Lista 7 Resolução Questão 11

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Microeconomia II
Resolução da Lista de Exercícios 7
24 de Novembro de 2011
As dez primeiras questões desta lista de exercícios foram resolvidas pela Denise Imori, que foi
monitora deste curso no ano passado. As resoluções feitas por ela foram digitalizadas e divididas em
dois arquivos, ambos também disponíveis no Erudito.
Questão 11. O Professor P contratou o monitor M. O professor P preocupa-se com o número de
horas dedicado pelo monitor M às atividades inerentes à monitoria e com a remuneração do monitor
M. O Professor P deseja maximizar seu payoff, dado por uP = x − s, onde x é o número de horas
dedicadas pelo monitor M e s é a sua remuneração. Se o monitor M dedica x horas e recebe s, sua
utilidade é uM = s− c (x) onde c (x) = x2/2. A utilidade de reserva do monitor M é zero.
(a) Se o professor P escolhe x e s de tal forma a maximizar sua utilidade sujeito à restrição de que o
monitor M esteja disposto a trabalhar para ele, quantas horas o monitor irá dedicar?
O problema que o professor P resolve é:
max
x,s≥0
x− s
sujeito a:
s− x
2
2
≥ 0. (1)
Substituindo a restrição na função objetivo e calculando a condição de primeira ordem, encontra-se
que:
1− x∗ = 0⇔ x∗ = 1. (2)
(b) Quanto o professor P terá que pagar para o monitor M para que ele se dedique este número de
horas?
O professor deve apenas o mínimo necessário para que o monitor dedique o número de horas
desejado pelo professor, em outras palavras, a restrição de participação (1) deve valer com igualdade.
Sendo assim:
s∗ =
1
2
. (3)
(c) Suponha que o professor P use o seguinte esquema de remuneração: s (x) = ax + b e deixe o
monitor A escolher o número de horas que ele deseja trabalhar. Que valores de a e de b deveria o
professor P escolher de tal forma a maximizar o seu próprio payoff ? O Professor P poderia alcançar
um payoff maior se ele fosse capaz de utilizar um esquema de remuneração mais geral?
1
O problema que o monitor resolve é o seguinte:
max
x≥0
ax+ b− x
2
2
.
Assumindo solução interior (x > 0), a condição de primeira ordem estabelece que:
a− x˜ = 0⇔ x˜ = a. (4)
Como foi demonstrado nos itens anteriores, o melhor que o professor pode fazer é induzir o monitor
a dedicar 1 hora às atividades de monitoria tendo zero de utilidade. Então, pela equação (4) e pela
função utilidade do monitor, o professor deve estabelever a = 1 e b = 12 . Com este esquema de
remuneração o professor consegue maximizar a sua utilidade tal como no item (a). Portanto, nenhum
outro esquema de remuneração é capaz de lhe proporcionar um payoff estritamente maior.
2