Exercício calculo

Prévia do material em texto

Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
Centro de Ciência e Tecnologia
Laboratório de Ciências Matemáticas
09 de março de 2018
1a Lista de exercícios de Cálculo Diferencial e Integral III
1. Faça um esboço das seguintes curvas:
a) α(t) = (2, 1, t); t ∈ R
b) β(t) = (2 cos t, 3 sen t, 5); t ∈ [0, 2pi]
c) γ(t) = (t, t, t); t ∈ [−1, 1]
d) σ(t) = (3, cos t, sen t); t ∈ [0, pi]
e) α(t) = (t2 − 1, 2, t); t ∈ [0,+∞)
f) α(t) = (1− sen t,−2 + sen t, 2 sen t); t ∈ R
g) β(t) = e−t(cos 2pit, sen 2pit), t ∈ R
h) σ(t) = (cos t, cos t, sen t); t ∈ [0, 2pi]
i) β(t) = (t cos t, t sen t, t
2pi
); t ∈ [0, 2pi]
2. Dê uma parametrização para cada uma das curvas
a) a reta 2x− 3y = 6
b) a parábola x2 = 4ay
c) a circunferência (x− a)2 + (y − b)2 = r2
1
d) a elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1, x ≥ 0
e) o ramo da hipérbole
x2
a2
− y
2
b2
= 1, x ≥ a
f) a reta
x− 1
2
=
y + 1
3
=
z − 1
2
g) o segmento de reta que liga os pontos A(−1, 0, 2) e B(2, 3, 3)
3. Se f é uma função vetorial de t tal que ||f || = 1. Mostre que f é perpendicular a df
dt
.
4. Um ponto P se desloca segundo a lei
OP = (cos t, sen t, t)
a) Esboçar a curva percorrida
b) Achar o vetor velocidade para t qualquer e determiná-lo no gráfico para t = 0, t = pi/2.
c) Achar o vetor aceleração para t qualquer e determiná-lo no gráfico para t = 0 e
t = pi/2.
5. Em cada caso determine α′(t) e α′(0)
a) α(t) = (sen 2pit, cos 2pit, 2t− t2)
b) α(t) = (et, cos t, sen t)
c) α(t) = (t2, t3 − 4t, 0)
d) α(t) = (sen 2t, log(1 + t), t)
6. Para cada curva, determine os vetores velocidade e aceleração e a equação da reta
tangente no valor de t especificado.
a) β(t) = (6t, 3t2, t3), t = 0
b) α(t) = (sen 3t, cos 3t, 2t3/2), t = 1
c) γ(t) = (cos2 t, 3t− t3, t), t = 0
2
d) α(t) = (0, 0, t), t = 1
e) β(t) = (t sen t, t cos t,
√
3t), t = 0
f) γ(t) = (
√
2t, et, e−t), t = 0
g) α(t) = (t, t, 2
3
t3/2), t = 9
7. Determine a curva α tal que α(0) = (0,−5, 1) e α′(t) = (t, et, t2).
8. Se α′(t) = (sen2 (t), 2 cos2(t)) e α(pi) = (0, 0), encontre α(t).
9. A astróide x2/3 + y2/3 = 22/3 tem equações paramétricas x = 2 cos3 t, y = 2 sen3 t,
t ∈ [0, 2pi]. Escreva uma equação da reta tangente à astróide no ponto correspondente
a t =
pi
4
.
10. Seja C a curva definida por α(t) = (2 cos t, 1 + 2 sen t). Determine uma equação da
reta normal à curva no ponto (
√
3, 2).
11. Considere a curva definida por α(t) = (1 + 2 ln(1 + t), 1 + (1 + t)2), t > −1.
a) Determine uma equação da reta tangente à curva no ponto (1, 2).
b) Dê uma equação cartesiana da curva.
c) Esboce a curva.
12. Seja α(t) uma função vetorial não identicamente nula e de classe C1. Suponha que
o vetor α(t) é paralelo a α′(t). Mostre que existe um vetor constante A e uma função
real positiva f(t) tal que α(t) = Af(t), ∀ t.
13. Seja C a curva parametrizada por β(t) = (cos t, sen t, 1− 2 sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
a) Determine β′(t)
b) Determine a equação da reta tangente à curva no ponto (−1, 0, 1).
14. Seja β a função vetorial definida por
β(t) =
(
2t
1 + t2
,
1− t2
1 + t2
, 1
)
.
3
Mostre que o ângulo entre β(t) e β′(t) é constante, i.é, independe de t.
15. Considere a hélice definida por σ(t) = (a cos t, a sen t, bt). Mostre que a reta tan-
gente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo Oz, e que o cosseno
desse ângulo é
b√
a2 + b2
.
16. Calcule o comprimento da curva no intervalo indicado
a) α(t) = (6t, 3t2, t3) no intervalo [0, 1]
b) β(t) = (sen 3t, cos 3t, 2t3/2) no intervalo [0, 1]
c) γ(t) = (t, t sen t, t cos t) no intervalo [0, pi]
d) θ(t) = (2t, t, t2) no intervalo [0, 2]
e) σ(t) = (t sen t, t cos t,
√
3 t) no intervalo [0, 1]
f) α(t) = (
√
2 t, et, e−t) no intervalo [−1, 1]
g) β(t) = (t, t, 2
3
t3/2) no intervalo [t0, t1]
4