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IPUC – Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Laboratório de Sistemas de Micro-ondas e Ópticos Aula 07 – página 1 AAUULLAA 0077 Carta de Smith e seu uso no cálculo de impedâncias 1. RESUMO TEÓRICO: Um dos recursos gráficos para cálculos de linhas de transmissão mais utilizado é o que foi idealizado por P.H. Smith em 1939. O método se baseia numa carta de impedâncias denominada Carta de Smith que consiste em lugares geométricos de valores de resistência constante e de reatância constante traçados num diagrama polar. A Carta de Smith permite que se ache, de maneira simples, como as impedâncias são transformadas ao longo de uma linha de transmissão e como relacionar a impedância com o coeficiente de reflexão, com a razão de onda estacionária ou com as posições onde ocorrem os máximos e os mínimos de onda estacionária. Combinando-se as operações, a carta permite determinar os pontos de casamento de impedância, e dimensionar o elemento reativo que o permitirá. Para explicar como usar a Carta de Smith vamos apresentar como ela foi projetada, a partir da equação da transformação de impedâncias ao longo da linha de transmissão. (1) ( ) ( ) ( ) ljL lj L C LC CL CZ e eZ zjZZ zjZZZZ ⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅− ⋅Γ− ⋅Γ+ ⋅= ⋅+ ⋅+ ⋅= β β β β 2 2 1 1 tan tan onde: zl −= Utiliza-se a variável auxiliar: (2) jvuew ljL +=⋅Γ= ⋅⋅⋅− β2 O valor da impedância ao longo da linha de transmissão é normalizado pelo valor da impedância característica dela, de forma a tornar a expressão válida para qualquer valor de impedância característica. (3) ( ) ( ) ( )jvu jvu w wjxr Z Z C Z +− ++ = − + =+= 1 1 1 1 onde: r = parte real da impedância normalizada x= parte imaginária da impedância normalizada Esta equação pode ser separada em partes real e imaginária: (4) ( ) ( ) 22 22 1 1 vu vu r +− +− = e ( ) 221 2 vu v x +− = (5) Ou, escrevendo de outra forma: (6) ( )2 2 2 1 1 1 r v r r u + =+ + − e ( ) 2 2 2 111 xx vu = −+− (7) A última forma nos mostra duas equações de famílias de círculos para r=constante e x=constante. IPUC – Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Laboratório de Sistemas de Micro-ondas e Ópticos Aula 07 – página 2 Se construirmos o gráfico dos lugares geométricos dos valores de resistência constante (r = constante) no plano complexo w (com u e v servindo de coordenadas retangulares) veremos que eles são círculos com centros no eixo u em [ r/(1+r), 0 ] e com raios [ 1/(1+r) ]. Veja a figura 1. Figura 1 – Círculos de resistência (r) Se construirmos o gráfico dos lugares geométricos dos valores de reatância constante (x = constante) no plano complexo w (com u e v servindo de coordenadas retangulares) veremos que eles são círculos com centros em [ 1, 1/x ] e com raios [ 1/|x| ]. Veja a figura 2. Figura 2 – Linhas de reatância (x) Em um ponto qualquer em uma linha de transmissão, numa dada condição de trabalho, a impedância terá um valor com parte real (resistência) positiva entre 0 e +∞ , e parte imaginária (reatância) indutiva ou capacitiva entre -∞ e +∞. O interior da Carta de Smith permite indicar qualquer destes valores, bastando procurar o ponto que é a interseção entre a curva do valor de r desejado e a curva do valor de x desejado. IPUC – Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Laboratório de Sistemas de Micro-ondas e Ópticos Aula 07 – página 3 2. UTILIZANDO A CARTA DE SMITH Quando utilizamos a Carta de Smith, podemos ter, primariamente, dois objetivos distintos: a) tendo o valor da impedância de carga (normalizada), projetar o comportamento do circuito, avaliando os valores de impedância que ocorrem ao longo da LT e demais parâmetros; b) tendo o comportamento de uma determinada LT, determinar o valor da impedância de carga. No primeiro caso, determina-se o valor da impedância de carga normalizada (ZL/ZC), separando as partes Real e Imaginária. Com estes valores marcamos um ponto na Carta de Smith. Traça-se uma reta com origem no centro da carta e que passa pelo ponto marcado até atingir a borda da carta. Esta reta define o que chamamos de Plano de Carga. Medindo-se com uma régua o tamanho do trecho de reta que vai do ponto central da carta até o ponto de impedância marcado e dividindo-se este valor pelo tamanho total da reta desenhada (que é o raio do círculo maior da carta), é obtido o módulo do coeficiente de reflexão. O ângulo do coeficiente de reflexão é obtido diretamente na borda da carta e é medido no sentido anti- horário iniciando no ponto de r=∞, até o ponto de interseção com a reta desenhada. Com um compasso, traça-se um círculo com centro no ponto central da carta e com um raio de tal forma que ele passe pelo ponto de impedância marcado. Este círculo é, então, o lugar geométrico de todos os valores de impedância que apresentam o mesmo valor para o módulo do coeficiente de reflexão, pois tem sempre a mesma relação de tamanho de segmentos de reta citado anteriormente. Veja a figura 3. Figura 3 – Diagrama polar para impressão complexa dos coeficientes de reflexão Em uma linha de transmissão sem perdas (ou com perdas desprezíveis), o coeficiente de reflexão terá o mesmo módulo quando medido em qualquer ponto desta LT, somente variando sua fase. Então, o círculo traçado anteriormente é também o lugar geométrico de todos os valores de impedância que irão ocorrer naquela LT terminada com aquela carga específica. Pode ser observado que, à medida que deslocamos ao longo do círculo, estamos variando os valores das partes Real e Imaginária da impedância, ou seja, em cada ponto da LT temos um valor diferente para r e x. Após darmos uma volta inteira sobre o círculo traçado, temos novamente o mesmo valor de impedância. Veja a figura 4. IPUC – Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Laboratório de Sistemas de Micro-ondas e Ópticos Aula 07 – página 4 Observando a fórmula da impedância ao longo de uma LT, para que a impedância repita o seu valor é necessário que a tangente do arco l.β repita o valor anterior, ou seja: ( ) ( )12 tantan ll ⋅=⋅ ββ ou piββ ⋅=⋅−⋅ nll 12 ou 212 λ⋅=− nll Ou seja, cada volta inteira sobre o círculo traçado na Carta de Smith corresponde a uma distância percorrida na LT igual a ½ comprimento de onda. A borda da carta é então graduada em milésimos de comprimento de onda, de 0.000 a 0.499. Um outro fator importante de se definir é o sentido de giro na Carta de Smith. Girando-se no sentido horário equivale a "andar" na LT em direção ao Gerador. Girando-se no sentido anti-horário, estaremos percorrendo a LT em direção à Carga. É óbvio que, se estamos em cima da carga só é permitido girar em direção ao gerador, e vice-versa. Pode ser observado que, exceto de distâncias exatas de ½ comprimento de onda, ao se girar distâncias iguais num sentido e em outro, são obtidos valores diferentes de impedâncias. Se calcularmos o ponto onde ocorre um máximo de onda estacionária ao longo da LT, e com aquela posição calcularmos o valor da impedância naquele ponto, encontraremos um valor de impedância que é Real puro, ou seja, o valor da reatância é nulo. O mesmo ocorre para o ponto de mínimo de onda estacionária. Estes pontos são, então, os valores máximo e mínimo de impedância ao longo da LT. Como são pontos onde a parte imaginária é nula, estarão no eixo de x=0. Observando onde o círculo traçado anteriormente corta este eixo, temos os valores de impedância máxima e de impedância mínima ao longo da LT e podemos determinar a qual distância da carga eles ocorrem. Deve ser notado que estes são os dois únicos valores de impedância que ocorrem ao longo da LT que são reais puros. Os valores de impedância nos pontos de máximo e de mínimo são dados por: ROEZZZ C L L CMÁX ⋅=Γ− Γ+ ⋅= 1 1 e ROE ZZZ C L L CMÍN =Γ+ Γ− ⋅= 1 1 ou ROEZ MÁX = e ROE ZMÍN 1 = Então, o valor da impedância máxima ao longo da LT, além de ser um número real puro, tem o seu valor normalizado igual ao valor do ROE na LT. Desta forma, na Carta de Smith o valor do ROE é obtido lendo- se o valor do círculo de r=constante que passa pelo ponto de interseção do circulo traçado com a reta x=0, no lado que este possui o maior valor. Obtém-se, assim, graficamente e de maneira bastante simples, os seguintes valores: - o módulo do coeficiente de reflexão; - o ângulo do coeficiente de reflexão; - o R.O.E.; - os pontos onde ocorrem o máximo e o mínimo de onda estacionária na LT; - as impedâncias máxima e mínima ao longo da LT; - todos os valores possíveis de impedância que ocorreram ao longo da LT. IPUC – Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Laboratório de Sistemas de Micro-ondas e Ópticos Aula 07 – página 5 3. EXEMPLO Uma LT com 5,2cm de comprimento, que utiliza um cabo coaxial com dielétrico de ar e tem 100Ω de impedância característica, está operando numa freqüência de 750MHz e é interligada a uma impedância de carga ZL=(30+j50)ΩΩΩΩ. Considerando que as perdas são desprezíveis e que a velocidade de propagação da onda no cabo é aproximadamente igual à velocidade da luz, determinar: - o coeficiente de reflexão; - o ROE; - o valor da impedância vista a uma distância de 2,0cm da carga; - o valor da admitância neste mesmo ponto; - o valor da impedância vista na entrada da LT; - o valor da admitância neste mesmo ponto. Nas condições apresentadas, o comprimento de onda é de 0,40 cm. Podemos então converter: 2 cm = 0,05λ e 5,2 cm = 0,130λ A impedância de carga normalizada é dada por: (30 + j 50) / 100 = 0,3 + j0,5 Para demais respostas, ver a figura 5. IPUC – Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Laboratório de Sistemas de Micro-ondas e Ópticos Aula 07 – página 6 Figura 4 – Carta de Smith IPUC – Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação Laboratório de Sistemas de Micro-ondas e Ópticos Aula 07 – página 7 Figura 5 – Resposta do exercício proposto Texto por: Luciano A. Bossi – abril/2003 Editado por: Elias Patrick Júnior
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