BINÔMIO DE NEWTON 05

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BINÔMIO DE NEWTON – TD 05 PROFESSOR CARLOS CLEY
1
BINÔMIO DE NEWTON
Denomina-se binômio de Newton a
expressão   n ax  , onde x, a  R e n  N.
Vamos desenvolver   n ax  para alguns valores
de n:
  0 ax  =
 1 ax  =
  2 ax  =
  3 ax  =
  4 ax  =
Veja que no desenvolvimento de
  n ax  :
 A quantidade de termos é igual a n + 1.
 Os coeficientes dos termos do
desenvolvimento são os números da linha n
do triângulo de Pascal.
 Os expoentes de x decrescem de n até 0,
enquanto os expoentes de a crescem de 0
até n.
 A soma dos expoentes de x e a, em cada
termo, é igual ao expoente n do binômio.
 Generalizando, temos:
  

















  ....x .a 
2
n
 x.a 
1
n
 .x .a 
0
n
ax 2n21n .1nn 0
0.npnp x.a 
n
n
 ....x .a 
p
n
 











 
 O termo geral ou genérico do binômio
(x + a) n é dado por:
pn p 
1p .x.a p
n
T  






26. Desenvolvendo (2x - 3y)3n obtemos um
polinômio de 16 termos. Determine o valor de
n.
27. (UCSal) Desenvolvendo-se (2x - 3)4,
obtém-se
A) x4 – x3 + x2 – x + 1
B) x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1
C) 16x4 – 8x3 + 4x2 – 2x + 1
D) 16x4 – 24x3 + 36x2 – 54x + 81
E) 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x + 81
28. (UCSal) O coeficiente do terceiro termo
do desenvolvimento do binômio nx )2(  ,
segundo as potências decrescentes de x, é
igual a 60. Nessas condições, o valor de n
pertence ao conjunto:
A) {3,4}
B) {5,6}
C) {7,8}
D) {9,10}
E) {11,12}
29. (UNEB) O termo independente de x no
desenvolvimento de
6
2
1







x
x , segundo as
potências decrescentes de x, é igual a:
01) 20
02) 15
03) 10
04) 5
05) 1
30. (UFPE) Calcule o coeficiente do termo
independente de x no desenvolvimento
binomial de .
1
2
5
3
2 






x
x
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2
31. (UFBA) Sabendo que a soma dos
coeficientes no desenvolvimento de (a + b)m é
igual a 256, calcule ! 
2
m





 .
RESOLVA EM CASA!
32. (URCA) O coeficiente de x-4 no
desenvolvimento de
6
1
1 




 
x
é:
A) –20 D) 20
B) –15 E) 30
C) 15
33. (UNEB) O coeficiente de x4 no
desenvolvimento de
66
1
.
1





 




 
x
x
x
x é:
01) –6 04) 20
02) 10 05) 120
03) 15
34. (UFPB) Calcule o valor da expressão
kknn
k
n
k
n


























 5
2
5
3
5
3
3
1
,onde n  .
35. (UEPI) O termo independente de x, no
desenvolvimento de
10
x
1
x 




  , é igual a:
A) 252 D) 282
B) 262 E) 292
C) 272
36. (UEPI) O valor que deve ser atribuído a k
de modo que o termo independente de x, no
desenvolvimento de
6
x
k
x 




  , seja igual a 160,
é igual a:
A) 1 D) 8
B) 2 E) 10
C) 6
37. (UFPE) Com relação ao desenvolvimento
binomial de  183 22  ,quantos termos são
números racionais?
38. (UFPE) Para qual valor de p temos o
maior termo na expansão de
p
30
0p
30
5
1
p
30
5
1
1 












 
39. (UFPE) Qual o termo independente de x
na expansão de
8
3
5
x
1
x 





 ?
40. (UFBA) Sendo 2n
3
n A3A  , pode-se afirmar:
(01) Se 56
)!2m(
!m


,então m > n.
(02) 60Pn 
(04) 2n
3
n CC 
(08) O termo independente de x, no
desenvolvimento
n
3
2
x
1
x 





 , é igual a 10.
(16) Com os elementos do conjunto  xA { 
0  x ≤ 9}, podem-se formar 84 produtos
distintos com n algarismos.
(32) Com 7 pessoas, pode-se tirar 2520
fotografias diferentes de n pessoas em
fila.
41. (UECE) O valor do termo médio do
desenvolvimento binomial de
12
2
3
x
1
x 




  é:
A) 6x
6
13






C) 5x
6
12






B) 5x
6
13






D) 6x
6
12






BINÔMIO DE NEWTON – TD 05 PROFESSOR CARLOS CLEY
3
42. (UNEB) O termo médio do
desenvolvimento do binômio (sen(x) –
2cos(x))4 é equivalente a
01) 4cos(2x) 04) 6sen²(2x)
02) 6sen(2x) 05) 4cos²(2x)
03) 6sen²(x)
43. (UFBA) Sendo 1nn P12P  e !nPn  , pode-
se afirmar:
(01) Se 23,)2(2,   xnxn CC , então x = 6.
(02) Um polígono regular de n lados tem 54
diagonais.
(04) O coeficiente do termo de grau 7 do
desenvolvimento   2
2n
2x3x2

 é 720.
(08) Com n músicos que tocam bateria,
guitarra e contrabaixo indistintamente,
pode-se formar 440 conjuntos musicais,
cada um com 3 componentes.
(16) Ligando-se quatro a quatro os 5 pontos
de uma reta aos n pontos de uma outra
reta paralela à primeira, pode-se obter 60
quadriláteros.
44. (UNEB) Sabendo que a diferença entre os
números binomiais 





3
n
e 





2
n
é igual a zero,
pode-se afirmar que o determinante da matriz








n1
21
é igual a
01) – 3 04) 4
02) – 1 05) 6
03) 2
45. (UFC) O símbolo 





k
n
indica a combinação
de n objetos k a k. O valor de x² - y²
quando
k20
0k
20
4
3
.
k
20
 4x 











 

e
k20
0k
20
5
2
.
k
20
 5y 











 

é igual a:
A) 0. D) – 25.
B) – 1. E) – 125.
C) – 5.
46. (UPE) O professor de Matemática aplicou
um problema-desafio para os alunos: No
intervalo aberto ]0, 2  [, quantas são as
soluções da equação?
       2345 senx110senx110senx15senx1 
+   1/321senx15 
Os alunos Júnior, Daniela, Eduarda, Rebeca e
Dan resolveram e determinaram as soluções
abaixo para o desafio. Qual delas é a CORRETA?
A) Júnior respondeu que o problema não tinha
solução.
B) Daniela respondeu que o problema tinha
uma única solução.
C) Eduarda respondeu que o problema tinha
Duas soluções.
D) Rebeca respondeu que o problema tinha
Três soluções.
E) Dan respondeu que o problema tinha 4 e
somente 4 soluções.
47. (UPE) Sobre o binômio de Newton e
análise combinatória, analise as proposições.
I II
0 0 Se a e b são soluções da


















8
21
2x
20
13
20
, então a + b = 10
1 1 O desenvolvimento de
88
x
x
1
x
1
x 




 




  possui 16 termos.
2 2 O valor da expressão
62456 3...3 .5 
2
6
3 .5 
1
6
5 











 é 64.
3 3 Dentre os subconjuntos de
A={2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}, 49 não possuem
quatro elementos.
4 4 Se 256
n
n
... 
1
n
 
0
n


















, então n = 8.
48. (UNIVASF - 2ªfase) Ao efetuarmos o
produto dos polinômios abaixo
(1 + x + x2 +...+ x100 )(1 + x + x2 + ... + x50)
qual o coeficiente de x75? (Observação: os
polinômios têm graus 100 e 50 e todos os
coeficientes iguais a 1.)
49. (ITA) Determine o coeficiente de x4 no
desenvolvimento de (1 + x + x2)9.
BINÔMIO DE NEWTON – TD 05 PROFESSOR CARLOS CLEY
4
50. (UFPE) Determine a soma dos dígitos do
coeficiente de 5x no desenvolvimento de
.
2
x
x1
82









51. (ITA) Para os inteiros positivos k e n, com
k ≤ n, sabe-se que 















1k
1n
k
n
1k
1n
. Então, o
valor de 
























n
n
1n
1
...
2
n
3
1
1
n
2
1
0
n
é igual
a
A) 12n  D)
1n 
 12 1n
B) 12 1n  E)
n
12n 
C)
n
12 1n 
GABARITO – RESOLVA EM CASA
32 C 42 04
33 C 43 06
34 04 44 01
35 A 45 A
36 B 46 C
37 04 46 V,F,V,V,V
38 05 48 51
39 56 49 414
40 37 50 13
41 D 51 D