000101000 xxydyyT
xx
x −=
−
=







−
−=−= ∫ 
(b) ( ) ( )
015,0
000.1
015,0
1000
1000
015,0015,0
015,0 ee
e
x
x
y
x
y
x dyT
−
∞
−
∞
−
=








−== ∫
 
 
1.18 (a) 
( )
( ) 2
100
2010000.1
10000.1 20 x
x
x
e
l
T
x
x
x
−
=
×−
−
== 
 (b) ( ) 67,66015,0000.1 000.1 015,0
015,00
=
×
==
−
−
e
e
l
T
x
x
x
x
xe
 
 
1.19 (a) 920500
400500 22
50
6050
|10:50 =×
−
=
−
=
l
TTo
e 
(b) 
( )
280.9
015,0000.1
000.1
50015,0
60015,050015,0
50
6050
|10:50 =
××
−
=
−
=
×−
×−×−
e
ee
l
TToe 
 
1.20 A expectativa de vida curtada é: 
(a) 50,49100
950.4
100
19899
0
9921
0990200 ==
+++
=
+++
=+++=
KK
K
l
lll
e ppp 
(b) 9,858
445
60
14849
50
605251
501050250|10:50 ==
+++
=
+++
=+++=
KK
K
l
lll
e ppp 
 
1.21 Para m50 necessitamos |1:50
0
e
 
 
( ) ( ) 99498,0
02,05,1
02,0102,01
1
0
1
0
5,1
5,0
1
0
1
0 50
50
50|1:50
0
=







×
−
−=−=== ∫∫ ∫ +
tdttdtdtpe
l
l t
t
 
 
01005,0
50
4911
5,0
50
51
50
=





−=−=
l
lq 
 
( ) ( )( ) 01,050100
5,0
50100
5010050 5,0
2/5,0
50
50
=
−
=
−
−
−=−=
−
′
l
lµ 
01010,0
99498,0
01005,0
0
|1:50
50
50 ===
e
q
m