lista de eletrostática

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PROBLEMAS DE ELETROSTÁTICA
1. Doze cargas iguais, q, estão localizadas nos cantos de um polígono regular de 12 lados (por
exemplo, em cada número do mostrador de um relógio). 
a. Qual a força líquida sobre uma carga de prova Q no centro?
b. Suponha que uma das 12 cargas seja removida (a que está em '6 horas'). Qual será a
força sobre Q? Explique cuidadosamente o seu raciocínio.
2. Encontre o campo elétrico a uma distância z acima de uma das extremidades de um segmento de
linha reta L e que tem uma distribuição linear de carga uniforme, de densidade λ.
3. Suponha que o campo elétrico em uma determinada região é dado por E = kr³r, em coordenadas
esféricas (k é uma constante). 
a. Encontre a densidade de carga ρ.
b. Encontre a carga total contida em uma esfera de raio R, centrada na origem. Faça de
duas formas diferentes.
4. Utilize a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico dentro e fora de uma casca esférica de
raio R, com uma densidade superficial de cargas uniforme ρs.
5. Encontre o campo elétrico dentro de uma esfera com uma densidade de cargas proporcional à
distância do centro da esfera,  = Kr, onde r é uma constante. Esta densidade de cargas náo é
uniforme e você deve integrar para chegar à carga encerrada.
6. Uma destas expressões é um campo eletrostático impossível. Qual delas?
a. E = k[xyâx + 2yzây + 3xzâz] 
b. E = k[y²âx + (2x+z)yây + 2yzâz]
7. Deduzir a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss
8. Uma esfera de raio a tem carga total q distribuída uniformemente em seu volume. Obter a
diferença de potencial entre dois pontos fora da esfera distantes r1 e r2 do centro ( r1 > r2 ). Qual
o potencial do ponto 1 caso o potencial no ponto 2 seja igual a 100 volts? E se o potencial do
ponto 2 for igual a 100, com referência no infinito?
9. Um cilindro de raio a e altura 2a possui as bases carregadas simetricamente com +ρs e -ρs .
Calcule o campo elétrico:
a. No eixo, a meia distância entre as bases
b. Exatamente no centro do disco de cargas negativas.
10. Suponha uma camada de cargas com distribuição uniforme na atmosfera. Na base da camada o
campo elétrico é vertical para cima e vale 40μV/m. A nuvem de cargas termina a 1000 metros
de altitude, onde o campo vale 20μV/m e aponta para baixo. Calcule a densidade de cargas na
atmosfera em coulombs por metro cúbico.
11. Uma carga Q3, cujo valor é de +10nC está em uma região do espaço na qual estão presentes 2 
outras cargas, Q1 e Q2, cujos valores são +1mC e -2mC, nas posições P1=(3, 2, -1) e P2=(-1, -1,
4). Sabendo-se que a carga Q3 está em P3=(0, 3, 1), calcular a força sofrida pela carga 3 devido 
às cargas 1 e 2.
R: F = (-6,499 âx -3,7 ây + 7,54 âz)mN
12. Uma carga Q3, cujo valor é de +10nC está em uma região do espaço na qual estão presentes 2 
outras cargas, Q1 e Q2, cujos valores são +1mC e -2mC, nas posições P1=(3, 2, -1) e P2=(-1, -1,
4). Sabendo-se que a carga Q3 está em P3=(0, 3, 1), calcular a força sofrida pela carga 3 devido 
às cargas 1 e 2.
13. Em um átomo de hidrogênio o elétron está separado do próton por uma distância média de 
aproximadamente 5,3x10-11m. Calcule a intensidade da força eletrostática de atração exercida 
pelo próton no elétron.
14. Uma moeda de cobre (Z = 29) tem massa de 3,10 gramas. Qual é a carga total de todos os 
elétrons da moeda?
15. Calcule a razão entre a força elétrica e a força gravitacional exercida por um próton em um 
elétron de um átomo de hidrogênio
16. A carga Q1 = + 25 está na origem, a carga Q2 = -15nC está em (2,0) e a carga Q0 =+20nC está 
em (2,2). Determine a força eletrostática resultante em módulo direção e sentido.
17. Uma carga pontual positiva Q1 = +Q e uma carga pontual negativa Q2 = -2q estão localizadas 
em (a,0) e (-a,0) respectivamente. Considere as seguintes regiões sobre o eixo x: região 1 (x < 
-a), região 2 (-a < x < +a ) e região 3 (x > a) Em qual região, ou regiões, há um ponto no qual o 
campo elétrico resultante é zero? Qual a coordenada deste ponto?
18. Em um sistema de coordenadas retangulares, uma carga de 30 nC é colocada na origem do 
sistema e outra carga de -30nC é colocada no ponto x=5m, y=0m. Determinar o campo elétrico 
resultante nos seguintes pontos:
a. x=2,5m, y=0; 
b. x=2,5m, y=5m; 
c. x=5m, y=10m; 
d. x=5m, y=50m; 
 
19. Duas cargas pontuais de mesma massa m e carga Q estao suspensas em um ponto comum por 
dois fios de massa desprezivel e comprimento l. Demostre que, na situaçao de equilibrio, o 
ângulo de inclinaçao α de cada um dos fios em relaçao a vertical e dado por:
20. Um disco de raio 1 m , situado no plano z = 0 , com distribuição superficial de cargas uniforme 
igual a ρS = 5 nC/m2 , está situado no vácuo.
a. Determine, nessas condições, o campo elétrico e a densidade de fluxo elétrico causado 
pelo disco no ponto ( 0, 0, 1 ).
b. R: E = 199,6 âz V/m, D =1,767*10ε âz Wb/m² 
c. Qual a força (em módulo, direção e sentido) que uma carga elétrica de 1nC sofre quando
esta posicionada neste ponto?
R: F = 199,6 10-9 âz N
21. Resolva o problema anterior, supondo que a distribuição de cargas no disco não seja uniforme e 
sim dada pela seguinte equação : ρS = 5 ρ nC/m2 , onde ρ é medido a partir do centro do disco e 
no plano do mesmo.
R: E = -48,65 âz V/m, D = -430,7471 * 10 ¹² âz Wb/m² , ⁻ F = -48,65 *10 âz V/m⁻⁹
22. Uma lamina uniformemente carregada com ρS = (1/3) π nC/m2 está localizada em z = 5 m e um 
fio, também uniformemente carregado, com ρl = (-24/9) nC/m, está localizado em z = -3 m , y =
3 m. Calcule o campo elétrico resultante, em módulo , direção e sentido, e o potencial elétrico 
no ponto ( x, -1,0 m ).
R: E = 7,6734 ây – 64,8643 âz V/m,
23. Determinar o Campo Elétrico, em módulo, direção e sentido, devido a um anel de cargas 
positivas em um ponto qualquer de um eixo que passe pelo centro do mesmo e seja ortogonal ao
plano do anel. Qual o valor desse Campo quando o ponto escolhido for o centro do anel?
R: E=
ρlρh2 π
4 πϵ0(√ρ2+h2)
3 âz
24. Questões, Exercícios Práticos e Problemas do livro-texto: Elementos de Eletromagnetismo, 
Matthew Sadiku, 3 ed.
a. Exercício Prático 4.5 (p. 123);
b. Exercício Prático 4.7 (p. 126);
c. Exercício 4.16 e 4.17 (p.155)
d. Exercício 4.29, 4.30 e 4.31 (p. 157)
e. Exercício Prático 4.15 (p. 149);
25. Um disco de raio 1 m , situado no plano z = 0 , com distribuição superficial de cargas uniforme 
igual a ρS = 5 nC/m
2 , está situado no vácuo.
a. Determine, nessas condições, o campo elétrico e a densidade de fluxo elétrico causado 
pelo disco no ponto ( 0, 0, 1 ).
b. Qual a força (em módulo, direção e sentido) que uma carga elétrica de 1nC sofre quando
esta posicionada neste ponto?
c. Resolva o problema anterior, supondo que a distribuição de cargas no disco não seja 
uniforme e sim dada pela seguinte equação : ρS = 5 ρ nC/m
2 , onde ρ é medido a partir 
do centro do disco e no plano do mesmo.
26. Uma lamina uniformemente carregada com ρS = (1/3) π nC/m
2 está localizada em z = 5 m e um 
fio, também uniformemente carregado, com ρl = (-24/9) nC/m, está localizado em z = -3 m , y =
3 m. Calcule o campo elétrico resultante, em módulo , direção e sentido, e o potencial elétrico 
no ponto ( x, -1,0 m ).
27. Determinar o Campo Elétrico, em módulo, direção e sentido, devido a um anel de cargas 
positivas em um ponto qualquer de um eixo que passe pelo centro do mesmo e seja ortogonal ao
plano do anel. Qual o valor desse Campo quando o ponto escolhido for o centro do anel?
28. Um disco de raio 1 m , situado no plano z = 0 , com distribuição superficial de cargas uniforme 
igual a ρS = 5 nC/m
2 , está situado no vácuo.
a. Determine, nessas condições, o campo elétrico e a densidade de fluxo elétrico causado 
pelo disco no ponto ( 0, 0, 1 ).
b. Qual a força (em módulo, direção e sentido) que uma carga elétrica de 1nC sofre quando
esta posicionada neste ponto?
29. O segmentoreto semi-infinito , z > 0 e x = y = 0 , está carregado com ρl = 15 nC/m no vácuo. 
Determine o campo elétrico em módulo, direção e sentido nos pontos: ( 0, 0,-1 ) e ( 1, 2, 3 ).
30. Um anel circular metálico de raio a está carregado com uma densidade de cargas dada por 
ρ1C/m. Supondo o anel no plano xy, determine:
a. a expressão do campo elétrico em P(0, 0, h);
b. o valor de h para o máximo campo;
c. qual o valor do campo quando o raio do anel tende a zero?
31. Um disco circular de raio a está uniformemente carregado com uma densidade superficial de 
cargas dada por ρs C/m
2. Supondo o disco em z = 0, determine:
a. a expressão do campo elétrico em P(0, 0, h);
b. qual o valor do campo quando o raio do disco tende a infinito?
c. qual o valor do campo quando a <<h?
32. Seja uma esfera uniformemente carregada com carga total +Q. Supondo raio da esfera igual a a, 
determine o campo E:
a. dentro da esfera;
b. fora da esfera.
33. Supondo D= (2y2 + z)ax+4 xy ay+x az C/m
2 determine:
a. a densidade volumétrica de carga em (-1, 0, 3);
b. o fluxo total através de um cubo definido por 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < z < 1;
c. a carga total dentro do cubo.
34. Um plano localizado em x=5 possui uma densidade superficial de cargas de 10nC/m2 e uma 
linha localizada em (0, y, 2) possui uma densidade linear de cargas de 10nC/m. Determine E em 
(1, 1, -1) devido a estas duas cargas distribuídas.
35. Seja a densidade de fluxo elétrico D igual a y2z3âx + 2xyz3ây + 3x2z2âz pC/m2 no espaço livre. 
Determine a carga total contida em uma esfera de raio 1μm centrada em (1,2,3).
36. Um dipolo de momento P está localizado na origem de um sistema de coordenadas localizado 
no espaço livre. Determine a intensidade de campo elétrico em (4, 200, 00).
37. A distribuição de potencial eletrostático em uma dada região do espaço livre é dada por: V = 
10y3 + 20x2 + 5z2. Determine E em (5, 4, 7).
38. Determine a energia armazenada em uma região esférica centrada na origem do sistema de 
coordenadas com raio R=10m localizada no espaço livre e sujeita à seguinte intensidade de 
campo elétrico: E = -200râr.
39. Eletrostaticamente, uma nuvem de tempestade pode ser representada por um capacitor de placas
paralelas carregado. Considerando uma nuvem que se estenda, paralelamente ao solo, por uma 
área de 10 km2 , e verticalmente por 1 km, tendo um carregamento estimado de 200C, 
determine:
a. A energia eletrostática armazenada na nuvem;
b. A diferença de potencial entre a base e o topo da nuvem;
c. O campo eletrostático intra-nuvem.
40. Uma linha de transmissão em corrente contínua de 500 KV, consiste em tres condutores 
dispostos horizontalmente, afastados entre si de 15m e a 20m do solo. Cada condutor consiste 
em um cabo encordoado de 25 mm de diâmetro. A que altura do solo uma lâmpada fluorescente 
“acenderá” sabendo que o valor de campo necessário para tanto é de 15 kV/m?
41.Determine a carga total:
a. Sobre uma linha dada por 0 < x < 5 m, se ρL = 12x2 mC/m.
b. Sobre um cilindro dado por ρ = 3, 0 < z < 4m, se ρS = ρz2 nC/m2.
c. Dentro de uma esdera com r = 4m, se ρV=10/(r senθ) C/m3.
42.Um disco localizado em 0 < ρ < 1, z=1 tem uma distribuição uniforme de cargas dada 
por ρS = 200pC/m2. Se uma carga pontual de 30μC for colocada na origem, determine 
a força sobre a carga pontual devido ao campo produzido pelo disco.
43.Determine a densidade de cargas devido a cada uma das seguintes densidades de 
fluxo elétrico:
a. D = 8xyâX + 4x2âY C/m2;
b. D = 4 ρ sen(φ) â ρ + 2 ρ cos (φ) â φ + 2z2âZ C/m2;
c. D = (2 cos (θ)/r3) âR + (sen(θ)/r3) âθ C/m2;
44.Seja D = 2xyâX + x2âY C/m2, detrermine:
a. A densidade volumétrica de cargas ρV;
b. O fluxo através da superfície 0 < x < 1, 0 < z < 1, y=1;
c. A carga total contida na região 0 < x,y,z < 1
45.Se D = 2 z2 sen(φ/2) â ρ + z2 cos (φ/2) â φ + 4z ρ sen(φ/2) âZ C/m2, utilizando dois 
métodos diferentes, determine a carga total encerrada no volume delimitado por -2 < z 
< 1, 1 < ρ < 4, 0 < φ < π. 
46. Três cascas esféricas concêntricas com r=1, r=2 e r=3m têm, respectivamente, 
distribuições de cargas dadas por 2, -4 e 5 μC/m2.
a. Calcule o fluxo através de r = 1,5m e r=2,5m.
b. Determinar D em r=0,5, r=2,5 e r=3,5m.
47.Seja ρV = ρ0/r mC/m3, 0 < r < a, onde ρ0 é constante.
a. Determine E dentro e fora de r=a.
b. Calcule a carga total.
48.Em um campo elétrico E = (20 r sen(θ)) âR + (10 r cos (θ)) âθ V/m. Determine a energia
empregada ao transferir uma carga de 10nC:
a. de A(5,30º,0º) até B(5, 90º, 0º);
b. de A(5,30º,0º) até C(10, 30º, 0º);
c. de A(5,30º,0º) até D(5, 30º, 60º);
d. de A(5,30º,0º) até E(10, 90º, 60º);
49.Um disco circular de raio a está carregado com ρS =1/ρ C/m2. Calcule o potencial 
eletrostático em (0, 0, h).
50.Duas cargas pontuais Q1 = 3nC e Q2 = -2nC estão localizadas em (0,0,0) e (0,0,-1), 
respectivamente. Considere o potencial no infinito igual a zero e determine o potencial
em:
a. (0,1,0);
b. (1,1,1)
51.O eixo y está uniformemente carregado com 10nC/m no espaço livre. Dados dois 
pontos A(-3, 2, 4) e P(6, 1, 0), determine:
a. VA se VP = 5V;
b. VP se VA = 5V;
52.No espaço livre, V=x2y(z+3)V. Determine:
a. E em (3, 4, -6);
b. A carga dentro de um cubo de dimensões 0 < x,y,z < 1;
53.Dado o campo elétrico em uma certa região do espaço E = (z+1) sen(φ) â ρ + z+1) cos 
(φ) â φ + ρ sen(φ)âZ V/m; determine o trabalho realizado ao movimentar uma carga de 
4nC de:
a. A(1,0,0) até B(4, 0, 0);
b. B(4,0,0) até C(4, 30º, 0);
c. C(4, 30º,0) até D(4, 30º, -2);
d. A até D;
54.Determine o campo elétrico devido aos seguintes potenciais:
a. V = x2+2y2+4z2;
b. V = sen(x2+y2+z2)1/2;
c. V = ρ2(z+1) sen(φ);
d. V = e-r sen(θ) cos(2φ)
55.Um dipolo elétrico com p = pâZ C*m está localizado em (x,z) = (0,0). Se o potencial em 
(0,1) nm é de 9V, determine o potencial em (1nm, 1nm).
56.Determinar quais dos seguintes campos é genuinamente um campo elétrico:
a. E1 = 5x3âx + 15x2yây V/m;
b. E2 = 2 ρ (z+1) sen(φ) â φ = ρ(z+1) cos(φ) â φ + ρ2 sen(φ) âz V/m;
c. E = (5/r) sen (θ) cos(φ) âR V/m;
57.O campo elétrico no espaço livre é dado por E = 2xyzâx + x2zây + x2y âz V/m. Calcular o
trabalho necessario para mover uma carga de 2 μC de (2,1,-1) ate 5, 1, 2).