09. PERT CPM, cronograma e curva S

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Prof. Eng. Civil Mayara Custódio, Msc.
PLANEJAMENTO E 
CONTROLE DE OBRAS
Cronograma e Curva “S”
Professora: Eng. Civil Mayara Custódio, Msc.
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PERT/CPM
PERT – Program Evaluation and Review 
Technique
CPM – Critical Path Method
Métodos desenvolvidos em 1950 para Planejamento e 
Controle de Projetos
Utilização de rede (gráficos) para planejar e visualizar a 
coordenação de um projeto.
Técnicas complementares frequentemente consideradas
uma única técnica – PERT/CPM (Similaridade).
Previsão, programação, coordenação, execução e controle.
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PERT/CPM
Utilização em qualquer projeto baseado em
atividades sequenciadas para atingir um objetivo:
Construção Civil;
Pesquisa e Desenvolvimento de Produtos;
Construções mecânicas (navios, aeronaves, 
maquinário industrial…);
Projetos de Tecnologia da Informação
(Desenvolvimento e Implantação de Sistemas);
Etc.
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CPM – Definindo o Caminho Crítico
Descrição Precedentes Duração
A Escavação 2
B Fundação A 4
C Paredes B 10
D Telhado C 6
E Encanamento Interior C 4
F Encanamento Exterior E 5
G Muros D 7
H Pintura Exterior E,G 9
I Instalação Elétrica C 7
J Divisórias F,I 8
K Piso J 4
L Pintura Interior J 5
M Acabamento Exterior H 2
N Acabamento Interior K,L 6
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CPM – Definindo o Caminho Crítico
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Caminho Comprimento
A-B-C-D-G-H-M 2+4+10+6+7+9+2=40
A-B-C-E-H-M 2+4+10+4+9+2=31
A-B-C-E-F-J-K-N 2+4+10+4+5+8+4+6=43
A-B-C-E-F-J-L-N 2+4+10+4+5+8+5+6=44
A-B-C-I-J-K-N 2+4+10+7+8+4+6=41
A-B-C-I-J-L-N 2+4+10+7+8+5+6=42
Caminho com maior tempo entre o início e fim
Todos os demais caminhos alcançarão o fim primeiro
Qualquer atraso no caminho crítico causará atraso no 
projeto
CPM – Definindo o Caminho Crítico
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Tempo Inicial mais Cedo
Tempo Final mais Cedo
Tempo Inicial mais Tarde
Tempo Final mais Tarde
Determinar em que tempo uma
atividade deve iniciar e terminar
Tempo 
Inicial
Tempo 
Final
CPM – Programação de atividades
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PERT - Incertezas nas durações
A duração de cada atividade na prática pode ser 
diferente daquela prevista na elaboração do projeto. 
Fatores praticamente impossíveis de serem previstos que 
podem adiantar ou atrasar a duração de uma atividade:
 Escassez ou abundância de recursos;
 Variações abruptas de indicadores econômicos, 
 Intempéries climáticas,
 Entre muitos outros. 
A fim de se obter um planejamento mais confiável, faz-se 
necessário considerar no modelo incertezas sobre a 
duração de cada atividade. 
Na metodologia PERT, a duração de cada atividade é 
tratada como uma variável randômica com alguma 
distribuição de probabilidade. 
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Na prática, a duração das atividades pode ser diferente da 
estimativa inicial para o projeto
O modelo PERT considera um modelo de incertezas sobre 
a duração de cada atividade
m – estimativa mais provável da duração de uma atividade
o – estimativa otimista da duração de uma atividade
p – estimativa pessimista da duração de uma atividade
O modelo PERT 
considera 3 
variáveis para 
determinação da 
distribuição da 
probabilidade.
PERT - Incertezas nas durações
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PERT - Incertezas nas durações
A metodologia PERT assume que a forma da 
distribuição de probabilidade da variável 
randômica em questão é a da distribuição Beta.
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PERT - Incertezas nas durações
Considerando que:
µ = Média ponderada entre as durações de uma 
atividade nos cenários otimista, pessimista e provável;
σ² = Variância dos valores das durações de uma 
atividade, considerando os três cenários;
A distribuição está efetivamente contida no intervalo 
entre (µ − 3σ) e (µ + 3σ);
Pode-se definir com uma boa aproximação os 
valores estatísticos de média e variância:
𝝁 =
𝒐 + 𝟒𝒎+ 𝒑
𝟔
𝝈𝟐 =
𝒑 − 𝒐
𝟔
𝟐
OBS.: Desvio padrão: 𝜎 = 𝜎2
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Estabelecendo estimativas para as variáveis de duração das atividades
PERT - Incertezas nas durações
Tabela de estimativas PERT
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PERT - Incertezas nas durações
Com os valores da tabela 3, pode-se por 
exemplo, construir o cenário de pior caso, ou 
seja, determinar o caminho crítico utilizando as 
durações mais pessimistas.
Análise de caminhos e suas respectivas durações para os 
cenários pessimistas
C.Cr.
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PERT - Incertezas nas durações
Percebe-se assim que o caminho crítico para o 
cenário mais pessimista dura 70 semanas, o que 
provavelmente inviabilizaria o projeto. 
Qual a probabilidade que este cenário ocorra? 
Considerando que o caminho crítico médio é o 
caminho através da rede que deveria ser o crítico se a 
duração de cada atividade fosse a sua duração mais 
provável, e ainda que as atividades são 
estatisticamente independentes, pode-se calcular a 
média da distribuição de probabilidade da duração 
total do projeto como uma distribuição normal. 
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PERT - Incertezas nas durações
Média da distribuição de probabilidade da 
duração total do projeto: 
𝜇𝑝 = 𝑖=1
𝑛 𝜇𝑖, 
onde 𝜇𝑖 é a duração média da atividade i no caminho 
crítico médio. 
Variância da distribuição de probabilidade da 
duração total do projeto:
𝜎𝑝
2 = 𝑖=1
𝑛 𝜎𝑖
2
onde 𝜎𝑖
2 é a variância da atividade i no caminho 
crítico médio. 
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Exemplo:
No exemplo dado, o caminho crítico médio é 
dado pela sequência: 
Inicio-A-B-C-E-F-J-L-N-Fim
Neste caminho, 𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
A probabilidade de completar o projeto em 
“D” unidades de tempo é igual à área sob a 
curva de distribuição normal até esta data.
Tabela dos valores da distribuição normal padrão
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Exemplo:
No exemplo dado, o caminho crítico médio é 
dado pela sequência: 
Inicio-A-B-C-E-F-J-L-N-Fim
Neste caminho, 𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
A probabilidade de completar o projeto em 
“D” unidades de tempo é igual à área sob a 
curva de distribuição normal até esta data.
Tabela dos valores da distribuição normal padrão
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Exemplo:
Considerando T como a duração do projeto que 
possui distribuição normal com média 𝜇𝑝 e 
variância 𝜎𝑝
2, o número de desvios-padrão pelo 
que “D” excede 𝜇𝑝 é: 𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
Utilizando a tabela dos valores da distribuição normal 
padrão, a probabilidade de completar o projeto em 
“D” unidades de tempo é:
𝑷 𝑻 ≤ 𝑫 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝒌𝒂 = 𝟏 − 𝑷(𝒁 > 𝒌𝒂), se 𝒌𝒂>0 
𝑷 𝑻 ≤ 𝑫 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝒌𝒂 = 𝑷(𝒁 > 𝒌𝒂) , se 𝒌𝒂>0 
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Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 47 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
47−44
3
= 1
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟕 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒁 > 𝟏)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.
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Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 47 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
47−44
3
= 1
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟕 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒁 > 𝟏)
= 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟔𝟔
= 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑𝟒 (𝟖𝟒, 𝟏𝟑%)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.Prof. Eng. Civil Mayara Custódio, Msc.
Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 47 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
47−44
3
= 1
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟕 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒁 > 𝟏)
= 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟔𝟔
= 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑𝟒 (𝟖𝟒, 𝟏𝟑%)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.
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Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 47 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
47−44
3
= 1
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟕 = 𝑷 𝒁 ≤ 𝟏 = 𝟏 − 𝑷(𝒁 > 𝟏)
= 𝟏 − 𝟎, 𝟏𝟓𝟖𝟔𝟔
= 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑𝟒 (𝟖𝟒, 𝟏𝟑%)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.
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Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 40 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
40−44
3
= −1,33
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟎 = 𝑷 𝒁 ≤ −𝟏, 𝟑𝟑 = 𝑷(𝒁 > 𝟏)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.
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Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 40 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
40−44
3
= −1,33
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟎 = 𝑷 𝒁 ≤ −𝟏, 𝟑𝟑 = 𝑷(𝒁 > 𝟏)
= 𝟎, 𝟎𝟗𝟏𝟕𝟔
= (𝟗, 𝟏𝟕𝟔%)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.
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Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 40 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
40−44
3
= −1,33
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟎 = 𝑷 𝒁 ≤ −𝟏, 𝟑𝟑 = 𝑷(𝒁 > 𝟏)
= 𝟎, 𝟎𝟗𝟏𝟕𝟔
= (𝟗, 𝟏𝟕𝟔%)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.
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Exemplo:
Ex.: Qual é a probabilidade do projeto se 
completar em D = 40 semanas?
𝜇𝑝 = 44 e 𝜎𝑝
2 = 9.
𝑘𝛼 =
𝐷−𝜇𝑝
𝜎𝑝
=
40−44
3
= −1,33
𝑷 𝑻 ≤ 𝟒𝟎 = 𝑷 𝒁 ≤ −𝟏, 𝟑𝟑 = 𝑷(𝒁 > 𝟏)
= 𝟎, 𝟎𝟗𝟏𝟕𝟔
= (𝟗, 𝟏𝟕𝟔%)
Área da curva sob a 
distribuição normal 
para 𝒌𝜶 = 1,00.
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Cronograma
O cronograma é um instrumento de 
planejamento e controle semelhante a 
um diagrama, em que são definidas e 
detalhadas minuciosamente as 
atividades a serem executadas durante 
um período estimado.
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Cronograma
É, por excelência , o instrumento utilizado no dia a dia 
da obra, e é com base nele que o gerente e sua 
equipe devem tomar as seguintes providências:
Programar as equipes;
Instruir as equipes;
Alugar equipamentos;
Recrutar operários;
Aferir o progresso das atividades;
Monitorar atrasos ou adiantamentos das atividades;
Replanejar a obra;
Pautar reuniões.
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Cronograma
Gráfico de Gantt:
É um gráfico simples, em que à esquerda figuram as 
atividades e à direita, as suas respectivas barras 
desenhadas em uma escala de tempo. 
O comprimento da barra representa a duração da 
atividade, cujas datas de início e fim podem ser lidas nas 
subdivisões da escala de tempo.
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Cronograma
Gráfico de Gantt:
Constitui uma importante ferramenta de 
controle, porque é visualmente atraente, fácil de 
ser lido e apresenta de maneira simples e 
imediata a posição relativa das atividades ao longo 
do tempo. 
No entanto, apresenta a deficiência de não 
possibilitar a visualização da ligação entre as 
atividades e não mostrar o caminho crítico.
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Cronograma
Cronograma integrado Gantt-Pert/CPM: 
Pode apresentar, adicionalmente ao cronograma 
de Gantt várias informações, por exemplo:
Informações
Como aparecem no 
cronograma
Código das atividades De acordo com a rede
Sequenciação Pequenas setas
Data mais cedo e mais tarde de 
início e fim
PDI, UDI, PDT, UDT
Folgas Folgas totais
Atividades críticas Hachuradas ou traçado mais forte
Realizado Situação real do projeto
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Cronograma
Cronograma integrado Gantt-Pert/Com: 
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Cronograma Físico-Financeiro
O cronograma físico-financeiro é feito 
com base na planilha orçamentária e deverá 
prever o período de obras, o desembolso 
total e os desembolsos mensais durante este 
período.
Principais funções:
Organizar o caixa;
Organizar o tempo;
Obter financiamento.
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Cronograma 
Físico-Financeiro
1. Organizar o caixa:
No cronograma físico-financeiro, as despesas com a 
execução dos serviços são detalhadas semanal ou 
mensalmente, dependendo do tipo de construção.
Isso permite que os administradores do caixa da 
obra saibam exatamente quanto vão gastar e quando 
isso vai acontecer, evitando despesas e empréstimos 
imprevistos;
Da mesma forma, eles podem planejar o investimento 
do dinheiro que ainda não foi gasto, para que ele 
renda juros e reduza as despesas do construtor;
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Organizar o tempo:
Mostra, em uma linha do tempo, o começo e o fim de 
cada uma das fases ou atividades da obra; 
A qualquer momento, portanto, é possível verificar 
com rapidez o andamento das frentes de serviço;
Possibilita definir prioridades e concentrar o foco nas 
equipes que mais atrasadas em relação às demais;
O cronograma também ajuda a planejar as compras 
de produtos e materiais de construção, reduzindo 
estoques desnecessários no canteiro.
Cronograma 
Físico-Financeiro
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Cronograma Físico-Financeiro
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Cronograma Físico-Financeiro
Vantagens e desvantagens:
Vantagens Desvantagens
Sua apresentação é simples e de fácil 
assimilação.
A sequencia lógica é mais 
compreendida na rede.
Facilita o entendimento do significado 
da folga.
É difícil perceber como o atraso ou 
adiantamento de uma atividade afeta 
a rede como um todo.
É a base para alocação de recursos.
É ótima ferramenta de 
monitoramento e controle,
mostrando o progresso das 
atividades.
Não elimina o recálculo da rede para 
atualização do programa
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Cronograma Físico-Financeiro
Marcos
São pontos notáveis que se destacam em um 
cronograma. 
Um marco é um instante particular que define o 
início ou final de uma etapa do projeto, ou o 
cumprimento de algum requisito contratual.
Os marcos são pontos de controle. 
 Não têm duração, pois não constituem atividade.
 Representá-los no cronograma ajuda a rápida 
visualização da data em que o projeto alcança esses 
instantes.
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Curva “S”
A curva “S”, que é sempre crescente, mostra como 
o total acumulado de um recurso se constrói ao 
longo do tempo. 
Pode ser calculada em recurso utilizado por unidade de 
tempo ou em custo por unidade de tempo, se o recurso 
for expresso por sua tarifa horária ou mensal.
Para o planejador e para o gerente do projeto, é 
necessário balizar o avanço da obra ao longo do tempo.
 Como fica impraticável somar o andamento das atividades em 
termos de seus quantitativos (pois não é possível somar m² de 
alvenaria com m³ de concreto), deve-se recorrer a um parâmetro 
que permita colocar o avanço das atividades em um mesmo 
referencial, por ex., trabalho (homem-hora) ou custo (dinheiro).
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Histograma de recursos
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Histograma de recursos
FOLGA
Tarefa realizada emum dia gastando 
duas unidades do recurso.
Tarefa realizada em 
dois dias gastando 
seis unidades do 
recurso (três no 
primeiro dia e três 
no segundo).
CAMINHO 
CRÍTICO
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Curva-Banana de recursos
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Curva-Banana de recursos
A interpretação do gráfico mostra que o programa 
mais cedo acarreta uma alocação mais intensa de 
recursos nos primeiros dias, um investimento inicial 
maior. 
Portanto manter as folgas intactas como medida de 
segurança requer um custo inicial grande.
O programa de início mais tarde permite um 
investimento inicial reduzido, porém com um 
aumento considerável nas épocas finais do projeto e, 
como contrapartida, a eliminação de todas as folgas e, 
consequentemente, o risco de atraso, uma vez que 
todas as atividades se transformaram em 
atividades críticas.
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Curva-Banana de recursos
A interpretação do gráfico mostra que o programa 
mais cedo acarreta uma alocação mais intensa de 
recursos nos primeiros dias, um investimento inicial 
maior. 
Portanto manter as folgas intactas como medida de 
segurança requer um custo inicial grande.
O programa de início mais tarde permite um 
investimento inicial reduzido, porém com um 
aumento considerável nas épocas finais do projeto e, 
como contrapartida, a eliminação de todas as folgas e, 
consequentemente, o risco de atraso, uma vez que 
todas as atividades se transformaram em 
atividades críticas.
Como o cronograma mais cedo e 
mais tarde são extremos de 
ocorrência das atividades, muitas 
combinações são possíveis de 
histogramas de recursos, bastando 
deslizar as atividades dentro do 
limite permitido de suas folgas.
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Curva “S”
A evolução de um projeto, particularmente na construção 
civil, não se desenvolve de modo linear no que tange à 
aplicação dos recursos. 
O comportamento á geralmente lento-rápido-lento.
O nível de atividade de um projeto típico assemelha-se a 
uma distribuição normal, ou seja, uma curva de Gauss: 
O trabalho executado geralmente começa em ritmo lento, com 
poucas atividades simultâneas, passa progressivamente a um 
ritmo mais intenso, com várias atividades ocorrendo 
paralelamente e, quando o projeto se aproxima do fim, a 
quantidade de trabalho começa a decrescer. 
Esse mesmo aspecto lento-rápido-lento é verificado com o 
custo ao longo do andamento da obra.
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Curva “S”
Curva de Gauss genérica:
Se o trabalho acumulado ou o custo acumulado for 
plotado em um gráfico em função do tempo, a curva 
apresentará a forma aproximada de uma letra “S”. Daí 
o nome curva “S”.
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Curva “S” de trabalho
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Curva “S” de trabalho
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Curva “S” de custos
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Curva “S” de custos
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Benefícios da Curva “S”
É uma curva única que mostra o desenvolvimento do 
projeto do começo ao fim;
É aplicável de projetos simples e pequenos a 
empreendimentos complexos e extensos;
Permite visualizar o parâmetro acumulado (trabalho 
ou custo) em qualquer época do projeto;
É uma ótima ferramenta de controle previsto x 
realizado;
É de fácil leitura e permite apresentação rápida da 
evolução do projeto;
Serve para decisões gerenciais sobre desembolsos e 
fluxo de caixa.