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TRABALHO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL NOTAS DE AULA DE MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II PROF.: ERIC MATEUS FERNANDES BEZERRA E-MAIL: eric_mateusjes@hotmail.com Mossoró – RN 2016 • Até então, os métodos estudados para determinação dos esforços e deslocamentos das estruturas foram obtidos a partir do equilíbrio das forças e momentos atuantes no corpo; • Ampliada a complexidade das estruturas, no que diz respeito ao carregamento, à geometria e às condições de contorno, é conveniente recorrer a métodos baseados no equilíbrio da energia para determinar a resposta da estrutura ao carregamento externo. Sendo assim, os conceitos de trabalho e energia tornam-se fundamentais no estudo da Mecânica. I N T R O D U Ç Ã O Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • A Mecânica Newtoniana trabalha com grandezas vetoriais: forças, momentos, etc. • A Mecânica Lagrangiana trabalha com grandezas escalares: trabalho e energia. • Os princípios variacionais baseados em trabalho e energia podem ser utilizados para obter as equações de equilíbrio de: ▫ Sistemas discretos = equações algébricas. ▫ Sistemas contínuos = equações diferenciais. I N T R O D U Ç Ã O Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • No caso de sistemas contínuos, os conceitos de trabalho e energia podem ser utilizados para obter soluções aproximadas do problema: ▫ Método de Rayleigh-Ritz. ▫ Método dos Elementos Finitos. • Os métodos numéricos para análise estrutural mais usuais são baseados em métodos de energia. I N T R O D U Ç Ã O Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra TRABALHO EXTERNO • Trabalho de uma força ▫ Uma força realiza trabalho quando provoca no corpo um deslocamento que está na mesma direção dela. FdxdW PW 2 1 0 FdxW Para um comportamento linear geométrico Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra TRABALHO EXTERNO • Trabalho de uma força ▫ Incremento de trabalho drFdW cos drFdW r Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra TRABALHO EXTERNO • Trabalho de uma força ▫ Trabalho ao longo de uma trajetória Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra 2 1 2 1 21 )cos(F dsFdrW TRABALHO EXTERNO • Trabalho de um momento ▫ Um momento realiza trabalho quando causa no corpo um deslocamento rotacional ao longo de sua linha de ação MdθdW MθW 2 1 θ 0 MdθW Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra TRABALHO EXTERNO • Trabalho de um momento ▫ Incremento de trabalho dMdW Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Quando as cargas são aplicadas a um corpo, elas deformam o material. Contanto que nenhuma energia seja perdida sob forma de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação. • Essa energia é armazenada no corpo e provocada pela ação da tensão normal ou da tensão de cisalhamento. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Tensão Normal ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Material linear elástico Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Tensão de Cisalhamento ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Material linear elástico Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Energia de deformação para vários tipos de carregamento ▫ ESFORÇO AXIAL ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Energia de deformação para vários tipos de carregamento ▫ MOMENTO FLETOR ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Energia de deformação para vários tipos de carregamento ▫ MOMENTO DE TORÇÃO ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Energia de deformação para vários tipos de carregamento ▫ ESFORÇO CORTANTE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • A energia de deformação total (U) pode ser dada pela soma da energia desenvolvida por cada tipo de esforço. Sendo assim, a energia de deformação proveniente de todos os esforços internos sendo desenvolvidos simultaneamente pode ser dada por: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO dx GJ T dx GA Vf dx EI M dx EA N U LL S LL 0 2 0 2 0 2 0 2 2222 Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Estando a estrutura no seu regime elástico e sendo desprezada a dissipação de energia por outros meios (plasticidade, cinética, calor, reações químicas, etc.), toda sua energia mecânica se conserva, de tal modo que o trabalho realizado por todas as forças externas atuando sobre uma estrutura (W) será convertido em trabalho interno ou energia de deformação (Ui). CONSERVAÇÃO DA ENERGIA iUW Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Sendo assim, considerando um corpo sujeitos a diversas forças externas Fi e consequentes deslocamentos δi (ambos em seus sentidos generalizados), no seu regime elástico e sem perda de energia, pode-se inferir, pelo princípio da conservação da energia, que: CONSERVAÇÃO DA ENERGIA dx GJ T dx GA Vf dx EI M dx EA N F LL S LL ii 0 2 0 2 0 2 0 2 22222 1 Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • O princípio da conservação da energia pode ser usado, em alguns casos, para calcular deslocamentos em estruturas. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • O princípio da conservação da energia pode ser usado, em alguns casos, para calcular deslocamentos em estruturas. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • O princípio da conservação da energia pode ser usado, em alguns casos, para calcular deslocamentos em estruturas. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Usando o princípio da conservação da energia, determinar o deslocamento na extremidade da viga, no sentido e direção da carga P. Considere apenas o efeito do momento fletor e que EI é constante. E X E M P L O 0 1 Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • Calcule o deslocamento vertical para baixo no ponto D da treliça abaixo utilizando o princípio da conservação da energia. Todas as barras da treliças possuem a mesma seção e mesmo material. EA é constante. E X E M P L O 0 2 A D B C Trabalho e energia de deformação- Eric Mateus Fernandes Bezerra • HIBBELER, R. C. Structural Analysis. 8ª ed. New Jersey: Pearson Prentice Hall, 2012. • HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais . 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. • SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de estruturas: método das forças e método dos deslocamentos. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006. R E F E R Ê N C I A S Métodos de energia - Eric Mateus Fernandes Bezerra
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