3ª Aula de Tópicos de Cálculo 2018 Aluno

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Tópicos de Cálculo 
 
 
Noções básicas de álgebra elementar
 
 
 
 
3ª Aula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.: José Fernando Santiago Prates 
Universidade de Franca – UNIFRAN 
Franca - 2018 
 
 
 
 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 2 
 
O que não fazer! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 3 
 
1.Binômio de Newton 
 
O binômio de Newton desenvolvido pelo célebre Isaac Newton 
serve para o cálculo de um número binomial do tipo (a + b)n. 
Quando o valor de n é grande, este processo gradativo de 
cálculo é muito trabalhoso. 
O binômio de Newton veio pra facilitar esses cálculos, pois com ele calculamos a enésima potência 
de um binômio. 
 
De um modo geral, se a e b são números reais e n é um inteiro positivo, então: 
1 b.a.
0
0
)ba( 000 









 
b a b.a.
1
1
b.a.
0
1
)ba( 10011 


















 
21122011022 2
2
2
1
2
0
2
bb.a.a b.a.b.a.b.a.)ba( 
























 
321123302112033 33
3
3
2
3
1
3
0
3
bb.a.b.a.a b.a.b.a.b.a.b.a.)ba( 
































 
4312213440312213044 464
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
bb.a.b.a.b.a.ab.a.b.a.b.a.b.a.b.a.)ba( 








































 
Termo geral. 
 
n01n122n11n0nn b.a.
n
n
b.a.
1n
n
...b.a.
2
n
b.a.
1
n
b.a.
0
n
)ba( 








































 
 
 










n
p
ppnn ax
p
n
ax
0
.)(
 
 
ou 
 


 






n
p
ppn
p
n ax
p
n
ax
0
).()(
 
 
Coeficientes binomiais: Dados dois números naturais n e p, chama-se coeficientes binomiais n sobre 
p, ao número definido por: 
)!pn(!p
!n
p
n








 , 
pneINp,n 
 
kkn
n
0k
n .b.a
k
n
b)(a 







 
 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 4 
 
1.1. Triângulo de Pascal 
 
Se dispusermos os coeficientes desses desenvolvimentos num triângulo teremos: 
 
 
 Coeficientes de 
(a+b)0  








0
0
 
Coeficientes de 
 (a+b)1  






0
1
 








1
1
 
Coeficientes de 
(a+b)2  






0
2
 








1
2
 






2
2
 
Coeficientes de 
(a+b)3  






0
3
 








1
3
 








2
3
 








3
3
 
Coeficientes de 
(a+b)4  






0
4
 








1
4
 








2
4
 








3
4
 








4
4
 
Coeficientes de 
(a+b)5  






0
5
 








1
5
 








2
5
 








3
5
 








4
5
 








5
5
 
Coeficientes de 
(a+b)6  






0
6
 








1
6
 








2
6
 








2
6
 
 








3
6
 








4
6
 








5
6
 








6
6
 
Coeficientes 
de (a+b)7
  






0
7
 






1
7
 






2
7
 






3
7
 






4
7
 






5
7
 






6
7
 






7
7
 
 
ou, simplesmente, substituindo os números binomiais por seus valores: 
 
 (a+b)0 1 
 (a+b)1 1 1 
 (a+b)2 1 2 1 
 (a+b)3 1 3 3 1 
 (a+b)4 1 4 6 4 1 
 (a+b)5 1 5 10 10 5 1 
 (a+b)6 1 6 15 20 15 6 1 
 (a+b)7 1 7 21 35 35 21 7 1 
(a+b)8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 
 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 
 
 Teremos o que é chamado Triângulo de Pascal. 
A construção desse triângulo é facilitada por uma propriedade chamada Relação de Stiffel, 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 5 
 
1.1. Exemplos 
 
1) Obter os valores dos números inteiros x e y de modo que x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = 1000 e 
x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 = 8 
Solução: 
(x + y)3 = 1000 = 103  x + y = 10 
(x - y)3 = 8 = 23  x - y = 2  x=6, y=4 
Logo, x = 6 e y = 4 
2) Expandir e simplificar (a + 2)3(a - 2)3 
Solução: 
 (a + 2)3(a - 2)3 = ((a + 2)(a - 2))3 = (a2 - 4)3 
= 
302212122032 4.)a.(
3
3
4.)a.(
2
3
4.)a.(
1
3
4.)a.(
0
3
























 
= a6 - 12a4 + 48a2 – 64 
 
Logo, (a + 2)3(a - 2)3= a6 - 12a4 + 48a2 - 64 
 
3) Obter o termo x3 no desenvolvimento do binômio (2x + 3)4. 
Solução: 
(2x + 3)4 = 
4031221304 3.)2.(
4
4
3.)2.(
3
4
3.)2.(
2
4
3.)2.(
1
4
3.)2.(
0
4
xxxxx 






























 
13 3.)2.(
1
4
x





 = 96x3 
Logo, o termo em x3 é 96x3 
4) Obter o termo independente no desenvolvimento do binômio 
 43x
 
Solução: 
 43x
 = 

4031221304 )3.().(
4
4
)3.().(
3
4
)3.().(
2
4
)3.().(
1
4
)3.().(
0
4
xxxxx 




























 
40 )3.().(
4
4
x





 = 81 
Logo, o termo independente é 81 
5) Obter o termo independente no desenvolvimento do binômio 41







x
x
 
Solução: 
4
1







x
x
 = 4
0
3
1
2
2
1
3
0
4 1.).(
4
41
.).(
3
41
.).(
2
41
.).(
1
41
.).(
0
4




























































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
  
 
2
2 1.).(
2
4











x
x
 = 6 
Logo, o termo independente é 6 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 6 
 
2.Produtos Notáveis 
 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = (__)2 + 2(__)(__) + (__)2 
 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (__)3 + 3(__)2(__)1 + 3(__)1(__)2 + (__)3 
 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 
 (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 
3.Fatorações Básicas 
3.1. Diferenças 
 a2 – b2 = (a – b)(a + b) 
 a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) 
 a4 - b4 = (a2 - b2)(a2 + b2) = (a - b)(a3 + a2b + ab2 + b3) 
 a5 - b5 = (a - b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) 
 a6 - b6 = (a3)2 - (b3)2 = (a2)3 - (b2)3 
= (a - b)(a5 + a4b + a3b2 + a2b3 + ab4 + b5) 
 a7 – b7 = (a - b)(a6 + a5b + a4b2+ a3b3+ a2b4 + ab5+ b6) 
 a8 - b8 = (a - b)(a7 + a6b + a5b2 + a4b3 + a3b4 + a2b5 + ab6 + b7) 
 a9 - b9 = (a - b)(a8 + a7b + a6b2 + a5b3 + a4b4 + a3b5 + a2b6 + ab7 + b8) 
3.2. Somas 
 a2 + b2 = Não é possível 
 a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 
 a4 + b4 = Não é possível 
 a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) 
 a6 + b6 = (a2)3 + (b2)3 = (a2 + b2)(a4 – a2b2 + b4) 
 a7 + b7 = (a + b)(a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6) 
 a8 + b8 = Não é possível 
 a9 + b9 = (a + b)(a8 - a7b + a6b2 - a5b3 + a4b4 - a3b5 + a2b6 - ab7 + b8) 
 a10+b10 = (a2 + b2)(a8 – a6b2 + a4b4 – a2b6 + b8) 
 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 7 
 
Exemplos: 
Exemplos: 
Desenvolver os produtos notáveis abaixo 
1) (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 
2) (2x - 3)2 = 4x2 – 12x + 9 
3) (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 
4) (x – 5)3 = x3 – 15x2 + 75x – 125 
5) (2x – 3)3 = 8x3 – 36x2 + 54x – 27 
6) Obter o desenvolvimento do cubo do binômio 3
3
1
2 






x
x
 
Solução: 
3
3
1
2 






x
x
 = 
     
32
23
3
1
3
1
23
3
1
232 


















xx
x
x
xx
= 
3
3
27
1
3
2
48
xx
xx 
 
 
Logo, 3
3
1
2 






x
x
= 
3
3
27
1
3
2
48
xx
xx 
 
 
Ou 3
3
1
2 






x
x
 = 3
0
2
1
1
2
0
3
3
1
.)2.(
3
3
3
1
.)2.(
2
3
3
1
.)2.(
1
3
3
1
.)2.(
0
3
















































x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
De 7 a 11, escrever na forma de produto de produto de um binômio por seu conjugado. 
7) x2 - 1 = x2 - 12 = (x – 1)(x + 1) 
8) x2 - 4 = x2 - 22 = (x – 2)(x + 2) 
9) x2 - 9 = x2 - 32 = (x – 3)(x + 3) 
10) x2 - 5 = x2 – (
5
)2 = (x – 
5
)(x + 
5
) 
11) 4x2 – 9y2 = (2x)2 – (3y)2 = (2x – 3y)(2x + 3y) 
 
De 12 a 17, escrever soma e diferença de cubo na forma de produto de produto. 
12) x3 + 1 = x3 + 13 = (x + 1)(x2 - x + 1) 
13) x3 – 1 = x3 – 13 = (x – 1)(x2 + x + 1) 
14) x3 – 8 = x3 – 23 = (x – 2)(x2 + 2x + 4) 
15) x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 - 2x + 4) 
16) x3 – 27 = x3 – 33 = (x – 3)(x2 + 3x + 9) 
17) 8x3 – 27y3 = (2x)3 – (3y)3 = (2x – 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 8 
 
18) Sejam os polinômios: A = (a + 2)3, B = (a3 – 3)2, C = a2 – 9 e D = a3 – 8 Obter o valor 
simplificado de: A - (B + CD) 
Solução: 
A - (B + CD) = (a + 2)3 - ((a3 - 3)2 + (a2- 9)(a3 - 8)) 
= -a6 – a5 + 16a3 + 14a2 + 12a – 73 
Logo, A - (B + CD) = -a6 – a5 + 16a3 + 14a2 + 12a – 73 
 
 
19) Sabendo-se que 
2401)ba( 4 
 e 
729)ba( 6 
, calcular 
a
 e 
b
. 
a=5, b=2 
 
20) Obter o termo em x2 no desenvolvimento do binômio (3x - 1)6. 
135x2 
 
21) No desenvolvimento de (x-3)8, ordenado pelas potências decrescentes de x, qual é o 5º termo? 
5670x4 
22) Obter o termo independente de x no desenvolvimento do binômio 9
2
x
1
x 






,se existir. 
84 
23) Obter o termo independente de x no desenvolvimento do binômio 6
x2
1
x3 






 
135 / 2 
24) Efetue o quadrado do binômio 
 213 x
 
25) Efetue o quadrado do binômio 
 223 32 xx 
 
26) Efetue o quadrado do binômio 
 22 xx 
 
27) Efetue o quadrado do binômio 2






 x
y
x 
28) Efetue o produto de um binômio por seu conjugado 
  3232  xx
 
29) Efetue o produto de um binômio por seu conjugado 
  3232  xx
 
30) Efetue o produto de um binômio por seu conjugado 












 x
y
x
x
y
x
 
31) Efetue o cubo do binômio 
 313 x
 
32) Efetue o cubo do binômio 
 353 x
 
33) Efetue o cubo do binômio 
 323 32 xx 
 
34) Efetue o cubo do binômio 
 32 xx 
 
35) Efetue o quadrado do trinômio 
 22 1 xx
 
36) Escrever na forma de produto de produto de um binômio por seu conjugado. 
a. x2 – 16 
b. x2 – 7 
 Tópicos de Cálculo 
 
José Fernando Santiago Prates 9 
 
c. 16x2 – 7y2 
d. 
6
6
4
y
x

 
37) Escrever soma e diferença de cubo na forma de produto de produto. 
a. x3 + 8 
b. x6 - 27 
c. x3 + 7 
d. 
6
6
4
y
x
