Aula_8_Circuitos

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Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Aula 8 
 
Circuitos 
Nesta aula vamos falar da física de circuitos elétricos 
Introdução 
Se você olhar no interior do aparelho de TV, do 
computador, celular ou embaixo da capota do seu 
carro, notará circuito elétricos em cada um deles. 
Hoje as mensagens são enviadas via e-mail e os artigos 
científicos são copiados na forma de arquivos digitais e 
lidos nas telas dos computadores. 
Vamos limitar nossa discussão a circuitos nos quais o sentido da corrente não varia com 
o tempo, conhecidos como circuitos de corrente contínua ou circuitos CC 
(exemplos: lanterna e o sistema elétrico dos automóveis). 
Vamos falar da física de circuitos elétricos que contêm apenas resistores e fontes. 
Trabalho, energia e força eletromotriz 
Para fazer passar cargas elétricas por um resistor precisamos estabelecer uma 
diferença de potencial entre as extremidades do dispositivo. 
Uma forma de fazer isso seria ligar as extremidades do resistor às placas 
de um capacitor carregado. O problema que é o movimento das cargas 
faria o capacitor descarregar e, portanto, depois de um certo tempo o 
potencial seria o mesmo nas duas placas. 
Para produzir uma corrente estável precisamos de uma “bomba” de cargas, um 
dispositivo que, realizando trabalho sobre os portadores de carga, mantenha uma 
diferença de potencial entre dois terminais. Um dispositivo desse tipo é chamado de 
fonte de tensão, ou simplesmente fonte. 
O termo “força” não é muito adequado, pois a fem não é uma força, mas sim uma grandeza com 
dimensão de energia por unidade de carga, tal como o potencial. 
Uma fonte muito útil é a bateria, usada 
pra alimentar uma grande variedade de 
máquinas, de relógios de pulsos a 
submarinos. 
Dizemos que uma fonte de tensão produz uma força eletromotriz (fem) , o que 
significa que submete os portadores de carga a uma diferença de potencial. 
Podemos representar a força eletromotriz da 
fonte como uma seta apontando do terminal 
negativo para o terminal positivo. 
No interior da fonte, os portadores de 
carga positivos se movem de uma 
região de baixo potencial elétrico 
(baixa energia potencial elétrica) para 
uma região de alto potencial elétrico 
(alta energia potencial elétrica). 
A energia pode ser química (baterias e células de combustível), mecânica 
(geradores), resultar da diferença de temperatura (termopilhas) ou fornecida 
pelo sol (células solares). 
Esse movimento tem o sentido contrário ao sentido no qual os portadores de carga 
positivos se moveriam sob a ação do campo elétrico que existe entre os dois terminais. 
Assim, deve haver uma energia no interior da fonte realizando um trabalho 
sobre as cargas e forçando as carga a se moverem dessa forma. 
Vamos agora analisar o circuito do 
ponto de vista do trabalho e da energia. 
A força eletromotriz de uma fonte é o trabalho realizado por unidade de 
carga que a fonte realiza para transferir cargas do terminal de baixo 
potencial para o terminal de alto potencial. 
Em um intervalo de tempo dt uma carga 
dq passa por todas as seções retas do 
circuito, como aa’. A mesma carga entra 
no terminal de baixo potencial da fonte e 
sai do terminal de alto potencial. 
Para que a carga se mova dessa forma a fonte deve realizar sobre ela um trabalho dW. 
Definimos a força eletromotriz da fonte através desse trabalho: 
Uma fonte de tensão ideal, por 
definição, é aquela que não apresenta 
nenhuma resistência ao movimento das 
cargas e um terminal para o outro. 
Uma fonte de tensão real possui uma resistência interna que se opõe ao movimento 
das cargas. 
A diferença de potencial entre os terminais 
de uma fonte ideal é igual à força 
eletromotriz da fonte. 
Quando uma fonte real não está ligada a um circuito e, portanto, não conduz 
corrente elétrica, a diferença de potencial entre os terminai é igual à força eletromotriz, 
porém, quando a fonte conduz corrente, a diferença de potencial é menor que a 
força eletromotriz: 
Cálculo da corrente em um circuito de uma malha 
Vamos discutir agora dois métodos 
diferentes para calcular a corrente no 
circuito simples de uma malha como 
mostrado na figura ao lado. Um dos 
métodos se baseia na conservação da 
energia e o outro no conceito de potencial. 
O circuito que vamos analisar é formado 
por uma fonte ideal B, um resistor de 
resistência R e dois fios de ligação (que 
possuem resistência desprezível). 
Método da energia 
Suponha que na figura ao lado comecemos em um 
ponto qualquer do circuito e nos deslocamos 
mentalmente ao longo deste em um sentido arbitrário, 
somando algebricamente as diferenças de 
potencial que encontrarmos no caminho. 
Ao voltarmos ao ponto de partida teremos voltado 
também ao potencial inicial. 
REGRA DAS MALHAS: A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao 
percorrer uma malha fechada é sempre zero. 
A regra das malhas é conhecida como lei das malhas de 
Kirchhoff (ou lei das tensões de Kirchhoff) em homenagem 
ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff. 
Método do potencial 
Passando pela fonte: Como a fonte é ideal, a diferença de potencial entre seus 
terminais é . Assim, quando atravessamos a fonte, passando do terminal negativo 
para o positivo, a variação de potencial é + 
Na figura ao lado, vamos começar no ponto a, cujo 
potencial é 𝑉𝑎 e nos deslocar mentalmente no 
sentido horário até estarmos de volta ao ponto a, 
anotando as mudanças de potencial que 
correm no percurso. 
Logo, nosso ponto de partida é o terminal negativo 
da fonte. 
Passando pelo terminal positivo da fonte para o terminal superior do resistor: 
não há variação de potencial, já que a resistência do fio é desprezível. 
No ponto a: o potencial é novamente 𝑉𝑎 . Como percorremos todo o circuito, o 
potencial inicial, depois de modificado pelas variações de potencial ocorridas ao 
longo do caminho, deve ser igual ao potencial final: 
Passando pelo terminal inferior do resistor até 
o ponto a: não há variação de potencial, já que a 
resistência do fio é desprezível. 
Atravessando o resistor: o potencial diminui 
(estamos passando do lado de potencial mais alto do 
resistor para o lado de potencial mais baixo). Essa 
variação de potencial é dado em termos da 
resistência: -iR 
Mesmo resultado encontrado no método da energia. 
E mais uma vez encontramos: 
Se percorrermos o percurso no sentido anti-
horário, o resultado será: 
Com o intuito de nos prepararmos par ao estudo de circuitos mais complexos, vamos 
formular duas regras: 
Na figura acima, a fonte foi desenhada como se pudesse ser separada em uma fonte 
ideal de força eletromotriz e um resistor de resistência r. 
Outros circuitos de uma malha 
A figura ao lado mostra uma fonte real, de 
resistência interna r, ligada a um resistor 
externo de resistência R. 
A resistência interna da fonte é a resistência 
elétrica dos materiais condutores que existem 
no interior da fonte. 
Aplicando a regra das malhas no sentido horário, a partir do ponto a, as variações do 
potencial nos dão: 
Resistências em série 
A figura ao lado mostra três resistências ligadas 
em série a uma fonte ideal de força eletromotriz. 
A expressão “em série” significa que as resistências 
são ligadas uma após a outra e que uma diferença 
de potencial V é aplicada às extremidades da 
ligação. 
As diferenças de potencial entre os terminais de cada resistência produzem a mesma 
corrente i em todas as resistências. De modo geral: 
Observe que as cargas que atravessam resistências ligadas 
em série têmum único caminho possível. Se existe mais 
de um caminho, as resistências não estão ligadas em série. 
Para determinar o valor da resistência equivalente das três 
resistências aplicamos a regra das malhas aos dois 
circuitos. 
Começando do ponto a e percorrendo o circuito no sentido 
horário, teremos: 
Para o circuito com a resistência equivalente encontramos: 
Igualando as equações: 
A extensão para n resistores é imediata e nos fornece: 
A resistência equivalente é maior 
que a maior das resistências. 
Diferença de potencial entre dois pontos 
Muitas vezes estamos interessados em determinar a diferença de potencial entre dois 
pontos de um circuito. 
Na figura ao lado, qual é a diferença de 
potencial 𝑽𝒃 − 𝑽𝒂 entre os pontos a e b? 
Para responder, vamos começar no ponto a, 
passando pela fonte, até o ponto b, anotando as 
diferenças de potencial encontradas no percurso. 
Para calcular o valor dessa expressão precisamos conhecer a corrente. Usando a lei das 
malhas, concluímos anteriormente que: 
Substituindo a expressão da corrente na expressão do potencial: 
Substituindo os valores numéricos que aparecem na 
figura, teremos: 
Suponha que tivéssemos escolhido percorrer o circuito no sentido anti-horário 
passando pelo resistor R em vez de passar pela fonte. Neste caso, estaríamos nos 
movendo no sentido oposto ao da corrente, o potencial aumentaria de iR. Assim: 
Aterrando um circuito 
Aterrar um circuito significa que o potencial é definido 
como sendo zero no ponto indicado pelo símbolo: 
O potencial no ponto a é definido como sendo zero. Logo, 
de acordo com a equação acima, 𝑉𝑏 = 8,0 𝑉. Poderíamos 
aterrar no ponto b. Neste caso 𝑉𝑎 = −8,0 𝑉. 
Exemplo 1: circuito de uma malha com duas fontes reais 
Circuitos com mais de uma malha 
A figura ao lado mostra um circuito com mais 
de uma malha. Para simplificar a análise, 
vamos supor que as fontes são ideais. 
Existem dois nós no circuito, nos pontos b e d, e três ramos ligando esses nós: o ramos 
da esquerda (bad), o ramo da direita (bcd) e o ramo central (bd). 
 Definimos como nó o ponto do circuito onde 
ocorre a união de dois ou mais condutores. 
 Denomina-se ramo (ou malha) qualquer 
cainho condutor fechado. 
Quais são as correntes nos três ramos? 
Vamos rotular arbitrariamente as correntes 
usando um índice diferente para cada ramo: 
 A corrente 𝑖1 tem o mesmo valor em todos 
os pontos do ramo bad; 
 A corrente 𝑖2 tem o mesmo valor em todos 
os pontos do ramo bcd; 
 A corrente 𝑖3 tem o mesmo valor em todos 
os pontos do ramo bd; 
Considere o nó d. As cargas entram nesse nó através das correntes 𝑖1 e 𝑖3 e deixam o nó 
através da corrente 𝑖2. Como a carga total não pode mudar, a corrente total que 
chega tem que ser igual à corrente total que sai: 
Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente. 
Podemos verificar que a aplicação dessa condição 
ao nó b leva exatamente à mesma equação. 
A equação anterior sugere o seguinte princípio geral: 
Trata-se apenas de uma outra forma de enunciar a lei de conservação das cargas: as 
cargas não podem ser criadas nem destruídas em um nó. 
Essa regra também é conhecida como lei dos nós de Kirchhoff (ou lei das 
correntes de Kirchhoff). 
Para resolver totalmente o circuito (que possui três incógnitas) precisamos de mais 
duas equações independentes que envolvam as mesmas variáveis. Podemos obtê-las 
aplicando duas vezes a regra das malhas. 
No circuito ao lado temos três malhas: 
 A malha da esquerda (badb); 
 A malha da direita (bcdb); 
 A malha externa (badcb). 
Percorrendo a malha da esquerda no sentido 
anti-horário a partir do ponto b, teremos: 
Percorrendo a malha da direita no sentido anti-horário a partir do ponto b, teremos: 
Agora dispomos de três equações, tendo como incógnitas as três correntes. Podemos 
resolver o sistema! 
Resistências em paralelo 
A figura abaixo mostra três resistências ligadas em paralelo. 
O termo “paralelo” significa que um dos terminais 
de todas as resistências é ligado a um certo ponto, 
o outro terminal de todas as resistências é ligado a 
um segundo ponto e uma diferença de potencial V 
é aplicada entre esses pontos. Assim, a mesma 
diferença de potencial é aplicada a todas as 
resistências. 
A figura ao lado mostra que as três resistências em 
paralelo podem ser substituídas por uma 
resistência equivalente com a mesma diferença 
de potencial V e a mesma corrente total i que as 
resistências originais. 
Para determinar o valor da resistência equivalente, escrevemos as correntes nas 
resistências na forma: 
Onde V é a diferença de potencial entre a e b. 
Aplicando a regra dos nós ao ponto a e 
substituindo a corrente por seus valores, teremos: 
Substituindo as resistências em paralelo pela 
resistência equivalente, teremos: 
Generalizando esse resultado par ao caso de n resistências, temos: 
Note que para resistências em paralelo a resistência equivalente é menor que a menor das resistências. 
A tabela abaixo mostra as relações de equivalência para resistores e capacitores em série e em paralelo. 
Exemplo 2: resistores em paralelo e em série 
Solução - exemplo 2 
Exemplo 3: circuito com mais de uma malha 
Solução - exemplo 3 
Circuitos RC 
Nos itens anteriores lidamos apenas com circuitos nos quais as correntes não variavam 
com o tempo. Vamos agora iniciar uma discussão de correntes que variam com o tempo. 
Carga de um capacitor 
O capacitor de capacitância C da figura ao lado 
está inicialmente descarregado. 
Para carregá-lo colocamos a chave S na posição a. 
Isso completa um circuito RC série formado por um 
capacitor, uma fonte ideal e uma resistência R. 
Como vimos anteriormente, no momento em que o circuito é completado cargas 
começam a se mover no circuito. Essas correntes acumulam uma carga q cada vez maior 
nas placas do capacitor e estabelecem uma diferença de potencial entre as placas: 
Quando a diferença de potencial entre as placas do capacitor é igual à diferença de 
potencial entre os terminais da fonte (igual à força eletromotriz) a corrente deixa de 
circular. 
Vamos examinar mais de perto o processo de carregamento do capacitor. 
Começamos a aplicar a regra das malhas ao circuito, percorrendo-o no sentido horário a 
partir do terminal negativo da fonte. Neste caso, teremos: 
A carga final (carga de equilíbrio) do capacitor será dada por: 
O último termo é negativo porque a placa de cima do capacitor, que 
está ligada ao terminal positivo da fonte, tem um potencial mais 
alto que a placa de baixo, assim, há uma queda de potencial 
quando passamos da placa de cima para a placa de baixo. 
Não podemos resolver imediatamente a última equação, pois ela possui duas variáveis, i 
e q. Entretanto, essas variáveis não são independentes, mas estão relacionadas 
através da equação: 
Para resolver essa equação precisamos encontrar a função q(t) que satisfaz essa 
equação e também à condição inicial de que o capacitor está descarregado, ou seja, que 
q = 0 no instante t = 0. Demostre que: 
Essa equação diferencial descreve a variação com o tempo da carga q no capacitor. 
Observe que a equação satisfaz a condição inicial, já que para t = 0, a exponencial é igual a 1 e, 
portanto, q = 0. Quando t tende ao infinito, a exponencial tende a zero. Logo, a equação prevê 
corretamente o valor final do capacitor Cξ. 
A figura ao lado mostra o gráfico de q(t) em função de 
t durante o processo de carregamento do capacitor: 
A derivada de q(t) é a corrente de carregamentodo 
capacitor: 
A constante de tempo 
O produto RC que aparece nas equações anteriores tem dimensão de tempo: 
Este produto é chamado de constante de tempo capacitiva do circuito e é 
representado pela letra grega 𝜏:: 
Descarga de um capacitor 
Suponha agora que o capacitor da figura esteja 
totalmente carregado, ou seja, com um 
potencial igual à força eletromotriz da fonte. 
Em um novo instante t = 0 a chave S é deslocada da posição a para a posição b, 
fazendo com que o capacitor comece a se descarregar através da resistência R. 
Neste caso, como variam com o tempo a carga do capacitor e a corrente no 
circuito? 
A equação diferencial que descreve a variação de q com o tempo é semelhante 
àquela encontrada anteriormente, exceto pelo fato de que agora, como a fonte não 
está mais no circuito = 0. Assim: 
A solução dessa equação diferencial é : 
Note que q diminui exponencialmente com o tempo a uma taxa que depende da 
constante de tempo capacitiva. No instante t = 𝜏 a carga do capacitor diminui para 
𝑞0𝑒
−1, ou aproximadamente 37% do valor inicial. 
Derivando a equação acima obtemos a corrente que também diminui 
exponencialmente.