Aula_9_CampoMagnetico

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Profª Drª Simone F. Souza 
 
 
Aula 9 
 
Campo Magnético 
Introdução 
As aplicações das forças magnéticas e dos 
campos magnéticos são incontáveis: transporte 
de material em fundições, motores elétricos, 
fornos de microondas, alto falantes, impressoras 
de computadores, discos magnéticos usados nos 
computadores, telefones celulares. 
Um dos aspectos mais familiares do magnetismo é aquele associado ao ímã 
permanente, que atraí objetos de ferro não imantados e também atraí ou repele outro 
imã. Contudo a natureza fundamental do magnetismo é a interação produzida 
por cargas elétricas que se movem. 
O termo magnetismo provém da região da Magnésia, uma 
província da Grécia onde certas rochas, chamadas 
magnetitas, possuem a propriedade surpreendente de atrair 
pedaços de ferro. Esses fragmentos são hoje conhecidos 
como ímãs permanentes. 
No século dezesseis, William Gilbert, físico e médico da 
rainha Elizabeth I, confeccionou ímãs artificiais esfregando 
pedaços de ferro comum em pedaços de magnetita. 
Os ímãs foram primeiro empregados em bússolas e usados 
para navegação pelos chineses no século doze. 
Ele também sugeriu que um bússola sempre se alinha com a 
direção norte-sul porque a Terra possui propriedades de 
um ímã. 
Os campos da eletricidade e do magnetismo desenvolveram-se quase que 
independentemente um do outro até 1820. 
Logo depois, o físico francês Andre-Marie Ampère propôs 
que as correntes elétricas fossem as fontes de todos os 
fenômenos magnéticos. 
Quando um professor de ciências dinamarquês, chamado 
Hans Christian Oersted, descobriu durante uma 
demonstração em sala de aula (em 1819) que uma corrente 
elétrica afeta uma bússola magnética. Ele viu a evidência 
que confirmava a existência de uma relação entre o 
magnetismo e a eletricidade. 
O que produz um campo Magnético? 
Uma vez que o campo elétrico é produzido por cargas 
elétricas, seria natural que o campo magnético fosse 
produzido por cargas magnéticas. Entretanto, até o momento, 
não há comprovação experimental da existência de tais 
cargas magnéticas (monopolos magnéticos). Os polos 
magnéticos sempre existem formando pares. 
Os campos magnéticos podem ser produzidos de duas formas: 
1) Usando partículas eletricamente carregadas em movimento (como uma corrente 
elétrica em um fio). 
2) Usando partículas elementares, como os elétrons, que possuem um campo 
magnético intrínseco. O campo magnético é uma propriedade básica de muitas 
partículas elementares, do mesmo modo como a massa e a carga elétrica. 
Para definir o campo magnético vamos usar o fato experimental de que quanto uma 
partícula com carga elétrica se move na presença de um campo magnético, uma força 
magnética age sobre a partícula. 
Determinamos o campo elétrico em um ponto colocando uma carga de prova neste 
ponto e medindo a força que age sobre a partícula. Logo, usamos dois passos para 
descrever a interação elétrica: 
1) Uma distribuição de cargas elétricas cria um campo elétrico 𝐸 no espaço em torno 
da distribuição. 
2) O campo elétrico exerce uma força 𝐹 = 𝑞𝐸 sobre qualquer carga de prova q que 
esteja presente no campo. 
Se dispuséssemos de um monopolo magnético, poderíamos definir o campo 
magnético exatamente da mesma forma, entretanto isso não é possível. 
Todavia, vamos descrever as interações magnéticas de forma análoga. 
1) Uma carga móvel ou uma corrente elétrica cria um campo magnético em suas 
vizinhanças (além do campo elétrico). 
2) O campo magnético exerce uma força sobre qualquer outra corrente ou carga que 
se mova no interior do campo. 
Neste momento vamos nos concentrar no segundo aspecto da interação: considerando um certo 
campo magnético, qual é a força que ele exerce sobre uma corrente ou uma carga que se 
move? 
Experimentalmente, mede-se a força 𝐹 𝐵 que age sobre uma partícula quando ela 
passa (com várias velocidades e direções) pelo ponto no qual 𝐵 está sendo medido. 
Depois de executar vários experimentos desse tipo, constatamos quatro 
características da força magnética: 
1) O seu módulo é proporcional ao módulo da carga. Se uma carga de 1µC se 
move com a mesma velocidade e direção de uma carga de 2µC no interior de um 
campo magnético, a força magnética sobre a carga de 2µC é duas vezes maior. 
2) O módulo da força é proporcional ao módulo do campo magnético. Se 
dobrarmos o valor do módulo do campo (por exemplo, usando dois ímãs idênticos em 
vez de um) sem alterar o valor da carga ou de sua velocidade, a força dobra. 
3) A força magnética depende da velocidade da partícula. Esse comportamento é 
bastante diferente da força elétrica, que é sempre a mesma independentemente de a 
carga estar em repouso ou em movimento. 
4) A força magnética não possui a mesma direção do campo magnético. Esta 
atua sempre em uma direção simultaneamente perpendicular à direção do campo 
magnético e à direção da velocidade. 
Com os experimentos verificou-se que quando a velocidade 𝑣 da partícula tem uma 
certa direção, a força 𝐹 𝐵 é zero. Para todas as outras direções de 𝑣 o módulo de 𝐹 𝐵 é 
proporcional a vsinՓ, onde Փ é o ângulo entre a direção em que a força é zero e a 
direção de 𝑣 . 
Dessa forma, definiu-se um campo magnético 𝑩 como uma grandeza vetorial cuja 
direção coincide com aquela para a qual a força é zero. 
Depois de medir 𝐹 𝐵 para 𝑣 perpendicular a 𝐵 , foi definido o módulo do campo 
magnético em termos do módulo da força: 
Podemos expressar todos esses resultados experimentais através da seguinte equação 
vetorial: 
Podemos escrever o módulo da força magnética na forma: 
Essa equação é válida tanto para cargas positivas quanto para cargas negativas. Se q é 
negativa, o sentido de 𝐹 𝐵 é contrário ao sentido do produto vetorial. 
As figuras abaixo mostram diversos exemplos de relações entre as direções e os 
sentidos de 𝐹 , 𝑣 e 𝐵: 
Cientista sérvio 
Nikola Tesla 
(1856-1943). 
Determinação da força magnética 
Para determinar a direção e o sentido de 𝐹 𝐵 faremos uso da regra da mão direita: 
A força 𝐹 𝐵 que age sobre uma 
partícula carregada que se move 
com velocidade 𝑣 na presença de 
um campo magnético 𝐵 é sempre 
perpendicular a 𝑣 e a 𝐵. 
Assim, a componente de 𝐹 𝐵 na direção 
de 𝑣 é sempre nula. Isso significa que 
𝑭𝑩 não pode mudar a velocidade 
escalar v da partícula (e, portanto, 
não pode mudar a energia cinética da 
partícula). A força 𝐹 𝐵 pode mudar 
apenas a direção 𝑣 (ou seja, a 
trajetória da partícula; esse é o único 
tipo de aceleração que 𝐹 𝐵 pode 
imprimir à partícula. 
Linhas de campo magnético 
Como no caso do campo elétrico, podemos representar o campo magnético através de 
linhas de campo. As regras são as mesmas: 
(1) A direção da tangente a uma linha 
de campo magnético em qualquer ponto 
fornece a direção de 𝐵 neste ponto. 
(2) O espaçamento das linhas 
representa o módulo de 𝑩; quanto mais 
intenso o campo, mais próximas estão as 
linhas, e vice-versa. 
Ímã em forma de barra. 
Todas as linhas passam pelo interior do ímã e 
formam curvas fechadas. 
O campo magnético externo é mais intenso perto das 
extremidades do ímã. 
As linhas de campo entram pelo ímã por uma das extremidades e sem pela outra. 
Como um ímã possui dois 
polos, dizemos que possui 
um dipolo magnético. 
As linhas de campo 
apontam para fora dos 
polos norte (N) e para 
dentro dos polos sul 
(S). 
Podemos ter outros tipos 
geométricos de ímãs ( 
forma de ferradura, forma 
de C, etc). 
Independente da forma do ímã, quandocolocamos dois ímãs próximos um do outro 
sempre observamos o seguinte: 
A Terra possui um campo magnético que é produzido no interior do planeta por um mecanismo até 
hoje pouco conhecido. Na superfície terrestre podemos observar esse campo com o auxílio de uma 
bússola, constituída por um ímã fino em forma de barra montado em um eixo de baixo atrito. 
Exemplo 1: força magnética sobre uma partícula em movimento. 
Aplicações de movimento e partículas carregadas 
Vamos agora descrever algumas aplicações dos princípios introduzidos até o momento. 
Seletor de velocidades 
Em um feixe de partículas carregadas gerado por um cátodo quente ou por um 
material radioativo, nem todas as partículas se movem com a mesma 
velocidade. Muitas aplicações, porém requerem um feixe em que a velocidade de 
todas as partículas seja igual. 
Podemos selecionar partículas com velocidade específicas mediante um seletor 
de velocidades, que usa campos elétricos e magnéticos . 
A figura mostra uma partícula 
carregada com carga q, massa m e 
velocidade v entrando em uma 
região do espaço onde existe um 
campo magnético e um campo 
elétrico, ambos perpendiculares 
à velocidade da partícula. 
O campo elétrico 𝐸 está 
orientado da direita para a 
esquerda e o campo 𝐵 está 
entrando no plano da figura. 
Quando q é positivo, a força elétrica com módulo qE é orientada 
da direita para a esquerda e a força magnética com módulo qvB é 
orientada da esquerda para a direita (regra da mão direita). Logo, as 
duas forças estão em oposição. 
Podemos ajustar os valores de E e 
B, para um valor particular de v, 
para o qual a força elétrica 
possuirá módulo igual ao da 
força magnética. 
A força resultante é igual a zero 
e a partícula se desloca em linha 
reta com velocidade constante. 
Somente partículas com velocidades 
iguais a E/B podem passar através do 
campo sem sofrer nenhum desvio. 
Ajustando os valores de E e B de modo apropriado, podemos selecionar 
partículas com determinadas velocidades para serem usadas em outras 
experiências. 
Experiência de Thomson para determinar a razão e/m 
O Físico britânico Joseph John Thomson (1856 – 1940), realizando 
uma das experiências que marcaram o final do século XIX, aplicou a 
ideia descrita anteriormente para medir a razão entre a carga e a 
massa do elétron. Essa experiência foi realizada em 1897. 
Em um recipiente de vidro sob vácuo, os elétrons provenientes de um catodo quente 
são acelerados e agrupados em um feixe por uma diferença de potencial V. 
A velocidade v dos elétrons é determinada pelo potencial V que os acelera. A energia 
cinética é igual à diferença de potencial: 
Os elétrons passam entre as placas P e P’ e colidem com a tela no final do tubo, que é 
recoberto com um material que se torna fluorescente no ponto onde ocorre a colisão. 
Como vimos anteriormente, os elétrons passam pelo tubo ao longo de uma trajetória 
retilínea quanto v = E/B. Combinando esse resultado com aquele do último slide: 
Todas as grandezas do membro direito podem ser 
medidas, portanto, a razão e/m entre a carga e a 
massa do elétron pode ser determinada. 
O aspecto mais relevante das medidas de Thomson de e/m é que ele encontrou um 
único valor para essa grandeza. Ela não dependia do material do catodo, do gás 
residual do tudo, nem de nenhum outro parâmetro da experiência. Essa 
independência mostrou que as partículas do feixe – agora chamadas de elétrons - 
constituem um componente comum de toda matéria. 
O valor encontrado por Thomson foi 
O valor aceito atualmente é 
O efeito Hall 
Como vimos, um feixe de elétrons no vácuo pode ser desviado por um campo 
magnético. Será que os elétrons que se movem no interior de um fio de cobre 
também podem ser desviados por um campo magnético? 
Em 1879, Edwin H. Halll, na época aluno de doutorado de 24 
anos, mostrou que sim. 
Esse efeito, que ficou conhecido com efeito Hall, permite 
verificar duas questões: 
(1) se os portadores de carga em um condutor são positivos ou 
negativos. 
(2) medir o número de portadores por unidade de volume do 
condutor. 
 A figura mostra uma fita de cobre de largura d percorrida por 
uma corrente i cujo sentido convencional é de cima para 
baixo. 
 Os portadores de corrente são elétrons que, como 
sabemos, se movem (com velocidade de deriva 𝑣𝑑) no sentido 
oposto, de baixo para cima. 
 No instante mostrado na figura, um campo magnético 
externo 𝑩, que aponta para dentro do papel, acaba de ser 
ligado. Como mostrado na figura, o campo exerce uma força 
magnética 𝐹 𝐵 sobre os elétrons de condução, desviando-os 
para o lado direito da fita. 
 Com o passar do tempo os elétrons se movem para a direita 
acumulando-se na borda direita da fita e deixando cargas 
positivas não compensadas em posições fixas na borda 
esquerda. 
 A separação das cargas positivas e negativas produz um 
campo elétrico 𝐸 no interior da fita que aponta da 
esquerda para a direita. 
 O campo exerce uma força 𝐹 𝐸 sobre os elétrons, desviando-os 
para a esquerda. 
 Os elétrons continuam a se acumular na borda direita da fita, 
até que a força exercida pelo campo elétrico sobre os 
elétrons equilibre exatamente a força exercida pelo 
campo magnético. Quando isso acontece, as forças 𝐹 𝐸 e 𝐹 𝐵 
têm módulos iguais e sentidos opostos. 
 Os elétrons passam a se mover em linha reta em direção ao 
alto da página com velocidade 𝑣𝑑 e o campo elétrico pára 
de aumentar. 
 O campo elétrico entre as bordas da fita está associado a uma 
diferença de potencial (que recebeu o nome de diferença de 
potencial de Hall) dada por: 
 Ligando um voltímetro às bordas da fita podemos medir a 
diferença de potencial e descobrir em qual das bordas o 
potencial é maior. Para a situação da figura, observaríamos 
que o potencial é maior na borda da esquerda. 
 Vamos supor que os portadores de carga responsáveis 
pela corrente i tivessem carga positiva. O que aconteceria 
nesse caso? 
 Neste caso, os portadores positivos estariam se movendo 
de cima para baixo, seriam desviados para a borda da 
direita (visualize com a regra da mão direita) pela força 𝐹 𝐵 e o 
potencial seria maior na borda da direita, o que não 
estaria de acordo com a leitura do voltímetro. 
 A leitura obtida indica, portanto, que os portadores de carga 
têm carga negativa. 
 Vamos passar para a parte quantitativa. Quando as forças 
elétrica e magnética estão em equilíbrio, teremos: 
(1) 
 Podemos relacionar a velocidade de deriva com o número de 
portadores de carga, através da densidade de corrente (J): 
 Onde A é a área de seção reta da fita e n é o número de 
portadores por unidade de volume. 
 Lembrando que e combinando as equações (1) e 
(2), teremos: 
 A equação acima permite calcular o valor de n a partir de 
grandezas conhecidas. 
(2) 
Uma partícula carregada em movimento circular 
Exemplo 2 
(1) Como o campo o campo magnético uniforme faz com que 
o íon descreva uma trajetória circular, podemos relacionar a 
massa do íon ao raio r da trajetória através da equação: 
De acordo com a figura, r = x/2 e conhecemos o módulo de B. 
Entretanto, não conhecemos a velocidade depois que são 
acelerados pela diferença de potencial. (2) Para determinar a 
relação entre v e V usamos o fato de que a energia mecânica 
é conservada durante a aceleração. 
Força magnética em um fio flexível percorrido por corrente 
 Já vimos que um campo magnético exerce uma 
força lateral sobre os elétrons que se movem emum fio. Essa força, naturalmente, é transmitida 
para o fio, já que os elétrons não podem deixá-lo. 
 A figura (a) mostra um fio vertical flexível, que 
não conduz corrente e está preso nas duas 
extremidades. Este fio é colocado em um campo 
magnético dirigido pra fora da tela (ou do papel). 
 Na figura (b) uma corrente dirigida para cima 
passa a circular no fio, que se encurva para a 
direita. Na figura (c) o sentido da corrente é 
invertido e o fio se encurva para a esquerda. 
O que acontece no interior do fio? 
 A figura ao lado mostra uma vista amplificada do fio. 
 Um dos elétrons se move para baixo com velocidade de 
deriva 𝑣𝑑 . Neste caso, a velocidade é perpendicular ao 
campo magnético e uma força 𝐹𝐵 de módulo 𝑒𝑣𝑑𝐵 age 
sobre o elétron. 
 A força aponta para a direita (regra da mão direita): 
 Esperamos, portanto, que o fio como um todo 
experimente uma força para a direita, como mostra a 
figura ao lado. 
 Se invertermos o sentido da corrente ou o sentido do 
campo magnético, a força exercida sobre o fio mudará de 
sentido e passará a apontar para a esquerda. 
 Observe também que não importa se considerarmos 
cargas negativas se movendo para baixo ou cargas 
positivas se movendo para cima; nos dois casos o 
sentido da força é o mesmo. 
 Podemos imaginar, portanto, para efeito de cálculo, que a 
corrente é constituída por cargas positivas. 
 Considere um trecho do fio de comprimento L na figura 
ao lado. Após um intervalo de tempo t = L/𝑣𝑑, todos os 
elétrons de condução desse trecho passam pelo plano xx. 
 Assim, nesse intervalo de tempo uma carga dada por 
passa pelo plano xx. 
 Essa equação permite calcular a força magnética que age sobre um trecho 
do fio retilíneo de comprimento L percorrido por uma corrente i submetido 
a um campo magnético perpendicular ao fio. 
Substituindo na equação que fornece o módulo da força magnética, teremos: 
 Se o campo magnético não é perpendicular ao fio, a força magnética é dada por uma 
generalização da última equação: 
onde 𝐿 é um “vetor comprimento” de módulo L, com direção do trecho de fio e o sentido 
(convencional) da corrente. O módulo da força é dado por: 
sendo Փ o ângulo entre as direções de 𝐿 e 𝐵. 
 A equação (1) é equivalente à no sentido de que 
qualquer da duas pode ser usada como equação de definição de 
𝐵. Na prática definimos 𝐵 através da equação com a corrente, 
porque é muito mais fácil medir a força magnética que age 
sobre um fio percorrido por uma corrente do que a força que 
age sobre uma partícula em movimento. 
(1) 
 Se o fio não é retilíneo ou o campo não é uniforme podemos dividir mentalmente o fio 
em pequenos segmentos retilíneos e aplicar a equação (1) do slide anterior em cada 
segmento. No caso de segmentos infinitesimais: 
A força que age sobre o fio como um todo é a soma vetorial das forças que agem sobre 
os segmentos em que foi dividido. 
Exemplo 3: força magnética em um fio percorrido por corrente 
Torque em uma espira percorrida por corrente 
 Boa parte do trabalho do mundo é realizada por motores elétricos. As forças 
responsáveis por esse trabalho são as forças magnéticas que estudamos na seção 
anterior, ou seja, as forças que um campo magnético exerce sobre fios percorridos por 
correntes. 
 A figura ao lado mostra um motor simples, 
constituído por uma espira percorrida por 
uma corrente e submetida a um campo 
magnético. 
 As forças magnéticas 𝐹 e - 𝐹 produzem um 
torque na espira que tende a fazê-la girar 
em torno do eixo central. 
 Vamos analisar esse efeito de rotação. 
 A figura ao lado mostra uma espira 
retangular de lados a e b percorrida por 
uma corrente i e submetida a um campo 
magnético uniforme 𝐵. 
 Para definir a orientação da espira em 
relação ao campo magnético usamos um 
vetor normal 𝑛 que é perpendicular ao 
plano da espira. Quando os dedos da mão 
direita apontam na direção da corrente em 
um lado qualquer da espira, o polegar 
estendido aponta na direção do vetor 
normal 𝑛. 
 Colocamos a espira no campo de tal forma 
que os lados mais compridos, 1 e 3, estão 
sempre perpendiculares à direção do 
campo. 
 Na figura ao lado, o vetor normal da espira 
é mostrado fazendo um ângulo qualquer θ 
com a orientação do campo magnético 𝐵 . 
 Estamos interessados em calcular a força 
total e o torque total que agem sobre a 
espira nessa orientação. 
 A força total que age sobre a espira é a soma vetorial das forças que agem sobre os 
quatro lados. 
 No caso do lado 2 o vetor 𝐿 na equação abaixo aponta na direção da corrente e tem 
módulo b^: 
 O ângulo entre 𝐿 e 𝐵 para o lado 2 é 90º+θ. Assim, o módulo da 
força que age sobre esse lado é dado por: 
 É fácil mostrar que a força 𝐹 4 que age sobre o lado 4 tem o mesmo módulo que 𝐹 2 
e o sentido oposto. Assim, essas forças se cancelam. A força total associada aos 
lados 2 e 4 é zero. 
 Perceba que 𝐹 2 é perpendicular ao lado b 
da espira, saindo do plano da página. 
 Além disso, como as duas forças estão aplicadas ao longo de uma 
reta que coincide como eixo de rotação da espira, o torque total 
produzido por essas forças também é zero. 
 Como mostra a figura acima, as duas forças não estão aplicadas ao longo da mesma 
reta e, portanto, o torque associado a essas forças não é zero. 
 A situação é diferente para os lados 1 e 3. 
 O torque tende a fazer a espira girar em um sentido tal que o vetor normal 𝑛 se 
alinhe com a direção do campo magnético 𝐵. Esse torque tem o seguinte braço de 
alavanca (em relação ao eixo da espira): 
 Neste caso 𝐿 é sempre perpendicular a 𝐵, 
o módulo das forças é 𝐹1 = 𝐹3 = 𝑖𝑎𝐵 , 
independentemente do valor de θ. Como 
as forças têm sentidos opostos não tendem 
a mover a espira para cima ou para baixo. 
 Suponha que a espira única seja substituída por uma bobina de N espiras. 
Suponha ainda que as espiras sejam enroladas tão juntas que se possa supor que 
todas têm aproximadamente as mesmas dimensões e estão no mesmo plano. 
 O módulo do torque produzido pelas forças 𝐹1 𝑒 𝐹3 é portanto 
 Neste caso, as espiras formam uma bobina plana e um torque com módulo dado 
como na equação acima age sobre cada uma delas. O módulo do torque total que 
age sobre a bobina é, portanto, 
onde A = ab é a área limitada pela bobina. O produto entre 
parênteses envolve somente as propriedades da bobina.