anexo I

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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
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1
VANTAGENS E DESVANTAGENS DO CONCRETO PROTENDIDO 
PRINCÍPIOS 
 FLEXÃO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 
x
y
L N
 x
s
s
c
sA
1 2
4 3ey
 0,8x
deformações tensão no concretoseção transversal
0,85 fcd cd0,80 f
0,85 fcd
dA
yi
As,i
ci ci
resultantes
Fc
tF
z dM
sdM /(z.f )sA =F =t M /zdztFdM =
deformação da 
ci
0,80 fcd
tensão no concretoesforços
0,8x 
c
s
x
Fc
tF
zdM
x L
x L
seção transversal
 
Figura 1-Situação de equilíbrio da seção transversal no ELU de flexão CA 
y
L N
 x
s
c
pA
1 2
4 3ey
 0,8x
deformações 
no concreto
seção transversal
cd0,80 f
0,85 fcd
dA
yi
As,i
ci
resultantes
Fc
tF
z dM
M =d Ft z dM /ztF = A =p M /(z.f )d p
s
tensão 
na seção
c
na seção 
deformações 
na protensão
-+
+-+
p
na protensão
deformação
na armadura
pf =f( + )p s
spf =f( + )p
da seção
deformação
na protensão
p
- +
+ -
na protensão
deformações 
na seção 
c
na seção
tensão 
pdM /(z.f )pA =F =t M /zdztFdM =
resultantes
ci
0,80 fcd
no concreto
deformações 
0,8x 
c
s
x
Fc
tF
z
pM
xL
xL
xL
xL
pN
p
+
 
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2
Figura 2-Situação de equilíbrio da seção transversal no ELU de flexão CP 
 
CA ⇒ ONDE HOUVER TRAÇÃO QUE EU LEVE A ARMADURA 
CP ⇒ ONDE HOUVER TRAÇÃO QUE EU LEVE A COMPRESSÃO 
(PROTENSÃO) 
• MAIOR TENSÃO NO AÇO DE PROTENSÃO 
Diagrama tensão Deformação
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Deformação por mil
Te
ns
ão
 e
m
 M
Pa CA50
CP190
descarga
protensão
 
Figura 3-Diagrama de tensões nos aços CA50 e CP 190 
 
A protensão permite o uso de aços de grande resistência plenamente. Na figura 3 
vêm-se os diagramas de tensão característica dos aços CA50 e CP190. O aço CP190 
alcança na ruptura (convencional) pois é o valor de tensão com deformação permanente 
na descarga de 0,35% uma tensão de 1900 MPa (ou 190 kgf/mm2) e o limite de 
escoamento está em torno de 1680 MPa. A tensão de escoamento do aço CA50 é de 500 
MPa (lembrar que todos os valores aqui citados são os característicos). Assim se for 
comparada as tensões de escoamento dos dois tem-se 
n= (1680/500)= 3,36. 
Porem o que vale mesmo é comparar o que ocorre em relação as armaduras no 
colapso. No colapso o aço CA50 usado em peças de concreto armado pode chegar até o 
valor de deformação específica de 1% (dez por mil) pois acima desta deformação não há 
a possibilidade de se garantir a aderência e a tensão de cálculo é de fsd= fyk/1,15=435 
MPa. 
No caso do aço de protensão antes de haver a aderência o aço será protendido a 
uma tensão de cerca de 0,8 a de escoamento σpi=0,8×1680= 1344 MPa (ver na figura 3 
a linha azul). Imaginando uma perda de protensão total (imediata e ao longo tempo 
somadas) de 30% σpi∞=0,7×1344=940,8 MPa. Imaginando agora que na seção, para 
que se chegue ao equilíbrio da flexão seja necessária (na altura da armadura) de uma 
deformação de 1% (como no CA50) a tensão chega primeiro a de escoamento (já 
dividida por 1,15 em cerca de 1400 MPa) e depois a praticamente a 1500 MPa e 
portanto 
 n= (1500/435)= 3,45. 
Verifique que a grande vantagem do aço de protensão sobre o aço comum se dá 
no fato em se ter uma deformação total εt dada pela soma de duas parcelas εp – 
deformação de pré-alongamento descontada das perdas (desconsiderando aqui a 
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ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
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3
deformação devido a descompressão na seção) e o valor de εs desenvolvido para a seção 
entrar em equilíbrio. 
⇒ Em uma mesma situação (mesma seção, mesmo momento, resistência de concreto) 
uma peça em protendido deve ter no ELU uma área armadura de protensão de cerca 1/3 
da correspondente em concreto armado 
 
Diagrama tensão Deformação
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 5,25 10,5 15,75 21
Deformação por mil
Te
ns
ão
 e
m
 M
P
a CA50
CP190
descarga
protensão
CP250
 
Figura 4-Diagrama de tensões nos aços CA50 e CP 190 e em um “novo” CP250 
 O fato de se ter um pré-alongamento que pode depois de ser feita a aderência 
com o concreto adicionado de 1% permite até em se pensar em criar aços mais 
resistentes (se isso for possível). Considere na figura 4 a “curva” do aço CP250. 
Bastaria, para se ter o uso do mesmo provocar um pré-alongamento de cerca de 
0,55%.Verifique que ainda neste caso seria possível acrescentar 1% e somente neste 
caso chegaria-se próximo a tensão de ruptura. No concreto armado este aço não poderia 
ser usado pois não há o pré-alongamento e a deformação para se chegar a um valor 
próximo do colapso ultrapassaria a 1%. 
 
 
⇒ Aços de grande resistência só podem ser bem aproveitados em um sistema 
protendido. 
 
• Possibilidade de uso de menor altura para um mesmo momento 
Sendo os 
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4
 
 
Cálculo do máximo momento resistente da seção em concreto armado 
 
 No caso anterior, conhecia-se Md e calculava-se As. Seja agora um problema 
diferente: conhecidas as dimensões da seção transversal (bw e d), o tipo de aço (fyd e εyd) 
e a resistência do concreto (fck), em qual domínio se consegue o maior momento 
resistente, ou seja, qual o maior momento que a seção dada consegue resistir? 
 O problema pode ser resolvido derivando a expressão 3.7 em relação à altura da 
linha neutra (x) e igualando-a a zero; dessa forma, encontra-se o ponto extremo da 
função: 
 ( ) cdw2d fbx272,0dx68,0M ⋅⋅⋅−⋅⋅= 
 
( ) 0fbx54,0d68,0
dx
)M(d
cdw
d =⋅⋅⋅−⋅= ⇒ d25,1x ⋅= 
 
 O resultado x = 1,25⋅d (linha neutra fora da seção) não é solução, pois para 
haver flexão simples é necessária a existência de resultantes normais de compressão 
(concreto) e tração (aço) que se anulem (equilíbrio); isso só é possível nos domínios 2, 3 
e 4, em que a linha neutra corta a seção (0 ≤ x ≤ d). Assim, a função deve ter o valor 
máximo em um dos limites (extremos) de seu campo de validade: x = 0 (início domínio 
2) ou x = d (final domínio 4): 
 
1o limite: x = 0 na equação 3.7 ⇒ Md = 0 ⇒ ponto de mínimo da função; 
2o limite: x = d na equação 3.4 ⇒ ( ) cdw2cdw22d fbd408,0fbd272,0d68,0M ⋅⋅=⋅⋅⋅−⋅= 
 
 
 Dessa forma, x = d indica que a seção deverá estar trabalhando no fim do 
domínio 4 de modo a resistir ao maior momento a que poderá estar submetida (o 
momento resistente é máximo); nesse ponto εs = 0 e, portanto, fs = 0, levando a: 
 
∞=⋅
⋅⋅⋅=⋅= 0z
fbd408,0
fz
M
A cdw
2
s
d
s ⇒ impossível (pois a tensão na armadura fs=0) 
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5
 
 Para obter o máximo momento, deve-se, portanto, utilizar algum ponto do 
domínio 4, mas, nesse caso, o aço não vai trabalhar com toda a sua resistência,pois 
εs < εyd (fs < fyd), acarretando consumo excessivo de aço e perigo de ruptura abrupta. 
O correto é utilizar o limite entre os domínios 3 e 4 como o que conduz ao maior 
momento resistente da seção, com melhor aproveitamento dos materiais. 
 
 
Cálculo do máximo momento resistente da seção em concreto protendido 
 Aproveitando já o raciocínio anterior chega-se a: 
Kfbd
fz
MA
p
cdw
p
d
p =⋅
⋅⋅⋅=⋅= fz
408,0 2
k 
neste caso como há fp pois apesar de εs=0 
 há o valor de εp 0≠ e portanto fp 0≠ 
 
⇒ Para um dado momento a altura mínima exigida em uma seção protendida é 
menor que a exigida para uma similar em concreto armado. 
• Efeito da protensão na deformação 
 A protensão se faz sentir de varias maneiras. Na flexão o efeito de um 
cabo curvo (figura 5b) em um elemento bi-apoiado é como considerar apenas as 
componentes verticais, como mostra a figura 5c (as componentes horizontais se 
anulam). Assim, o efeito da protensão, como se vê na figura 5e é exatamente o oposto 
do causado pelas ações de carga permanente e acidental (g+q) apresentado em 5d. 
Controlando-se a protensão é possível obter-se como efeito final uma leve curvatura 
para “cima” como se vê em 5f melhorando o estado de deformação da estrutura. 
. 
P P a) b) c)
P
e
PP
R
L
2
g+q
d)
p p-(g+q)
e) f)P P P P
 
FIGURA 5. Efeito da protensão em elementos fletidos. 
 
 Efeito similar ao da curvatura em sentido inverso aos dos carregamentos 
usais da estrutura está no aumento do valor do momento de fissuração da seção 
transversal quando se usa protensão Como já visto no capítulo 4 do volume 1 (pode-se 
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6
encontrar também no anexo I) o momento de fissuração de uma seção de concreto 
armado é dado por : 
t
ct
r y
If
M
⋅⋅= α 
Com 
 Mr – momento de fissuração 
 α - fator que depende só da forma da seção 
 fxt – resistência à tração do concreto 
 I – inércia da seção bruta 
 y – distância do cg a borda tracionada 
Para as seções com protensão é preciso considerar os efeitos do próprio momento fletor 
e da ação da normal de protensão e a expressão fica dada por: 
t
p
ctpr y
I
A
N
fMM ×


 +×+= α 
Com 
 Mp – momento de protensão normalmente a força de protensão (Np) vezes a 
excentricidade e (distância do cabo ao cg da seção). 
 A – área da seção transversal 
Como pode ser visto no caso da protensão o valor do momento de fissuração é maior 
que no caso de concreto armado assim a inércia da peça em muitas situações de serviço 
podem ser consideradas com a inércia total pois não estão fissuradas melhorando 
bastante o estado de deformação pois a inércia de seções fissuradas podem ser 1/3 
menores que a inércia seções não fissuradas. 
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ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
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7
de flexão
c) fissuras típicasd) fissuras típicas
de cisalhamento e flexãode cisalhamento
c) fissuras típicas
d
b)viga de concreto armado próxima ao colapso com as fissuras que ocorrem
p
p
b)viga de concreto protendido próxima ao colapso com as fissuras que ocorrem
d
 
FIGURA 6. Vigas de concreto armado e protendido com as fissuras que ocorrem 
próximas ao colapso. 
 
⇒ De uma maneira geral as peças protendidas podem ser executadas com alturas 
menores quando a situação determinante é de deformação. 
 
• Efeito da protensão nos esforços de cisalhamento 
A protensão melhora o comportamento das seções quanto ao cisalhamento. 
eP
B A
Detalhe 1
Pilar
Laje
Cabo Detalhe 1
B
P
P
V =P sen P
PN = P cos
 
FIGURA 7 Seção transversal da ligação laje-pilar em um sistema de lajes sem 
vigas protendida. No detalhe percebe-se que a componente vertical da protensão, 
em geral, diminui o valor do esforço cortante próximo a face do pilar. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
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8
 Para exemplificar considere aeção transversal da ligação laje-pilar em um 
sistema de lajes sem vigas protendida. Os cabos de protensão são detalhados próximos 
aos pilares de maneira que tenham um trecho inclinado como pode ser visto na figura 7. 
Assim, ao se analisar uma seção próxima ao pilar verifica-se a existencia de um cortante 
de protensão dado por: 
 Vp= P×senα 
Com P o esforço de protensão na seção. Este cortante de protensão diminui o valor do 
cortante existente na seção, melhorando assim a resistência à punção na região. 
 Verifica-se ainda, nesta situação, que há outra parcela de protensão alem da do 
cortante: a parcela do normal de protensão dada por 
 Np= P×cosα 
 Esta parcela aumenta o valor da compressão axial na região melhorando o 
desempenho do concreto na punção. 
O mesmo raciocínio pode ser usado para vigas comuns. 
⇒ De uma maneira geral as peças protendidas podem ser executadas com menor 
armadura transversal ou espessuras inferiores que as peças de concreto armado. 
 
 
• ECONOMIA 
A questão de economia está ligada a um menor preço final. Assim, para se fazer 
um julgamento deste aspecto é preciso, inicialmente, considerar as condições de 
comparação e o preço final, ou seja do elemento concluído. 
Imaginando situações análogas para duas estruturas: uma de concreto armado e 
outra de concreto protendido trabalhando predominantemente à flexão. 
 Para entender a economia das estruturas em concreto protendido pode-se 
usar um estudo do custo do aço estrutural, imaginando ser esta a única variável, ou pelo 
menos a mais expressiva. Neste estudo compara-se os aços CA25,CA50, CA60, CP170 
e CP175 (os três primeiros usados em peças de concreto armado e os dois últimos em 
peças de concreto protendido). Imaginando apenas o custo do aço sendo dado por quilo 
de matéria prima chega-se ao gráfico apresentado na figura 1, que poderia levar à 
conclusão enganosa que o aço que tem preço menor por quilo é o que conduz a solução 
mais barata 
 
 
Custo (em R$) do kgf do aço 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1Categoria dos aços
Va
lo
r d
o 
kg
 e
m
 
R
$
CA25
CA50
CA60
CP175
CP190
 
Figura 8- Gráfico com custos das diversas categorias do aço 
 
. O melhor é analisar o custo da força desenvolvida por cada um. Assim, 1 kg de 
CA25 será capaz de desenvolver uma força proporcional a sua tensão de escoamento 
(no caso 1,25x25=31.25 kN). Ao dividir o custo do kN do aço pela tensão (proporcional 
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ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
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9
à força) chega-se ao preço necessário para desenvolver a força em questão ou a tensão 
(são proporcionas). 
O gráfico da figura 2 apresenta esta situação mostrando que na verdade os aços 
de maiores tensões limites são os mais econômicos (os de menor custo por força 
desenvolvida). Isto representa em outras palavras que para resistir um mesmo esforço de 
flexão em uma seção transversal no caso de concreto protendido se terá um custo 
menor. 
 
Custo em R$ por tensão (em tf/cm2) 
desenvolvida
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0 50 100 150 200
Série1
 
figura 9 Custo da tensão desenvolvida pela armadura 
 
As estruturas de concreto protendido, em diversas situações são mais 
econômicas que as executadascom outros materiais porque alem de apresentarem um 
custo menor por força desenvolvida apresentam outras vantagens que ajudam no custo 
final. É preciso entender também que há aspectos específicos do processo que podem 
induzir Em relação as estruturas de madeira e de aço apresentam sempre a vantagem de 
necessitarem, usualmente, manutenção mais simples e mais barata. 
 
⇒ Pode-se dizer que em diversas situações, principalmente em peças fletidas, o concreto 
protendido apresentam custo mais baixo que estruturas similares 
 
• Detalhamento de armadura longitudinal 
Sejam uma seção de ponte calcula para ser executada em concreto armado e protendido. 
 
EXEMPLO 1 
 Calcular a armadura necessária para a seção da figura 10 supondo que o 
momento é dado por Md = 10000 kN.m, Considerar aço CP-175 , fck = 26 MPa e = 
∞=tp,σ =1365 Mpa. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
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10
 
FIGURA 10- Geometria da seção transversal do exemplo 1 
 
 
a) Supondo a linha neutra na mesa: seção retangular 
103,0
1,4
260001,757,1
10000
2
2 =××
=⋅⋅= cdw
d
fdb
M
KMD 
KMD = 0,103 → tabela 6.2 (interpolando) → KX = 0,162 
m0,23=1,75,16208,0d)KX(8,0x8,0y ××=⋅⋅=⋅= > hf = 0,20 m 
Portanto a hipótese inicial não é válida, pois a linha neutra está fora da mesa, 
tratando-se de seção “T”. Inicialmente deve-se verificar se toda a largura bf = 170 cm 
pode ser considerada como colaborante, e em seguida determinar a parcela do momento 
resistido pelas abas e pela alma da seção (figura 11) e a armadura total necessária. 
 
b) Determinação da largura colaborante bf (NB1/2002) 
3af b2bb ⋅+≤ (a viga é isolada – não há b2) 
21wa eebb ++= (a viga não tem mísulas – não há e1 nem e2) → cm18bb wa == 
b3= ),.(8080010,010,010,0 ll ==×=⋅=⋅ aapoiadasimplvigacma → cm80b3 = 
cm17880218b2bb 3wf ≤×+≤⋅+≤ 
Como a largura total da mesa é 170 cm < 178 cm → bf = 170 cm 
 
FIGURA 11. Momento resistido pelas abas e pela alma de uma viga “T” 
 
c) Momento resistido pelas abas (M1) 
 
( ) 


 −⋅−⋅⋅⋅=


 −⋅=
2
85,0
211
f
wffcd
f
c
h
dbbhf
h
dFM 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
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11
1,7918
2
2,075,1)18,070,1(20,0
4,1
2600085,01 =

 −×−×××=M kN.m 
d) Momento resistido pela alma (M2) M2 = Md - M1 = 10000 – 7918,1 = 2081,9 kN.m 
TABELA 1 - TENSÃO NO AÇO σsd (MPa) 
ε(%o) 5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5 
CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397 
CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517 
ε(%o) 20,00 22,50 25,00 27,5 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00 
CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 14,74 1484 
CP190 1527 1538 15,48 1559 1569 1579 1590 1600 1611 
e) Cálculo de As (M1 + M2) Para o pré-alongamento com ∞=tp,σ =1365 Mpa e da tabela 
1 tem-se εp =0,9% 
pd
pd
f
s fdKZ
M
f
h
d
M
A ⋅⋅+⋅


 −
=
)(
2
21 2033,0
4,1
260001,750,18
2081,9=KMD
2
=
××
 
TABELA 2. Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares 
KMD KX KZ EC ES KMD KX KZ EC ES 
0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,0000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814 
0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,0000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 
0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,0000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255 
0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,0000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 
0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,0000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170 
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,0000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 
0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,0000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496 
0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,0000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297 
0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,0000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181 
0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,0000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144 
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,0000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181 
0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,0000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287 
0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,0000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 
0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,0000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691 
0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,0000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981 
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,0000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324 
0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,0000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719 
0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,0000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162 
0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,0000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649 
0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,0000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179 
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,0000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748 
0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,0000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355 
0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,0000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997 
0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,0000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672 
0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,0000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100 
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,0000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652 
0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283 
0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983 
0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732 
0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506 
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 
0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 
0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 
0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 
0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
12
Pela tabela.2 (interpolando): 
KMD KZ εC εS 
0,2033 0,8610 3,5‰ 6,6‰ 
 
εs =6,6‰ tem-se εt = 6,6 +9,0‰ =15,65 ‰ na tabela 6.1→ fpd = 1390 MPa 
 
98,95,34
1391,75861,0
9,2081
139
2
20,075,1
1,7918 +=××+×

 −
=sA → As=44,5 cm2, usando 
cabos de 6φ ½” (Ap,1cabo=5,6 cm2) chega-se a n=44,5/5,6= 8 cabos 
 
 
EXEMPLO 2 Calcular a armadura necessária para a seção do anterior 1 supondo 
Md = 10.000 kNm, com aço CA-50A e fck = 26 MPa. 
 
a) Supondo a linha neutra na mesa: seção retangular 
103,0
1,4
26.0001,757,1
000.10
2
2 =××
=⋅⋅= cdw
d
fdb
M
KMD 
KMD = 0,103 → tabela 3.2 (interpolando) → KX = 0,162 
m0,2835=1,75,1620d)KX(x ×=⋅= > hf = 0,20 m 
Portanto a hipótese inicial não é válida, pois a linha neutra está fora da mesa, 
tratando-se de seção “T”. Inicialmente deve-se verificar se toda a largura bf = 170 cm 
pode ser considerada como colaborante, e em seguida determinar a parcela do momento 
resistido pelas abas e pela alma da seção (figura 12) e a armadura total necessária. 
 
b) Determinação da largura colaborante hf 
3wf b2bb ⋅+≤ 
bw = 18 cm 
cm8080010,010,0a10,0b3 =×=⋅=⋅= l (viga simplesmente apoiada, a = l) 
cm17880218b2bb 3wf ≤×+≤⋅+≤ 
Como a largura total da mesa é 170 cm < 178 cm → bf = 170 cm 
 
FIGURA 12. Momento resistido pelas abas e pela alma de uma viga “T” 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
13
c) Momento resistido pelas abas (M1) 
 
( ) 

 −⋅−⋅⋅⋅=

 −⋅

 −⋅⋅⋅⋅=

 −⋅=
2
h
dbbhf85,0
2
h
d
2
bb
2hf85,0
2
h
dFMfwffcd
fwf
fcd
f
1c1
 
kNm 10,918.7
2
2,075,1)18,070,1(20,0
4,1
000.2685,01 =

 −×−×××=M 
 
d) Momento resistido pela alma (M2) 
M2 = Md - M1 = 10.000 – 7.918,10 = 2.081,90 kNm 
e) Cálculo de As (M1 + M2) 
s
2
s
f
1
s fd)KZ(
M
f
2
h
d
MA ⋅⋅+⋅

 −
= 
2033,0
4,1
000.261,750,18
2.081,9=KMD
2
=
××
 
Pela tabela 3.2 (interpolando): 
KMD KZ εC εS 
0,2033 0,8610 3,5‰ 6,6‰ 
εs =6,6‰ > εyd = 2,07‰ → fs = fyd = 50 kN/cm2 
78,3137,110
1,15
501,75861,0
9,081.2
15,1
50
2
20,075,1
1,918.7 +=
××
+
×

 −
=sA → As = 142,15 cm2 
usando φ=25 mm As,1 barra= 5,05 cm2 e assim é preciso usar 28 barras 
 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
14
C8C6 C7C5
C1 C3C2 C4
12
9 912
12
12
175
18
170
20 20
170
18
175
12
9
 
FIGURA 13. Seções transversais de uma viga “T” em concreto armado e 
protendido 
 
⇒ Estruturas em concreto protendido podem ser concretadas com mais facilidade 
quando comparadas as de concreto armado 
 
FADIGA 
A fadiga é um fenômeno que faz com que o material atinja o colapso sem chegar 
a sua tensão característica de ruptura sob ações repetidas de baixa intensidade. De 
maneira geral o fenômeno da fadiga é caracterizado por duas variáveis: a amplitude da 
variação da tensão e o número de repetições. 
A fadiga é um fenômeno associado a ações dinâmicas repetidas, que pode ser 
entendido como um processo de modificações progressivas e permanentes da estrutura 
interna de um material submetido a oscilação de tensões decorrentes destas ações. 
Considera-se no mínimo um ciclo de 2 000 000 repetições. De uma maneira geral a 
fadiga depende da amplitude da variação da tensão (em relação à tensão de escoamento) 
e da quantidade de vezes que repete. Para evitá-la é comum aumentar-se a quantidade 
de armadura para diminuir os valores de tensões atuantes. Como a variação de tensão no 
aço de protensão é menor que a da armadura passiva acaba-se em geral não precisando 
usar, pelo menos na flexão armadura adicional na protensão. 
 
⇒ A armadura longitudinal de protensão está menos sujeita à fadiga. 
 
PROTENDIDO UM SISTEMA ESTRUTURAL 
 
Introdução 
As deformações causadas pela protensão em estruturas hiperestáticas não são, 
em geral, compatíveis com os vínculos da estrutura. Desta forma após a protensão ser 
efetuado os vínculos da estrutura, ao impedir a livre deformação da mesma, reagem com 
esforços que são chamados de hiperestáticos de protensão. 
 Para efeito de raciocínio toma-se uma viga contínua com dois tramos, sujeita a 
carga uniformemente distribuída cujo esquema estrutural e de carregamento está 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
15
indicada na figura 14. O diagrama de momento atuante na mesma está representado 
também na figura 14 (b). Uma solução interessante de trajetória de cabo de protensão 
para a viga em questão pode ]ser dada exatamente pela forma do diagrama de momento 
da viga, ou seja, um cabo representante que tem a forma parabólica como a indicada na 
figura 11.1c. 
 
Figura 14 Viga contínua sob carga uniforme e a ação de um cabo parabólico 
 
 
Este provocará um carregamento uniforme para cima como está representado na figura 
14.c que provocará um diagrama de momento com o formato do indicado na figura 14.d 
 Imaginando agora que o apoio central B da viga é retirado tem-se a situação 
mostrada na figura 15 em que se percebe nitidamente o deslocamento vertical ∆B. 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
16
 
Figura 15 Viga da figura 14 sem o apoio central sob o efeito sob da protensão. 
 
 Como na realidade no ponto B existe um apoio surgira, portanto um esforço 
RHB, ou seja uma força concentrada no apoio B devido somente o efeito da protensão. 
O cálculo desta força pode ser feito por meio do processo dos esforços e o princípio dos 
trabalhos virtuais. 
 Na figura 16 mostra-se esquematicamente como o cálculo da reação no apoio B 
pode ser calculada. Considera-se neste apoio uma carga unitária na direção da reação do 
apoio em B. O deslocamento causado por esta carga é dado por : 
 
 
dxMMB
l __2
0
__∫ ⋅=δ 
 Já o deslocamento causado pela protensão é dado por 
 
dxMMB
l
p
__2
0
∫ ⋅=∆ 
 onde pM é o momento devido à protensão (isostático) 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
17
 
Figura 16 Viga da figura 11.1 esquema para o cálculo do hiperestático de 
protensão no apoio B. 
 
Sendo Xb a reação hiperestática a se determinar e que causará uma deformação igual a 
∆B 
pode-se, usando a superposição de efeitos e as duas equações anteriores: 
 
 dxMMXdxMM
l
b
l
p
__2
0
__2
0
__ ∫∫ ⋅=⋅⋅ e portanto ∫
∫
⋅⋅
⋅⋅
= l
l
p
b
dxMM
dxMM
X 2
0
____
2
0
__
 
 
 Notar que a integral do numerado pode ser nula. Quando este caso ocorre diz-se 
que o cabo é concordante e portanto não causa efeito hiperestático. 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
18
 Uma vez determinado o valor de XB resulta neste caso os valores das reações 
nos outros apoios, neste caso, de XA=Xc=XB/2 resultando no diagrama apresentado na 
figura 17 
 
 
 
Figura 17 Esforços e diagrama hiperestático de protensão da viga da figura 11.1 
 
Pelo que foi conceituado pode-se agora apresentar um relação muito importante 
em que em estruturas elásticas lineares (vigas, pórticos etc) em uma seção o momento 
fletor final de protensão é a soma dos momentos fletores hiperestático e isostático ou 
seja: 
 
 Mf =Mi+Mh 
 
Com 
 Mf – Momento final de protensão 
 Mi – Momento isostático de Protensão 
Mh -Momento Hiperestático de Protensão 
 
 Finalmente é preciso ainda dizer nesta introdução ao cálculo dos esforços 
hiperestáticos de protensão que o cabo da viga analisada precisaria ter uma parte curva 
próximo ao apoio central e que foi considerada desprezível as perdas ao longo do 
mesmo e que na seção do apoio central o momento hiperestático de protensão acabou 
tendo sinal contrário ao das cargas atuantes e que não ocorreu para a seção no meio do 
vão. Nos demais itens todos estes aspectos serão comentados mais detalhadamente. 
 
⇒ Dependendo do traçado dos cabos o diagrama de esforços em uma estrutura 
(hiperestática) protendida muda podendo-se dizer que a protensão pode assim ser 
considerada como um sistema estrutural. 
 
 
 
• Estruturas mais leves que as similares em concreto armado (devido ao 
controle da fissuração) 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
19
• Grande durabilidade com pequenos custos de manutenção (o controle da 
fissuração do concreto aumenta a resistência ao ataque de agentes agressivos 
na armadura) 
• Boa resistência ao fogo 
• Adequadas ao uso de pré-moldagem(devidos às características de peso 
menor e controle de fissuração) 
• Controle da propriedade dos materiais aço e concreto. Como o aço e o 
concreto são colocados sob carga durante a protensão (principalmente o aço 
que recebe tensões próximas ao seu escoamento) costuma-se afirmar que a 
estrutura se apresenta com a resistência de seus materiais testada. 
 
• Faz parte de uma tecnologia bastante conhecida nos grandes centros do país 
e basta se Ter uma equipe de montagem de cabos, unidades de protensão e 
execução de protensão para complementar os trabalhos das equipes que 
existem em todo país de confecção de estruturas de concreto. 
 
 
Desvantagens 
 
• De uma maneira geral a armadura de flexão é usada em todo o 
comprimento do elemento 
• Peças submetidas a ações, por exemplo, de flexão com sentidos 
alternados não tem muita vantagem em ser protendidos. 
• Peças com pequena inércia e pouco peso próprio também admitem 
apenas protensão de pouca intensidade. 
• Peças com compressão (pilares e estacas) quase não há vantagem em 
se ter protensão, apenas em casos particulares. 
Exercícios 
Uma concessionária de conservação de estradas pretende instalar centenas de postes de 
concreto com 15 m de altura e com câmeras no seu topo para a filmagem dos veículos. 
Testes feitos com as câmeras mostraram que os postes não poderão se deformar muito 
caso contrário elas não serão capazes de focalizar as placas dos automóveis. Você foi 
contratado para dar um parecer se na solução deve se usar a protensão. Considere que: 
a) O momento M na base do poste para ventos de intensidade usual (não máxima) 
resulta em 13,78 kN.m 
b) O poste tem seção constante de coroa circular de diâmetro externo de 50cm e 
interno de 30 cm e peso por metro de 3,14 kN/m. 
c) O concreto do poste têm resistência à compressão fck = 30 MPa e à tração (na 
flexão) fct -2,02 MPa. 
d) No estqado limite último se o poste for feito de concreto armado será preciso 
armadura mínima e portanto As= 5 cm2. 
e) Se for usada protensão a tensão na armadura de protensão será de 1070 MPa 
(após todas as perdas). 
f) A deformação é proporcional diretamente à inércia. A inércia no estádio (peça 
sem tração) é cerca de 2,5 vezes a inércia da peça com tensão de tração superior 
a resistência do concreto. 
g) A armadura de protensão custa por quilo cerca de 2 vezes a comum. 
Analise se a protensão neste caso seria vantajosa e porque e como seria feita. 
Considerar 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
ANEXO I - ROBERTO CHUST CARVALHO 
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20
Tensão máxima na flexão composta 
s
s W
M
A
N ±=σ 
 
no caso A= área de concreto 0,125 m2 ; N – esforço normal atuando no poste; M –
momento fletor atuando na base do poste; Ws – módulo de resistência da seção neste 
caso W=0,009 m3. 
 
2) O gráfico dado mostra as tensões no aço de protensão e o aço comum. Lembrando 
que no estado limite último a tensão na armadura de protensão é função da soma do pré-
alongamneto εp e o valor do alongamento εs (deformação necessária na seção para haver 
o equilíbrio) enquanto na armadura comum só depende de εs. 
Responda considerando sempre que εp= 0,6% e aço CP190 : 
1) Em uma situação de projeto que para haver equilíbrio na seção no ELU é 
necessário εs=0,2% 
2) Em outra situação de projeto que para haver equilíbrio na seção no ELU é 
necessário εs=1,0% 
 
Diagrama tensão Deformação
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Deformação por mil
Te
ns
ão
 e
m
 M
Pa CA50
CP190
descarga
protensão
 
Figura 3-Diagrama de tensões nos aços CA50 e CP 190 
Pergunta-se: Considerando a relação entre o preço por quilo do aço de protensão com a 
armadura normal de CA50 2,75 haveria economia nos dois caso adotando a solução em 
protendido? Nos dois casos a diferença de custo final é a mesma? É possível a partir do 
gráfico elaborar para estas hipóteses quando é mais benéfico usar CA ou CP?